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1、学而不思则惘，思而不学则殆奥赛补充资料：力物体的平衡20XX年 4 月 13日第一讲 力的处理一、矢量的运算1、加法表达：a+ b= c。名词：c为“和矢量”。法则：平行四边形法则。如图1 所示。和矢量大小： c = cosab2ba22， 其中 为a和b的夹角。和矢量方向：c在a、b之间，和a夹角 = arcsincosab2basinb222、减法表达：a= cb。名词：c为“被减数矢量” ，b为“减数矢量” ，a为“差矢量” 。法则： 三角形法则。 如图 2 所示。将被减数矢量和减数矢量的起始端平移到一点，然后连接两时量末端，指向被减数时量的时量，即是差矢量。差矢量大小：a = cosb
2、c2cb22，其中 为c和b的夹角。差矢量的方向可以用正弦定理求得。一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。例题： 已知质点做匀速率圆周运动，半径为 R ，周期为 T ，求它在41T 内和在21T 内的平均加速度大小。解说：如图 3 所示，A到 B点对应41T 的过程，A 到 C 点对应21T 的过程。这三点的速度矢量分别设为Av、Bv和Cv。根据加速度的定义a= tvv0t得：ABa= ABABtvv，ACa= ACACtvv由于有两处涉及矢量减法，设两个差矢量1v= BvAv，2v= CvAv，根据三角形法则，它们在图3 中的大小、方向已绘出（2v的“三角形”已被拉伸成一条直线
3、） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆本题只关心各矢量的大小，显然：Av= Bv= Cv= TR2，且：1v= 2Av= TR22，2v= 2Av= TR4所以：ABa= AB1tv= 4TTR22= 2TR28，ACa= AC2tv= 2TTR4= 2TR8。（学生活动）观察与思考：这两个加速度是否相等，匀速率圆周运动是不是匀变速运动？答：否；不是。3、乘法矢量的乘法有两种：叉乘和点乘，和代数的乘法有着质的不同。 叉乘表达：ab= c名词：c称“矢量的叉积” ，它是一个新的矢量。叉积的大
4、小： c = absin，其中 为a和b的夹角。意义：c的大小对应由a和b作成的平行四边形的面积。叉积的方向： 垂直a和b确定的平面， 并由右手螺旋定则确定方向，如图 4 所示。显然，abba，但有：ab= ba 点乘表达：ab= c 名词： c 称“矢量的点积” ，它不再是一个矢量，而是一个标量。点积的大小：c = abcos，其中 为a和b的夹角。二、共点力的合成1、平行四边形法则与矢量表达式2、一般平行四边形的合力与分力的求法余弦定理（或分割成Rt）解合力的大小正弦定理解方向三、力的分解1、按效果分解2、按需要正交分解第二讲 物体的平衡精选学习资料 - - - - - - - - - 名
5、师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆一、共点力平衡1、特征：质心无加速度。2、条件： F = 0 ，或xF = 0 ，yF = 0 例题：如图5 所示，长为L 、粗细不均匀的横杆被两根轻绳水平悬挂，绳子与水平方向的夹角在图上已标示，求横杆的重心位置。解说：直接用三力共点的知识解题，几何关系比较简单。答案：距棒的左端L/4 处。（学生活动）思考：放在斜面上的均质长方体，按实际情况分析受力，斜面的支持力会通过长方体的重心吗？解：将各处的支持力归纳成一个N ，则长方体受三个力（G 、f 、N）必共点，由此推知，N 不可能通过长方体的重心。正确受力情形
