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1、学习必备欢迎下载第三章基本初等函数（三角函数）3.1 任意角三角函数一、知识导学1角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角. 2弧度制：任一已知角的弧度数的绝对值rl，其中l是以作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径 .规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制. 3 弧度与角度的换算：rad2360；rad1745.01801； 130.57180rad.用弧度为单位表示角的大小时，弧度（rad）可以省略不写.度不
2、可省略 . 4弧长公式、扇形面积公式：, rl2|2121rlrS扇形,其中l为弧长，r为圆的半径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当2时的情形 . 5任意角的三角函数定义：设是一个任意大小的角，角终边上任意一点P 的坐标是yx,，它与原点的距离是)0(rr，那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是yrxryxxyrxrycs c,sec,cot,tan,cos,sin.这六个函数统称为三角函数 . 6三角函数的定义域三角函数定义域xysinR xycosR xytanZkkxx,2xycotZkkxx,xysecZkkxx,2精选学习资料 - - - - - - - -
3、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 27 页学习必备欢迎下载xycscZkkxx,7三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值）可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正. 二、疑难知识导析1在直角坐标系内讨论角（1）角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角（或说这个角属于第几象限）.它的前提是“角的顶点为原点，角的始边为x轴的非负半轴.否则不能如此判断某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限. （2）与角终边相同的角的集合表示. Zkk,360，其中为任意角 .
4、终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360整数倍 . 2值得注意的几种范围角的表示法“ 090间的 角” 指900；“第 一象 限 角 ” 可表 示为Zkkk,90360360； “小于 90的角”可表示为90. 3在弧度的定义中rl与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关. 4确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键. 当终边在坐标轴上时点 P坐标中必有一个为0. 5根据三角函数的定义可知： （1）一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角与)(360Zkk的 同 名 三 角 函 数 值 相 等 ；（ 2 ）ryrx,， 故
5、有1s i n, 1c o s，这是三角函数中最基本的一组不等关系. 6在计算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论 .因此，在解答此类问题时要注意：（1）角的范围是什么？（2）对应角的三角函数值是正还是负？（3）与此相关的定义、性质或公式有哪些？三、经典例题导讲 例 1若 A、B、C 是ABC的三个内角，且)2(CCBA，则下列结论中正确的个数是（）.CAsinsin.CAcotcot.CAtantan.CAcoscosA1 B.2 C.3 D.4 错解 ：CACAsinsin，CAtantan故选 B 错因 ：三角形中大角对大边定理不熟悉，对函数单调
6、性理解不到位导致应用错误正解 ：法 1CA在ABC中，在大角对大边，ACacsinsin,法 2 考虑特殊情形，A为锐角， C为钝角，故排除B、C、D，所以选 A . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 27 页学习必备欢迎下载 例 2 已知,角的终边关于y轴对称，则与的关系为. 错解 ：,角的终边关于y轴对称，22+k2， （)zk错因 ：把关于y轴对称片认为关于y轴的正半轴对称. 正解 ：,角的终边关于y轴对称)( ,22Zkk即)( ,2zkk说明 ： （1）若,角的终边关于x轴对称，则与的关系为)( ,2Zkk（2）
