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1、高三数学不等式的性质、不等式证明知识精讲通用版【本讲主要内容 】不等式的性质、不等式证明【知识掌握】【知识点精析】实数集与数轴间一一对应关系，数轴上任意两点所对应的实数都有大小之别（右边的点对应的实数较大） ，任取两实数a、b，ab，a b，ab 三者中有且只有一式成立：abab0，a bab0，abab0。在不等式的意义的基础上总结出的不等式的性质是我们证明不等式的理论基础，要熟练掌握。对不等式的证明，从思想方法上，有如下四种：1. 比较法，这是直接利用不等式的意义：ABAB0 等等，有时为方便计，也使用其变种：00BBAAB 等等。2. 分析法，从结论的需要出发，看条件是否能提供，如原来证
2、明AB，我们就由BCDA，也有称之为“执果索因”的，只是书写时必须要注意，切不可写为：B C D ， A 由已知，命题成立，因为这样实际上是证明了逆命题，与原命题正确与否不相干。3. 综合法，也有称为“执因索果”的，是由已知条件或定理出发，逐次推出结论成立。4. 反证法，当正面证明不易奏效时，不妨考虑反证法，特别地，有“存在”、 “至少”等词语的问题中，往往收到奇效。其它还有判别式法，放缩法，函数法，换元法，有时也采用数学归纳法等。证明不等式的方法灵活多样，但比较法、 综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法。要依据题设、条件的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维
3、，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的。在诸多方法中，最基本的方法是比较法，它的一般步骤是：作差（商）变形判断符号（值）。变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述，如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证。综合法也是常用的方法之一，在证明时常常用到如下公式：（1）22ba2ab （a，bR） （2）2ba),(Rbaab（3）baab 2 （ab0）（4）222ba),()2(2Rbaba（ 5）若 a，bR，则 |a| |b|ab|a|b| 精选学习资料 - - - -
4、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页【解题方法指导】例 1. 设 a0，b0，求证：（ba2）21（ab）21a21+b21。剖析： 不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明。证法一： 左边右边abba33）（）（a b ）abbaabbababa）（）（abbababa）（2abbaba2）（0。原不等式成立。证法二：左边0，右边 0，右边左边）（）（baabbababaabbabaababab21。原不等式成立。评述： 用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤。变形的主要手段是通分、因式分解或配方。在变形过
5、程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二。要注意的是， 作差对两个式的值的符号没有要求，作差后的式子与0 进行大小比较； 而作商通常对两个式子的值的符号有要求，作商后的式子与1 进行大小比较。例 2. a1、b1、a2、b2R，求证：（a12+a22） （ b12+b22）（ a1b1+a2b2）2。剖析： 这是“柯西不等式”在n 2 时的特殊情况，我们利用它来回顾一下常用的几种证明方法：证法一 （作差比较法） ：左 右 （ a12b12+a22b22+a12+b22+a22+b12） （ a12b12+a22b22+2a1b1a2b2） a12b222a1b2a2b1+a22b12（ a1b2
6、a2b1）2 0。原不等式成立。证法二 （判别式法）：（ a1x+b1）2+（a2x+b2）20 恒成立。（ a12+a22）x2+2 （a1b1+a2b2） x +（b12+b22） 0 恒成立。若 a12+a220，则 4（a1b1+a2b2）24（a12+a22） （b12+b22） 0 （ a12+a22） （b12+b22）（ a1b1+a2b2）2。若 a12+a220，则 a1 a20，原不等式左、右均为0，也成立。其它方法如：分析法： 左 a12b12+a22b22+a12b22+a22b12，右 a12b12+a22b22+2a1a2b1b2，要证原式，只要精选学习资料 -
