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1、要点重温之定比分点、平移、正余弦定理1若21PPPP，则称点P分有向线段21PP所成的比为。注意： “定比”不是“比” ，点分有向线段所成的比，是用数乘向量定义的，而不是两个向量的比。当P为外分点时为负， 内分点时为正，P为中点时=1， 若起点1P(x1,y1) ， 终点2P(x2,y2) ， 则分点P(x0,y0)的坐标为： x0=121xx,y0=121yy。由此推出： 中点公式及三角形的重心公式: 在ABC中，若 A （ x1,y1） 、B（x2,y2） 、C（x3,y3） ，则 ABC的重心 G （1233xxx，1233yyy） 。 举例 1 设 O（0， 0） ，A（ 1，0） ，
2、 B（0，1） ，点 P是线段 AB上的一个动点，ABAP，若PBPAABOP，则 的去值范围是：A21 1 B1-22 1 C211+22 D 1-221+22解析：思路一：ABAP)(PBAPAPPBAP1， 即 P分有向线段AB所成的比为1，由定比分点坐标公式得：P（1- ，）, 于是有OP=（1- ， ） ，AB=(-1,1),PA=（，- ） ，PB=（-1 ，1- ） ， -1+ ( -1)- (1- )22-4 +101-221+22。思路二：记P(x,y) ，由ABAP得：(x-1,y)=(-, )x=1- ,y= 即 P（1- ， ） ，以下同“思路一” 。思路三：AB=(-
3、1,1)，AP=（- ，） ，PA=（，- ） ，OP=APOA=（1- ， ） ，PB=ABPA=（-1 ，1- ） ，以下同“思路一” 。 举例 2 已知 ABC中，点 B（-3 ，-1） ，C（ 2，1）是定点，顶点A 在圆（ x+2）2+(y-4)2=4上运动，求 ABC的重心 G的轨迹方程。解析：记G （x,y ）,A(x0,y0), 由重心公式得：x=310 x,y=30y, 于是有： x0=3x+1,y0=3y，而 A点在圆（ x+2）2+(y-4)2=4 上运动，（ 3x+1+2）2+(3y-4)2=4,化简得：94)34()1(22yx。 巩固 已知 P是曲线 C：y=xn(
4、nN) 上异于原点的任意一点，过P的切线l分别交 X轴， Y轴于 Q 、 R两点，且QRPQ21，求 n 的值。迁移 已知)(xfy是定义在R 上的单调函数，实数21xx，,1, 121xxa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页112xx，若|)()(|)()(|21ffxfxf，则（）A0B0C10D12. 关注点、函数图象（曲线）按某向量平移导致的坐标、解析式（方程）的变化；点M(x,y)按向量a(m,n) 平移得到点M(x+m,y+n) ；曲线 C： f(x,y)=0 按向量a(m,n) 平移得到曲线C/：f(x
5、-m,y-n)=0。函数图象（曲线）按某向量平移的问题可以先“翻译”成向左（右）、向上（下） 平移， 再按函数图象变换的规律“图进标退” 操作。 注意 ：向量无论怎样平移，其坐标都不发生变化。 举例 将直线 x- by+1=0 按向量a=（1，- 1）平移后与圆x2- 4x+y2+3=0 相切，则k= 。解析：思路一：直线l：x-by+1=0 按向量a平移即“向右、向下各平移1 个单位”，亦即： x变为 x- 1，y 变为 y+1，得直线/l：x- by- b=0，圆： (x- 2)2+ y2=1, 直线/l与圆相切，则有：11|2|2bb得 b=43。思路二：圆M：(x- 2)2+ y2=1
6、 按向量 -a平移（ x 变成 x+1,y 变成 y- 1）后得：圆M/： (x- 1)2+(y- 1)2=1, 圆 M/与直线l：x- by+1=0 相切，有11|2|2bb得 b=43。思路三：圆心M（ 2，0）按向量 -a平移后得M/（1，1） ，M/到直线l的距离为1。巩固 1已知点 A （ 1， 2） 、B （4， 2） ， 向量AB按a= （1， 3） 平移后所得向量的坐标为（）（A） （3，0）（B） （4， 3）（C） （-4，-3）（D） （-4，3）巩固 2若把一个函数的图象按a=（3，2）平移后得到函数y=cosx 的图象，则原图象的函数解析式为： A y=cos(x+3
7、)2；By=cos(x3)2；C y=cos(x+3)+2；Dy=cos(x3)+2 迁移 已知函数f(x)= -3sinxcosx+3cos2x-21,x R （1）将 f(x) 表示成 Asin(2x+)+B 的形式（其中A0,00) 则边 c 所对的角C 为最大角， cosC=81542362516222kkkkk, C=arccos81。 举例 2 在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c，若 a2+b2=6c2,则CBAtan)cot(cot的值为解析：对CBAtan)cot(cot“切化弦”得：CBACcossinsinsin2，再由正弦定理得Cabccos2，再对