7、 若,角的终边关于原点轴对称，则与的关系为)(,)12(Zkk（3）若,角的终边在同一条直线上，则与的关系为)( ,Zkk 例 3已知542cos,532sin，试确定的象限 . 错解 ：0542cos,0532sin，2是第二象限角，即.,222zkkk从而.,244zkkk故是第三象限角或第四象限角或是终边在y轴负半轴上的角. 错因 ：导出2是第二象限角是正确的，由0542cos, 0532sin即可确定，而题中542cos,532sin不仅给出了符号，而且给出了具体的函数值，通过其值可进一步确定2的大小，即可进一步缩小2所在区间 . 正解 ：0542cos,0532sin，2是第二象限角
8、，又由43sin22532sin知zkkk,22432zkkk,24234，故是第四象限角. 例 4 已知角的终边经过)0)(3 ,4(aaaP，求cot,tan,cos,sin的值 . 错解 ：ayxrayax5,3,4223434cot,4343tan,5454cos,5353sinaaaaaaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 27 页学习必备欢迎下载错因 ：在求得r的过程中误认为a0 正解 ：若0a，则ar5，且角在第二象限3434cot,4343tan,5454cos,5353sinaaaaaaaa若0a，则a
9、r5，且角在第四象限3434cot,4343tan,5454cos,5353sinaaaaaaaa说明 ： （1）给出角的终边上一点的坐标，求角的某个三解函数值常用定义求解；（2）本题由于所给字母a的符号不确定，故要对a的正负进行讨论. 例 5（1）已知为第三象限角，则2是第象限角，2是第象限角；（2）若4，则是第象限角 . 解： （1）是第三象限角，即Zkkk,2322Zkkk,4322，Zkkk,34224当k为偶数时，2为第二象限角当k为奇数时，2为第四象限角而2的终边落在第一、二象限或y轴的非负半轴上. （2）因为423，所以为第二象限角 . 点评 ：为第一、 二象限角时，2为第一、
10、三象限角，为第三、 四象限角时，2为第二、四象限角，但是它们在以象限角平分线为界的不同区域. 例 6 一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少时， 这个扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的半径为rcm，则扇形的弧长cmrl)220(扇形的面积25) 5()220(212rrrS所以当cmr5时，即2,10rlcml时2max25cmS. 点评 ：涉及到最大（小）值问题时，通常先建立函数关系，再应用函数求最值的方法确定最值的条件及相应的最值. 例 7 已知是第三象限角，化简sin1sin1sin1sin1。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
11、- - - -第 4 页，共 27 页学习必备欢迎下载解：原式2222sin1)sin1(sin1)sin1(cossin2cossin1sin1又是第三象限角，0cos所以，原式tan2cossin2。点评： 三角函数化简一般要求是：（1）尽可能不含分母； （2）尽可能不含根式； （ 3）尽可能使三角函数名称最少； （4）尽可能求出三角函数式的值. 本题的关健是如何应用基本关系式脱去根式，进行化简. 例 8若角满足条件0sincos, 02sin，则在第（）象限A.一B.二C.三D.四解：0cos0sinsincos0cossin0sincos02sin角在第二象限 . 故选 B. 例 9
12、已知coscos，且0tan. （1）试判断)cos(sin)sin(cos的符号；（2）试判断)coslg(sin的符号 . 解： （1）由题意，0cos1，0sin10)cos(sin,0)sin(cos，所以0)cos(sin)sin(cos. （2）由题意知为第二象限角，1cossin，所以0)coslg(sin. 四、典型习题导练1已知钝角的终边经过点4sin,2sinP，且5 .0cos，则的值为）A21arctanB1arctanC21arctanD432角 的终边与角 的终边关于y 轴对称，则 为（）A.-B.-C.（2k +1）- (kZ) D.k -（kZ）3. 若 sin
13、 tg 0,k Z，则角 的集合为（）A 2k2，2k +2 B.( 2k2,2k+2) C.( 2k2，2k+2) k2 D.以上都不对4当 0 x时,则方程 cos (cosx)=0的解集为 ( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 27 页学习必备欢迎下载A.65,6B.32,3 C.3 D.325下列四个值 :sin3,cos3,tg3,ctg3 的大小关系是 ( ) A.cos3tg3ctg3sine B.sin3cos3tg3ctg3 C.cot3tan3cos3sin3 D.sin3tan3cos3cot3
14、6已知 x(0, 2),则下面四式 : 中正确命题的序号是. sinxxtgx sin(cosx)cosxcos(sinx) sin3x+cos3x1 cos(sinx)sin(cosx)cosx 7有以下四组角：(1)k+2；(2)k-2； (3)2k2；(4)-k+2(k z) 其中终边相同的是（）A.(1) 和(2) B.(1)、(2) 和(3) C.(1) 、(2) 和(4) D.(1)、(2) 、(3) 和(4) 8 若 角 的 终 边 过 点 (sin30 ，- cos30), 则sin 等 于 （）A. 12 B.12 C.32 D.339函数 y=1)3cos(2x的定义域是
