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1、版权所有，仿冒必究版权所有，仿冒必究1 第一章基础知识部分&1.1 初等函数一、函数的概念1、函数的定义函数是从量的角度对运动变化的抽象表述，是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。设有两个变量x 与 y，如果对于变量x 在实数集合D 内的每一个值，变量y 按照一定的法则都有唯一的值与之对应，那么就称x 是自变量 ，y 是 x 的函数，记作 y=f（x） ，其中自变量x 取值的集合D 叫函数的 定义域 ，函数值的集合叫做函数的值域 。2、函数的表示方法（1）解析法即用解析式 （或称数学式） 表示函数。 如 y=2x+1, y= x，y=lg(x+1),y=sin3x等。便于对函数进行精确
2、地计算和深入分析。（2）列表法即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。便于差的某一处的函数值。（3）图像法即用图像来表示函数关系的方法非常形象直观，能从图像上看出函数的某些特性。分段函数 即当自变量取不同值时，函数的表达式不一样，如0, 120 x1,2xyxx000,1sinxfxxxx隐函数 相对于显函数而言的一种函数形式。所谓显函数， 即直接用含自变量的式子表示的函数，如y=x2+2x+3，这是常见的函数形式。而隐函数是指变量x、y 之间的函数关系式是由一个含x， y 的方程 F(x,y)=0给出的，如 2x+y-3=0 ，0eyxyx等。 而由 2x+y-3=0可得 y=3-2x
3、，即该隐函数可化为显函数。参数式函数 若变量x,y 之间的函数关系是通过参数式方程Tttytx，给出的，这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式方程，t 称为参数。反函数 如果在已给的函数y=f(x)中，把 y 看作自变量， x 也是 y 的函数， 则所确定的函数 x=(y) 叫做 y=f(x)的反函数，记作x=f 1 (y) 或 y= f 1 (x)( 以 x 表示自变量 ). 二、函数常见的性质1、单调性 （单调增加、单调减少）2、奇偶性 （偶 : 关于原点对称，f（-x ）=f （x） ；奇：关于y 轴对称， f （-x ）=-f(x).）3、周期性 （T 为不为零的常数，f （x
4、+T） =f （x） ，T 为周期）4、有界性 （设存在常数M 0，对任意xD，有 f (x) M,则称 f(x)在 D上有界 ，如果不存在这样的常数M ，则称 f(x)在 D上无界 。5、极大值、极小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页版权所有，仿冒必究版权所有，仿冒必究2 6、最大值、最小值三、初等函数 1、基本初等函数常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数共六大类函数统称为基本初等函数。 （图像、性质详见P10）2、复合函数如果 y 是 u 的函数 y=f(u),而 u 又是 x 的函数 u= (x)
5、，且 (x) 的值域与 f(x) 的定义域的交非空，那么y 也是 x 的函数，称为由y=f(u) 与 u=(x) 复合而成的复合函数 ，记作 y=f( (x) 。3、初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合构成的，并且能用一个数学式子表示的函数，称为初等函数。四、函数关系举例与经济函数关系式1、函数关系举例2、经济函数关系式（1）总成本函数总成本 =固定成本 +变动成本平均单位成本=总成本 / 产量（2）总收益函数销售总收益 =销售价格产量（3）总利润函数总利润 =销售总收益 - 总成本（4）需求函数 若其他因素不变，需求量Q=f(P)(P 为产品销售价格) &1.2 函数的
6、极限一、数列的极限对于无穷数列 an ，当项数 n 无限增大时，如果an无限接近于一个确定的常数A ，则称 A为数列 an的极限 ，记为Aann=lim，或当 n时， an A 。若数列 an存在极限，也称数列an 收敛 ，例如01nlimn，CCnlim（ C为常数） ，()10 qqn=nlim。若数列 an没有极限，则称数列an 发散 。数列极限不存在的两种情况：（ 1）数列有界，但当n时，数列通项不与任何常数无限接近，如：11n；（ 2）数列无界，如数列n 2 。二、当 x0 时，函数f （x）的极限如果当 x 的绝对值无限增大（记作 x） 时，函数 f(x)无限地接近一个确定的常数A