8、 cosC使用余弦定理得：22222cbac，将 a2+b2=6c2,代入接得原式等于52。 巩固 1 若 ABC三边成等差数列，则B的范围是；若 ABC三边成等比数列，则B的范围是； 巩固 2 若三角形三边a、 b、c 满足 a2+c2=b2+ac，且 a:c=)13(:2 ，求角 C的大小。 迁移 已知 ABC 中， sinA(sinB+3cocB)=3sinC,BC=3, 则 ABC 的周长的取值范围是。4关注正弦定理中的“外接圆”直径，涉及三角形外接圆直径的问题多用正弦定理。 举例 ABC中， AB=9 ，AC=15 ， BAC=1200，它所在平面外一点P 到 ABC三个顶点的距离是
9、 14，那么点P到平面 ABC的距离是：。解析：记P在平面 ABC上的射影为O ， PA=PB=PC OA=OB=OC，即 O是 ABC的外心，只需求出OA （ ABC 的外接圆的半径） ，记为 R，在 ABC中由余弦定理知：BC=21 ，在由正弦定理知：2R=0120sin21=143， OA=73得： PO=7 。 巩固 已知 O的半径为R，若它的内接ABC中， 2R(sin2A-sin2C)=(2a-b)sinB,求（ 1）C的大小；（2） ABC的面积的最大值。 迁移 直线l：)0(nnmyx过点)34, 4(A，若可行域003yyxnmyx的外接圆直径为3314，则实数n的值是 _
10、5正、余弦定理是解三角形的最主要工具；涉及三角形中的两个（或三个）角的问题常用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页B C A D 2a正弦定理，只涉及三角形中的一个角常用余弦定理。关注两定理在解相关实际问题中的运用。举例 1已知 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a,b,c,且 BC 边上的高为2a,则cbbc的最大值为：A.22B. 2C. 2 D.4 解析：cbbc=bcbc22，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA=bcacb2222而条件中的“高”容易联想到面积，Abcaasin2即Abcasin22
11、，将代入得：)sin(cos222AAbccbcbbc=2（cosA+sinA ） =22sin(A+4)，当 A=4时取得最大值22，故选 A。举例 2 如图，已知A、 B 、C是一条直路上的三点，AB与 BC各等于 1 千米，从三点分别遥望塔M ，在A处看见塔在北偏东450方向，在B处看见塔在正东方向，在C处看见塔在南偏东600方向，求塔到直路 ABC的最短距离。解析：已知AB=BC=1 ， AMB=450， CMB=300， CMA=750易见 MBC 与 MBA 面积相等，AMsin450= CMsin300即 CM=2 AM，记 AM=a，则 CM=2 a，在 MAC 中， AC=2
12、 ，由余弦定理得：4=3a2-22 a2cos750，a2=344, 记 M到 AC的距离为h，则2 a2sin750=2h得h=13357，塔到直路ABC的最短距离为13357。巩固 1 如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上一点，且OA=2 ，B 为半圆周长上任意一点，以AB 为边作等边ABC ，问B 点在什么位置时，四边形OACB 的面积最大，并求出这个最大面积 . 巩固 2 一艘海岸缉私艇巡逻至A处时发现在其正东方向 20km的海面 B处有一艘走私船正以hvkm/的速度向北偏东300的方向逃窜，缉私艇以3hvkm/的速度沿的方向追击， 才能最快截获走私精选学习资料 - - - -
13、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页船？若v=403，则追击时间至少为分钟。简答1、 巩固 3 ；迁移 A ；2、 ，巩固 1 A ， 巩固 2“倒行逆施” ：函数 y=cosx 的图象按 -a=（3，2）平移，选D ；迁移 （1）1)322sin(3)(xxf， （2）)1,6(3巩固 1 （0，3（0，3； 巩固 2450； 迁移 先求 A=3，再用正弦定理求出：b+c= 6sin(B+6) 6, 3(, 于是a+b+c (6,9, 也可以用余弦定理；4、 巩固 （1） 450， （ 2）2212R； 迁移 3 或 5；5、 巩固 1设55,sin,33cos ,2sin()3434AOBABCOACBAOBxSxSx Sx则，当65x时，OACBS有最大值4352.巩固 2 北偏东 600， 10；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页