15、_,值域是 _.10若点 P在第一象限，则在，2内的取值范围是（）A. B. C. D. 3.2 三角函数基本关系式与诱导公式一、知识导学1同角三角函数的基本关系式平方关系：1cossin22； 商数关系：cossintan； 倒数关系：1cottan同角三角函数的基本关系式可用图表示（1）三个阴影部分三角形上底边平方和等于1 的平方；（2）对角为倒数关系；（3）每个三角函数为相邻两函数的积. 2诱导公式 (zk) 角函数正弦余弦记忆口诀k2sincos精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 27 页学习必备欢迎下载sincos
16、函数名不变符号看象限sincossincos2sincos2cossin函数名不变符号看象限2cossin23cossin23cossin诱导公式可将“负角正化，大角小化，钝角锐化”. 3诱导公式解决常见题型（1）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数；（2）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母. 二、疑难知识导析1三角变换的常见技巧“1”的代换；cossin，cossin，cossin三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式1cossin22） ；2在进行三角函数化简和三角等式证明时，细心观察题目的特征，灵活恰当地选用公式，
17、一般思路是将切割化弦.尽量化同名，同次，同角；3已知角的某个三角函数值，求角的其余 5 种三角函数值时，要注意公式的合理选择.在利用同角公式中的平方关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进行讨论 .解决此类问题时，要细心求证角的范围. 三、典型例题导讲例 1已知cot051cossin），则，（，_ 错解 ：两边同时平方，由，与51cossin2512cossin得57cossin2549cossin4)cos(sincossin4coscossin2sin)cos(sin2222.cot53cos54sin，进而可求，解得：43cot或.cot54cos53sin，进而可求
18、，解得：34cot错因 ：没有注意到条件),0(时，由于0cossin精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 27 页学习必备欢迎下载所以cossin的值为正而导致错误. 正解：），（，051cossin两边同时平方，有联立，与51cossin02512cossin求出，53cos54sin43cot例 2若 sinA=asinB,cosA=bcosB,A 、B为锐角且a1,0b1，求 tanA 的值错解 ：由BbABaAcoscossinsin得 tan A=batan B 错因 ：对题目最终要求理解错误.不清楚最后结论用什么
19、代数式表示正解 ：由BbABaAcoscossinsin2+2得 a2sin2B+b2cos2B=1 cos2B=2221baasin2B=2221babtan 2B=1122abB 为锐角tan B=1122ab得 tan A=batan B=1122abba例 3（05 年高考重庆卷）若函数)2cos(2sin)2sin(42cos1)(xxaxxxf的最大值为2，试确定常数a 的值 . .15,.444111sin),sin(441sin2cos212cos2sincos4cos2)(:2222aaaxaxaxxxaxxxf解之得由已知有满足其中角解点评 ：本试题将三角函数“,2”诱导公
20、式有机地溶于式子中，考查了学生对基础知识的掌握程度，这就要求同学们在学习中要脚踏实地，狠抓基础. 例 4 （05 年高考北京卷）已知tan2=2，求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 27 页学习必备欢迎下载（1）tan()4的值；（2）6sincos3sin2cos的值解： （1） tan2=2, 22tan2242tan1 431tan2; 所以tantantan14tan()41tan1tantan4=41134713；（2）由 (I), tan =34, 所以6sincos3sin2cos=6 tan13tan2=4
21、6()173463()23. 点评 ：本题设计简洁明了，入手容易，但对两角和与差的三角函数、同角间的基本关系式要求熟练应用，运算准确. 例 5化简：)()414cos()414sin(znnn错解 ：原式)4(cos)4(sinnn)4cos()4sin()4cos()4(2sin0)4cos()4cos(错因 ：对三角函数诱导公式不完全理解，不加讨论而导致错误. 正解 ：原式)4(cos)4(sinnn（1）当)(12zkkn，时原式)4(2sin k+)4(2cos k)4sin()4cos()4cos()4cos(=0 （2）当)(2zkkn，时原式)4(2sin k+)4(2cos k