7、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页证明 a12b22+a22b122a1a2b1b2，即可综合法： a12b22+a22b122a1a2b1b2，两边同加a12b12+a22b22。构造法： 作向量 a（ a1，a2） ，b（ b1， b2） ，由向量的数量积的性质可得（a）2（b）2（ ab）2，代入坐标立得。几何法： 在直角坐标系内取点A（a1，a2）B（b1，b2） ，则OA+OB AB（2221aa+2221bb）2（222211)()(baba）2 亦即2221aa2221bb（ a1b1+a2b2）右边为负时当然成立，非
8、负时平方即得。评讲： 这一问题的解决方法说明了不等式证明方法的多样性及灵活性。另外， 这个不等式也是一个重要的基本不等式，只不过它只是出现在课本的例习题中，在今后的学习中，我们也可以直接使用这个不等式解决有关问题。最后大家想一想：这样的实数增加到3 对、 4对，上面的方法还都有效吗？例 3. 已知 ab0，求证：bbaabbaaba8)(28)(22剖析： 不等式的运算形式是比较复杂的，一眼看不出从哪儿下手，这时可以用分析法对不等式变形。证明： 若证原不等式成立，只要证：bbaabbaaba4)(24)(22只要证明222)2()()2(bbabaaba，只要证bbabaaba220只要证ab
9、aaba212，只要证bbaaba2只要证121baab，即证baab1，即证baab1成立ab0 此式显然成立，又以上各步均可逆。原不等式成立。评讲： 分析可以让我们揭开一个不等式的真面目。同学们要注意的是在使用分析法时，一定按照规范的格式书写。【考点突破】【考点指要】高考考纲要求：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。从近几年的高考试题来看，有关不等式的试题基本上都是一道选择题或填空题和一道解答题， 解答题一般是解不等式和证明不等式，纯粹本单元的试题分值逐渐减少，但在一些函精选学习资料 -
10、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中常涉及不等式的知识，在综合题的解题过程中处处分布着不等式的知识、方法和技巧，理科平均约9%，文科约7%。关于不等式证明的内容年年都有，大部分是间接考查不等式的证明，有时也直接考查。年份题号分值占总分比例题型考查内容2001 20 12 8% 解答题不等式证明与排列组合二项式定理综合2002 全国22 14 9.5% 解答题不等式证明与数列知识综合2002 北京18 12 8% 解答题与立几何结合考查不等式证明方法中的比较法2002 北京19 12
11、8% 解答题不等式证明与数列知识综合2003 江苏22 14 9.5% 解答题不等式证明与二次函数，数列等知识综合2003 北京20 14 9.5% 解答题不等式性质，证明等综合应用2004 江苏22 14 9.5% 解答题不等式证明与函数知识综合2004 福建21 12 8% 解答题不等式证明与函数、导数等知识综合2004 北京20 13 9% 解答题不等式证明等基本知识2004 全国22 14 9.5% 解答题不等式证明与数列知识综合2004 辽宁21 14 9.5% 解答题不等式证明与函数知识综合2004 湖南22 14 9.5% 解答题不等式证明与数列知识综合2004 重庆22 14
12、9.5% 解答题不等式证明与数列知识综合2005 全国13 4 19% 填空题不等式与指数的综合19 12 解答题不等式证明与数列知识综合22 12 解答题不等式证明与函数知识综合2006 全国22 12 8% 解答题不等式证明与数列知识综合证明不等式是理科（或文理合卷的省、市）考查的重点，不等式证明题历来难度大，区分度高，综合性强，创新不断，同学平时练习题与高考试题差距较大，所以我们在学习时一方面要重视对基础知识、基本方法的复习，另一方面更要注重证明方法中蕴含的思想方法、技巧、技能。【典型例题分析】例 4. （20XX 年北京）数列 xn由下列条件确定：.),(21,011Nnxaxxaxn