6、如图6 所示（通常的受力图是将受力物体看成一个点，这时，N 就过重心了） 。答：不会。二、转动平衡1、特征：物体无转动加速度。2、条件： M= 0 ，或 M+ = M-如果物体静止，肯定会同时满足两种平衡，因此用两种思路均可解题。3、非共点力的合成大小和方向：遵从一条直线矢量合成法则。作用点：先假定一个等效作用点，然后让所有的平行力对这个作用点的和力矩为零。第三讲 习题课1、如图 7所示，在固定的、倾角为斜面上，有一块可以转动的夹板（不定） ， 夹板和斜面夹着一个质量为m 的光滑均质球体， 试求：取何值时，夹板对球的弹力最小。解说：法一，平行四边形动态处理。对球体进行受力分析，然后对平行四边形
7、中的矢量G和 N1进行平移， 使它们构成一个三角形，如图8 的左图和中图所示。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆由于G 的大小和方向均不变，而N1的方向不可变，当 增大导致N2的方向改变时，N2的变化和N1的方向变化如图8 的右图所示。显然，随着增大， N1单调减小，而 N2的大小先减小后增大，当N2垂直 N1时， N2取极小值，且N2min = Gsin。法二，函数法。看图 8 的中间图，对这个三角形用正弦定理，有：sinN2 = sinG，即： N2 = sinsinG，在 0 到 18
8、0之间取值，N2的极值讨论是很容易的。答案：当 = 90时，甲板的弹力最小。2、把一个重为G 的物体用一个水平推力F 压在竖直的足够高的墙壁上，F 随时间 t 的变化规律如图9 所示，则在 t = 0 开始物体所受的摩擦力f 的变化图线是图10 中的哪一个？解说：静力学旨在解决静态问题和准静态过程的问题，但本题是一个例外。物体在竖直方向的运动先加速后减速，平衡方程不再适用。如何避开牛顿第二定律，是本题授课时的难点。静力学的知识，本题在于区分两种摩擦的不同判据。水平方向合力为零，得：支持力N持续增大。物体在运动时，滑动摩擦力f = N ，必持续增大。但物体在静止后静摩擦力f G ，与 N没有关系
9、。对运动过程加以分析，物体必有加速和减速两个过程。据物理常识，加速时， f G ，而在减速时f G 。答案： B 。3、如图 11 所示，一个重量为G的小球套在竖直放置的、半径为R的光滑大环上， 另一轻质弹簧的劲度系数为k ，自由长度为L（L2R） ，一端固定在大圆环的顶点A ，另一端与小球相连。环静止平衡时位于大环上的B点。试求弹簧与竖直方向的夹角。解说：平行四边形的三个矢量总是可以平移到一个三角形中去讨精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆论，解三角形的典型思路有三种：分割成直角三角形（或本
10、来就是直角三角形）；利用正、余弦定理；利用力学矢量三角形和某空间位置三角形相似。本题旨在贯彻第三种思路。分析小球受力矢量平移，如图12 所示，其中F表示弹簧弹力，N表示大环的支持力。（学生活动）思考：支持力N 可不可以沿图12 中的反方向？（正交分解看水平方向平衡不可以。）容易判断，图中的灰色矢量三角形和空间位置三角形AOB是相似的，所以：RABGF由胡克定律： F = k （AB- R ）几何关系：AB= 2Rcos 解以上三式即可。答案： arccos)GkR(2kL。（学生活动）思考：若将弹簧换成劲度系数k较大的弹簧， 其它条件不变， 则弹簧弹力怎么变？环的支持力怎么变？答：变小；不变。
11、（学生活动）反馈练习：光滑半球固定在水平面上，球心 O 的正上方有一定滑轮，一根轻绳跨过滑轮将一小球从图13 所示的 A 位置开始缓慢拉至B 位置。试判断：在此过程中，绳子的拉力T 和球面支持力N 怎样变化？解：和上题完全相同。答： T 变小， N 不变。4、如图 14 所示，一个半径为R的非均质圆球，其重心不在球心O点，先将它置于水平地面上，平衡时球面上的 A点和地面接触； 再将它置于倾角为30的粗糙斜面上， 平衡时球面上的 B点与斜面接触， 已知 A到 B的圆心角也为30。试求球体的重心 C到球心 O的距离。解说：练习三力共点的应用。根据在平面上的平衡，可知重心 C在 OA连线上。 根据在