22、)4sin(+)4cos(=0 例 6（05 年高考江苏卷）若316sin，则232cos=（）A97B31C31D97精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 27 页学习必备欢迎下载错解 ：232cos=)23(cos=)23cos(=12)6(sin2=97错因 ：诱导公式应用符号错. 正解 ：232cos=)23(cos=)23cos(=1+2)6(sin2=97.故选 A. 例 7 （05 年高考福建卷）已知51cossin,02xxx. （1）求 sinxcosx 的值；（2）求xxxxxxcottan2cos2cos
23、2sin22sin322的值 . 解法一 ： （1）由,251coscossin2sin,51cossin22xxxxxx平方得即.2549cossin21)cos(sin.2524cossin22xxxxxx又,0cossin,0cos,0sin,02xxxxx故.57cossinxx（2）xxxxxxxxxxxxsincoscossin1sin2sin2cottan2cos2cos2sin2sin3222125108)512()2512()sincos2(cossinxxxx解法二 ： （1）联立方程.1cossin,51cossin22xxx由得,cos51sinxx将其代入，整理得,0
24、12cos5cos252xx.54c o s,53s i n,02.54c os53c o sxxxxx或故.57cossinxx（2）xxxxxxcottan2cos2cos2sin2sin322精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 27 页学习必备欢迎下载xxxxxxsincoscossin1sin2sin22125108)53542(54)53()sincos2(cossinxxxx点评 ：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、 三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力. 例 8 (1)化 简 ：s
25、in2sec2 11csccos22+cos2 csc2(2) 设 sin( +2)= 14, 且 sin2 0 求 sin ,tan解 ： 原 式 =sin2tan2cos2cot2+cos2 csc2=cos2 +sin2 +cos2 csc2=1+cot2=csc2(2) 解 ： 由 sin( +2)=-14 cos =- 14 sin2 0 2k 2 2k +k 0)的图像与x 轴在原点右侧的第一个交点为N（6,0）,又 f(2+x)=f(2x),f(0)0,求这个函数的解析式. 解：f(2+x)=f(2-x) f(x)关于 x=2 对称，又x 轴在原点右侧的第一个交点为N（6,0）4
26、T=6-2=4 ，即T=16 ，T2=8. 将 N（6,0）代入 f(x)=sin(8x+)得： sin(43+ )=0 ，得：=2k+4或=2k+45(kZ), f(0)0,=2k+45(kZ),满足条件的最小正数=45, 所求解析式f(x)=sin(8x+45). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 27 页学习必备欢迎下载例 8 已知 ABC的周长为6，,BCCAAB成等比数列，求（1） ABC的面积 S的最大值；（2）BCBA的取值范围 . 解设,BCCAAB依次为 a，b，c，则 a+b+c=6，b2=ac，由余
27、弦定理得2222221cos2222acbacacacacBacacac, 故有03B，又6,22acbbac从而02b（ 1）所以22111sinsin2sin32223SacBbB，即max3S（ 2）所以22)(2cos22222baccabcaBacBCBA222(6)3(3)272bbb182,20BCBAb，四、典型习题导练1.在 RtABC中,C=90,则 sinAcos2(452B)- sin2Acos2AA.有最大值41和最小值 0 B.有最大值41但无最小值C.即无最大值也无最小值D.有最大值21但无最小值2.要得到 y=sin2x 的图像 ,只需将 y=cos(2x-4)
28、的图像( ) A.向右平移8B.向左平移8C.向右平移4D.向左平移43电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I=)0,0)(6sin(AtA的图像如图所示，则当501t秒时，电流强度是安. 4.在 ABC 中,sin2sin2sin2CBA=81,则 ABC 的形状精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 27 页学习必备欢迎下载为5.直角三角形的周长为定值2l,则斜边的最小值是. 6 如 果 方 程 x2-4xcos +2=0 与 方 程 2x2+4xsin2 -1=0有 一 根 ， 互 为 倒 数 求 值 ，其 中 0 . 7. 如图，已知一半径为1，圆心角为3的扇形中，有一个一边在半经上的内接矩形ABCD ，求该矩形的最大面积. 8在ABCabc中， 、 、分别是角A、B、C的对边，设acbAC23，求 sinB的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 27 页