7、，那称 A为函数 f(x) 当 x时的 极限，记作Axfxlim，或当 x时， f(x) A。单向极限定义如果当x或x时，函数f(x)无限接近一个确定的长寿湖 A，那么称A为函数 f(x)当x或x时得极限，记作AxfnAxfxlimlim。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页版权所有，仿冒必究版权所有，仿冒必究3 三、当 XXo时，函数f （x）的极限1、当 XXo 时，函数f(x) 的极限定义如果当 x 无限接近Xo(记作 XXo)时，函数 f(x) 无限接近于一个确定的常数A，则称A为函数 f(x) 当 XXo 时
8、的 极限 ，记作Axfnlim，或当 XXo时， f(x) A。2、当 XXo 时，函数f(x) 的左极限和右极限如果当 XXo（或0 xx）时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A，则称函数f(x)当 XXo时的左极限（右极限）为A，记作AxfxxAxfxx00limlim。四、无穷大与无穷小1、无穷大与无穷小的定义如果当 XXo 时，f(x) 0，就称 f(x) 当 XXo时的 无穷小 ，记作0lim0 xfxx；如果当XXo 时， f(x)的绝对值无限增大，就称函数f(x)当 XXo 时为 无穷大 ，记作xfxx0lim。其中，如果当XXo时， f(x)向正的方向无限增大，就称函数f(x
9、)当 XXo 时为 正无穷大 ，记作xfxx0lim；如果当 XXo时，f(x) 向负的方向无限增大，就称函数f(x) 当 XXo时为 负无穷大 ，记作xfxx0lim。2、无穷小与无穷大的关系在自变量的同一变化中，如果 f(x)为无穷大， 那么)(f1x为无穷小； 反之，如果 f(x)为无穷小，那么)(f1x为无穷大。根据这个性质，无穷大的问题可以转化为无穷小的问题。3、无穷小的性质性质 1： 有限个无穷小的代数和为无穷小；性质 2： 有限个无穷小的乘积为无穷小；性质 3： 有界函数与无穷小的乘积为无穷小。4、无穷小的比较设 a 与 b 是自变量同一变化中的两个无穷小，记作a=o(b) ；
10、(1)如果 limba=0，则称 a 是比 b 低阶 的无穷小； (2) 如果 limba=, 则称 a 是比 b 高阶 的无穷小；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页版权所有，仿冒必究版权所有，仿冒必究4 (3) 如果 limba=c(c 为非零的常数), 则称 a 是比 b 同阶 的无穷小。特别的，当c=1, 即 limba=1 时，称 a 与 b 是等阶 无穷小，记作ab。&1.3 极限运算法则法则一若 lim u=A ，lim v=B ，则 lim(uv)=lim ulim v=A B; 法则二若 lim u=
11、A ，lim v=B ，则 lim(uv)=lim ulim v=A B；法则三若 lim u=A ，lim v=B ，且 B0，则 limvu=vulimlim=BA推论若 lim u=A ， C为常数， kN，则 (1)lim Cu=Clim u=C A； (2)lim ku= ku)(lim=kA注 运用这一法则的前提条件是u 与 v 的极限存在（在商的情况下还要求分母的极限不为零） 。&1.4 两个重要极限一、0 xlimxsin x =1 二、xx11xlim=e&1.5 函数的连续性一、函数连续性的概念1. 函数在某点的连续性若函数 f(x)在点0 x及其左右有定义， 且0 xxl
12、imf(x)=f(0 x) ， 则称函数f(x) 在点0 x处连续 ，0 x为函数 f(x) 的 连续点 。理解这个定义要把握三个要点：（1） f(x)要在点0 x及其左右有定义；（2）0 xxlim f(x)要存在（3）0 xxlimf(x)= f(0 x) 。增量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页版权所有，仿冒必究版权所有，仿冒必究5 x=x-0 xy= f(x)- f(0 x) 设函数f(x) 在点0 x及其左右有定义，如果当自变量x 在点0 x处的增量 x 趋近于零时，相应的函数增量y 也趋近于零， 即0y0
13、 xlim，则称函数 f(x) 在点0 x处连续 ，0 x为 f(x)的连续点 。2. 函数在区间上的连续性、连续函数如果函数f(x)在区间（ a，b）上每一点上连续，则称函数f(x) 在区间（ a，b）上连续。如果函数f(x)在某个区间上连续，就称f(x) 是这个区间上的连续函数 。二、连续函数的运算与初等函数的连续性1. 连续函数的运算如果两个函数在某一点连续，那么它们的和、差、积、商（分母不为零）在这一点也连续。设函数u在点0 x处连续，且00 xu，函数y=f(u) 点0u处连续，那么复合函数)x(fy0在点0 x处也连续。2. 初等函数的连续性初等函数在其定义域内是连续的。第二章微分