13、nn（）证明：对n 2，总有axn；（）证明：对n 2，总有1nnxx。证明： （）（均值不等式的应用综合法）：由)(21,011nnnxaxxax及，可归纳证明0nx从而有)()(211Nnaxaxxaxxnnnnn，所以，当n 2 时，axn成立。（） 证法一（作差比较法） ：当 n2 时，因为)(21,01nnnnxaxxax，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页所以021)(2121nnnnnnnxxaxxaxxx，故当 n2 时，1nnxx成立。证法二（作商比较法） ：当 n2 时，因为)(21, 01nn
14、nnxaxxax，所以122)(21222221nnnnnnnnnnxxxxaxxxaxxx故当 n2 时，1nnxx成立。评讲： 此题是以数列为知识背景，把数列与不等式证明综合起来，重点还是考查不等式证明方法中最基本的方法 综合法和比较法。例 5. （2001，全国，理， 20）已知 i，m，n 是正整数，且1i mn （I）证明： niAmi（1+n）m证明： （1）对于 1 im，且 Aimm （mi+1） ，ninnnnnnmimmmmmmiimiim11A,11A同理，由于 mn，对于整数k1，2， i 1，有mkmnkn，所以imiiniiimiinnmmnAAAA即,（2）由二项
15、式定理有（1+m）n 1+C1nm+C2nm2+Cnnmn，（1+n）m1+C1mn+C2mn2+Cmmnm，由（ 1）知 miAinniAim（1im)，而 Cim!AC,!AiiininimmiCinniCim（1mn)m0C0nn0C0n1，mC1nnC1mmn，m2C2nn2C2m，mmCmnnmCmm，mm+1C1mn0， mnCnn0，1+C1nm+C2nm2+Cnnmn1+C1mn+C2mn2+Cmmnm，即（ 1+m）n（ 1+n）m成立评讲： 在第一问中一定要弄清符号Ami的意义，把要证的式子用“隔离参数”的思想变精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
16、 - - - - - - -第 5 页，共 16 页形为iimiinmnAA，再比较两边对应的比值即可。在第二问中要注意使用第一问的结论，把排列数之间的不等关系转化为组合数之间的不等关系。例 6. （2002 江苏， 22）已知 a0，函数 f（x） axbx2。（1）当 b 0 时，若对任意xR 都有 f（x） 1，证明 a2b；（2）当 b1 时，证明： 对任意 x0，1 ，|f（x）|1 的充要条件是b1 a2b；（3）当 0 b1 时，讨论：对任意x 0，1 ，|f（x）|1 的充要条件。证明： （）依设，对任意xR，都有 f（x） 1， f（x）babaxb4)2(22，babaf4
17、)2(21， a0， b0， a2b。（）证明：必要性对任意 x 0，1 ，|f（x）|11f（x） ，据此可以推出1 f（1） ，即 ab 1， ab1；对任意 x 0，1 ，|f（x）|1f（ x） 1，因为 b1，可以推出 f（b1） 1，即 ab111，a2b； b1a2b。充分性因为 b1， ab1，对任意x 0，1 ，可以推出axbx2b（xx2） x x 1，即 axbx2 1；因为 b1， a2b，对任意x 0，1 ，可以推出axbx22bxbx2 1，即 axbx21。 1 f（x） 1。综上，当 b1 时，对任意x 0， 1 ，|f（x）| 1的充要条件是b1a2b。（）解
18、：因为a 0，0b1 时，对任意x 0，1 ：f（x） axbx2 b 1，即 f（x） 1；f（x） 1f（1） 1ab1，即 ab1，ab1f（x）（ b1）xbx21，即 f（x） 1。所以，当 a0，0 b1 时，对任意x 0，1 ，|f（x）|1 的充要条件是ab1。评讲：在证明的过程中要注意结合二次函数特殊的性质，不等式对所给区间上的任意一个值都成立，当然对一个特殊值（比如：顶点处）也成立，这样我们就把一个一般的函数不等式变为我们所需要的不含变量x 的不等式。【达标测试】一. 选择题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6