12、斜面上的平衡，支持力、重力和静摩擦力共点，可以画出重心的具体位置。几何计算比较简单。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆答案：33R 。（学生活动） 反馈练习： 静摩擦足够， 将长为 a 、 厚为 b 的砖块码在倾角为的斜面上，最多能码多少块？解：三力共点知识应用。答：ctgba。4、两根等长的细线，一端拴在同一悬点O上，另一端各系一个小球，两球的质量分别为m1和 m2，已知两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度，分别为 45 和 30，如图15 所示。则m1 : m2为多少？
13、解说：本题考查正弦定理、或力矩平衡解静力学问题。对两球进行受力分析，并进行矢量平移，如图16 所示。首先注意，图16 中的灰色三角形是等腰三角形，两底角相等，设为。而且，两球相互作用的斥力方向相反，大小相等，可用同一字母表示，设为F 。对左边的矢量三角形用正弦定理，有：singm1 = 45sinF同理，对右边的矢量三角形，有：singm2 = 30sinF解两式即可。答案： 1 ：2。（学生活动）思考：解本题是否还有其它的方法？答：有将模型看成用轻杆连成的两小球，而将 O 点看成转轴， 两球的重力对O 的力矩必然是平衡的。这种方法更直接、简便。应用：若原题中绳长不等，而是l1：l2 = 3
14、：2 ，其它条件不变，m1与 m2的比值又将是多少？解：此时用共点力平衡更加复杂（多一个正弦定理方程），而用力矩平衡则几乎和“思考”完全相同。答： 2 ：32。5、如图 17 所示，一个半径为R 的均质金属球上固定着一根长为L 的轻质细杆，细杆的左端用铰链与墙壁相精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆连，球下边垫上一块木板后，细杆恰好水平， 而木板下面是光滑的水平面。由于金属球和木板之间有摩擦（已知摩擦因素为 ） ，所以要将木板从球下面向右抽出时，至少需要大小为F的水平拉力。试问：现要将木板继续
15、向左插进一些，至少需要多大的水平推力？解说：这是一个典型的力矩平衡的例题。以球和杆为对象，研究其对转轴O 的转动平衡，设木板拉出时给球体的摩擦力为f ，支持力为N ，重力为 G ，力矩平衡方程为：f R + N （R + L ）= G（R + L）球和板已相对滑动，故：f = N 解可得： f = RLR)LR(G再看木板的平衡，F = f 。同理，木板插进去时，球体和木板之间的摩擦f= RLR)LR(G = F 。答案：FRLRRLR。第四讲 摩擦角及其它一、摩擦角1、全反力：接触面给物体的摩擦力与支持力的合力称全反力，一般用R 表示，亦称接触反力。2、摩擦角：全反力与支持力的最大夹角称摩擦
16、角，一般用m表示。此时，要么物体已经滑动，必有：m = arctg（为动摩擦因素） ，称动摩擦力角；要么物体达到最大运动趋势，必有：ms = arctgs（s为静摩擦因素） ，称静摩擦角。通常处理为m = ms。3、引入全反力和摩擦角的意义：使分析处理物体受力时更方便、更简捷。二、隔离法与整体法1、隔离法：当物体对象有两个或两个以上时，有必要各个击破，逐个讲每个个体隔离开来分析处理，称隔离法。在处理各隔离方程之间的联系时，应注意相互作用力的大小和方向关系。2、整体法：当各个体均处于平衡状态时，我们可以不顾个体的差异而讲多个对象看成一个整体进行分析处理，称整体法。应用整体法时应注意“系统”、 “
17、内力”和“外力”的涵义。三、应用1、物体放在水平面上，用与水平方向成30的力拉物体时，物体匀速前进。若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进，求物体与水平面之间的动摩擦因素。解说：这是一个能显示摩擦角解题优越性的题目。可以通过不同解法的比较让学生留下深刻印象。法一，正交分解。 （学生分析受力列方程得结果。）法二，用摩擦角解题。引进全反力R ，对物体两个平衡状态进行受力分析，再精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆进行矢量平移，得到图18 中的左图和中间图（注意：重力G 是不变的，而
18、全反力R 的方向不变、F 的大小不变） ，m指摩擦角。再将两图重叠成图18 的右图。 由于灰色的三角形是一个顶角为30的等腰三角形，其顶角的角平分线必垂直底边故有：m = 15。最后， = tgm。答案： 0.268 。（学生活动）思考：如果F 的大小是可以选择的，那么能维持物体匀速前进的最小F 值是多少？解：见图18，右图中虚线的长度即Fmin，所以， Fmin = Gsin m。答： Gsin 15（其中G为物体的重量） 。2、如图19 所示，质量m = 5kg 的物体置于一粗糙斜面上，并用一平行斜面的、大小F = 30N 的推力推物体，使物体能够沿斜面向上匀速运动，而斜面体始终静止。已知
19、斜面的质量M = 10kg ，倾角为30，重力加速度g = 10m/s2，求地面对斜面体的摩擦力大小。解说：本题旨在显示整体法的解题的优越性。法一，隔离法。简要介绍法二，整体法。注意，滑块和斜面随有相对运动，但从平衡的角度看，它们是完全等价的，可以看成一个整体。做整体的受力分析时，内力不加考虑。受力分析比较简单，列水平方向平衡方程很容易解地面摩擦力。答案： 26.0N 。（学生活动）地面给斜面体的支持力是多少？解：略。答： 135N 。应用：如图20 所示，一上表面粗糙的斜面体上放在光滑的水平地面上，斜面的倾角为。另一质量为m的滑块恰好能沿斜面匀速下滑。若用一推力F 作用在滑块上，使之能沿斜面
20、匀速上滑，且要求斜面体静止不动，就必须施加一个大小为P = 4mgsin cos的水平推力作用于斜面体。使满足题意的这个F 的大小和方向。解说：这是一道难度较大的静力学题，可以动用一切可能的工具解题。法一：隔离法。由第一个物理情景易得，斜面于滑块的摩擦因素= tg 对第二个物理情景，分别隔离滑块和斜面体分析受力，并将F沿斜面、垂直斜面分解成Fx和 Fy，滑块与斜面之间的两对相互作用力只用两个字母表示（N表示正压力和弹力，f 表示摩擦力） ，如图 21 所示。对滑块，我们可以考查沿斜面方向和垂直斜面方向的平衡Fx = f + mgsinFy + mgcos = N 且 f = N = Ntg 综
21、合以上三式得到：Fx = Fytg + 2mgsin 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学而不思则惘，思而不学则殆对斜面体，只看水平方向平衡就行了P = fcos+ Nsin 即： 4mgsincos=Ncos+ Nsin 代入 值，化简得： Fy = mgcos 代入可得：Fx = 3mgsin 最后由 F =2y2xFF解 F 的大小，由tg = xyFF解 F的方向（设 为 F和斜面的夹角） 。答案：大小为F = mg2sin81，方向和斜面夹角= arctg(ctg31) 指向斜面内部。法二：引入摩擦角和整体法观念。仍然沿用“法一”中关于F 的方向设置（见图21 中的 角） 。先看整体的水平方向平衡，有：Fcos( - ) = P 再隔离滑块，分析受力时引进全反力R 和摩擦角 ，由于简化后只有三个力（R、mg 和 F） ，可以将矢量平移后构成一个三角形，如图22 所示。在图 22 右边的矢量三角形中，有：)sin(F= )(90sinmg= )cos(mg注意： = arctg= arctg(tg) = 解式可得F 和的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页