19、页，共 16 页1. （2006 安徽 4）设,aRb，已知命题:p ab；命题222:22ababq，则p是q成立的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 如果 a，b，c 满足 cba，且 acac B. c（b-a）0 C. cb2ab2D. ac（a-c）1，0b1，则abbaloglog的取值范围为（）A. , 2B. ),2(C. )2,(D. 2,6. 设 x0，y0，且 xy（ x+y） 1，则（）A. x+y22 +2 B. x+y22 +2C. x+y（2 +1）2 D. x+y（2 +1）27. 设42,yxRyx且，
20、则yxlglg的最大值是（）A. 2lgB. 2lgC. 2lg2D. 2 8. 已知 x、yR，Mx2+y2+1， N x+y+xy，则 M 与 N 的大小关系是（）A.MN B.MN C.MN D.不能确定二. 填空题：9. 已知122yx，则)1)(1(xyxy的最大值为，最小值为。10. 设 a0， 1b1是|a+b|1 的充分而不必要条件。命题 q：函数 y21x的定义域是（-， -13，+） 。则（）A. “p 或 q” 为假B. “p 且 q” 为真C. p 真 q 假D. p 假 q 真3. 若 a、b 为实数，且 a+b2， 则 3a+3b的最小值为（）A. 18 B. 6
21、C. 23D. 2434. 设 p+q1， p0， q0， 则不等式1)(logpqx成立的一个充分条件是（）A. 0 x41B. 41x21C. 21x1 5. （2006 江苏）设 a， b， c是互不相等的三个正数，则下列不等式中不恒成立的是 （）A. |a-b|a-c|+|b-c| B. a2+211aaaC. |a-b|+12abD. 312aaaa6. （20XX 年高考 福建卷 理 11）设bababa则,62,22R的最小值是 （）A. 22B. 335C. 3 D. 277. （20XX年春北京）若不等式（1）na2+nn 11 ）（对任意nN*恒成立，则实数a的取值范围是(
22、 ) A. 2，23B.（ 2，23）C. 3，23D.（ 3，23）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页8. （2000 全国）若 ab1，Pba lglg，Q21（lga lgb） ，R lg（2ba） ，则（）A.R PQB.PQ R C.QPRD. P RQ二. 填空题：9. 若 abc，则ba1+cb1_ca3。 （填“”“”“”10. 若2)(babaabbaRba和，则、的大小关系是_。11. （ 1999 全国， 17）若正数 a、b 满足 aba+b+3，则 ab 的取值范围是。12. 若ba110
23、，已知下列不等式：a+b|b| a2 其中正确的不等式的序号为。三. 解答题：13. 若xa+yb1，求证： x+y（a+b）2（式中 a、b、x、 y 均当正实数）14. 已知 a、b 为正数，求证：（1）若a +1b ，则对于任何大于1 的正数 x，恒有 ax+1xx b 成立；（2）若对于任何大于1 的正数 x，恒有 ax+1xxb 成立，则a +1b 。15. （2006 广东 20）A是定义在2,4上且满足如下条件的函数( )x组成的集合： 对任意的1,2x，都有(2 )(1,2)x；存在常数(01)LL，使得对任意的12,1,2x x，都有1212| (2 )(2)|xxL xx。
24、（ I）设3(2 )1,2,4xx x，证明：( )xA；（ II）设( )xA，如果存在0(1,2)x，使得00(2)xx，那么这样的0 x是唯一的；（ III ）设( )xA，任取1(1,2)x，令1(2)nnxx，1,2,n。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页【达标测试答案】一. 选择题：1. 解： 命题:p ab是命题222:22ababq等号成立的充分条件，故选B。2. 解析： 取 b 0，可验证C 不成立。 C 3. 答案： A 4. 解析： p 是假命题， q 是真命题，故正确。选C。5. 解析： a
25、1，0b1，.0log1log,0logbababa设tatbba1log,log，则21tt；则abbaloglogtt12)1(tt选 D 6. 解析： x0，y0， xy（2yx）2。由 xy（ x+y） 1 得（2yx）2（ x+y） 1。x+y2+22 。答案： B 7. 解析： 设42,yxRyx且则2222yxyx，即2xy故yxlglg2lg)lg(xy。选 B 8. 解析： MNx2+y2+1（ x+y+xy）21 （x2+y22xy）+（x2 2x+1）+（y22y+1） 21 （xy）2+（x 1）2+（y1）2 0。答案： A 二. 填空题：9. 解析： 由122yx得
26、 0|xy|14，所以)1)(1(xyxy1-（xy）21-x2y234，1。填 1，34。10. 解析：0)1(0)1(222baaabbababab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页aab2ab11. 解析： a2+22b1a2+212b23。a21b2 a212b2 22122ba2 223423。答案：42312. 解析： 均可举出反例，可用反证法证明“若两数均小于1，则 a+b0， q0，则由pqqp2，得41pq若 x1，则0)(logpqx，则1)(logpqx，故选 D。5. 解析： |a-b|a
27、-c+c-b| |a-c|+|b-c|恒成立，因为 a0，所以 a+1a2 恒成立；所以 a2+22111111()()()2()2()1aaaaaaaaaaa0 即 a2+211aaa恒成立；又因为22312312aaaaaaaa，所以312aaaa恒成立；当ab 时|a-b|+12ab成立，当 a0）由 aba+b+32ab+3，得 t22t+3 解得 t3，即ab3。故 ab9。解析二： 由已知得 abba+3，b（a1） a+3， b13aa（ a1）aba13aa （a1）+113aaa+3+13aaa 1+4+141aaa1+14a+5214)1(aa+59。当且仅当a114a时取
28、等号。即 ab3 时 ab 的最小值为9。所以 ab 的取值范围是9，+） 。答案： ab9 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页12. 解析：ba110 ， ba0，故错。，三. 解答题：13. 解 1： 1xa+yb x+y1 （x+y）（xa+yb） （x+y） a+b+ayx+xby（a+b）2当且仅当ay2bx2时取“”号。解 2：设22sincosybxa（ 0，2） ，则22cscsecbyaxx+ya（ 1+tan2） +b（1+cot2） a+b+2ab（a+b）2 （如用柯西不等式，可直接证明：
29、x+y（ x+y） （xa+yb）（xxa+yyb）2（a+b）2当然，如下用柯西不等式，则x+y（ x+y） （xa+yb） a+b+axy+byxa+b+2ab（a+b）2。14. 证明： （ 1）ax+1xxa（ x1）+11x+1+a2a +1+a（a +1）2。a+1b（b0） ，（a+1）2b。axxxb1成立。（2） ax+1xxb 对于大于1 的实数 x 恒成立，即x1 时， ax+1xxmin b，而 ax+1xx a（x1）+11x+1+a 2a +1+a（a +1）2，当且仅当 a（x1）11x，即 x1+a11 时取等号。故 ax+1xxmin（a+1）2。则（a +1
30、）2b，即a +1b。15. 证明： 给定正整数k，对任意的正整数p，不等式成立121|1kkpkLxxxxL精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页证明： （I） 、 对任意2, 1x，()2123xx，33)2( x35，253133，所以)2, 1 ()2( x对任意的 2, 1 ,21xx，23232132121211121212|)2()2(|xxxxxxxx，332321321112121xxxx，所以 02323213211121212xxxx32，令2323213211121212xxxxL，10L，|)2()2(|2121xxLxx，所以Ax)(（II）反证法：设存在两个0000),2, 1 (,xxxx使得)2(00 xx，)2(00 xx则由|)()|220000 xxL xx得|xxL xx0000，所以1L，矛盾，故结论成立。（III ）121223)2()2(xxLxxxx，所以1211xxLxxnnnkkpkpkpkpkkpkxxxxxxxx1211|kkpkpkpkpkxxxxxx1211123122xxLxxLpkpk+121xxLk1211xxLLK精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页