14、与导数&2.1 导数的概念设函数 y=f(x)在点0 x处及其左右两侧的小范围内有定义，当x0 时，若xy得极限存在，则称y=f(x)在点0 x处可导 ，并称此极限值为函数y=f(x) 点0 x处的导数 ，记作xxfxxf0 xlimxy0 xlimxf000，还可记作 ydxdy0 xx或dxdy0 xx，0 xx。函数 f(x) 在点0 x可导且 f (0 x)=A 等价于f (0 x) 和f (0 x) 都存在且等于A，即AxfxfAxf000。根据这个定理， 函数在某点的左、 右导数只要有一个不存在，或者虽然都存在但不相等，该点的导数就不存在。&2.2 导数的四则运算法则和基本公式精选
15、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页版权所有，仿冒必究版权所有，仿冒必究6 一、导数的四则运算法则设函数 u=u(x) ，v=v(x) 都可导，则（1）vuvu；（2）()uvuvu+=?，特别的， (k u) =ku,其中 k 为常数。（3）若0v，则2vvuvuvu，特别的，2vvkvk， ，其中 k 是常数。推论若函数xuu11，xuu22，.，xuumm都可导，则 (1) m21m21uuuuuu； (2) m21m21m21m21uuuuuuuuuuuu. 若函数 y=f(x)在开区间I 内单调、可导，且f (x
16、) 0，则反函数yfx-1在对应区间内可导，且xf1yf1-，或1xyyx。二、导数的基本公式(1)0c，c 为任意常数； (2) 1xx,为任意非零实数；(3) aln aaxx,a 0 且 a1； (4) xexe；(5) axxln1loga，a0 且 a1； (6) x1ln x；(7) xcossin x； (8) xsin xcos；(9) x2sectan x； (10) x2csccot x；(11) 211arcsin xx； (12) 211 xarccosx；(13) 211arctan xx； (14) 211arccot xx。&2.3 复合函数、隐函数求导法则一、复
17、合函数求导法则设函数 y=f(u)在 u 处可导， u=(x) 在 x 处可导，则复合函数y=f(u(x)在 x 处可导，且导数为dxdududfdxdy或xuuufy。可见，复合函数对自变量的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。具体求导步骤如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页版权所有，仿冒必究版权所有，仿冒必究7 （1）引进中间变量u，将复合函数分解为基本初等函数y=f(u) 与函数 u=u(x) 。（2）计算,fuu在将 u=u(x) 代入，表示成关于x 的表达式xuuf。（3）计算u
18、(x), 若 u(x) 是基本初等函数或简单函数，直接求出u(x) 。若 u=u(x)仍然是复合函数， 则继续分解， 重复上述步骤， 直至求出 u(x) 。 最后作乘积xuxuf即求得 y。二、隐函数求导法则若需求因隐函数y 在点0 x处的导数值y0 xx，具体求法是：（1）先由方程F（x，y） =0 求出对应于0 xx的函数值y=0y；（2）再求出y，然后将0 xx，y=0y代入，所得数值即为y0 xx。&2.4 高阶导数函数y=f(x)的 n-1阶导数x1-nf的导数称为函数y=f(x)的 n 阶导数，记作ny或xnf，ndxynd，ndxfnd。二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 ，相应
19、地，函数y=f(x)的导数xf称为 一阶导数。求高阶导数只需反复进行一阶导数的求导运算即可。&2.5 函数的微分设函数 y=f(x)在点0 x处及其左右两侧的小范围内有定义，自变量 x 在点0 x处有改变量0 x，相应的函数该变量为y。若存在常数A，使得当0 x时，xAy是比x高阶的无穷小， 即00limxxAyx，则称函数y=f(x)在点0 x处可微， 并称xA为函数 y=f(x)在点0 x处的微分，记作dyxAxx0。函数 y=f(x)在点0 x处可微与在点0 x处可导等阶，且dyxxfxx00。若函数 y=f(x)在区间 I 上没一点都可微，则称函数 y=f(x)在区间 I 上可微 。函
20、数的微分可以写成dxxfdy。根据函数y=f(x)的微分表达式、基本初等函数的导数公式及运算法则，可得以下微分运算公式及法则：（1）d(c)=0 （c 为常数）（2）d(u(x)+c)=d(u(x)(c为常数 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页版权所有，仿冒必究版权所有，仿冒必究8 （3）d(ku(x)=kd(u(x)(k为常数 ) （4）d(u(x) v(x)=d(u(x) d(v(x) （5）d(u(x) v(x)=v(x)d(u（x）)+u （x） d(v(x) （6）2vudvvduvud（7）dxxux
21、ufxufd如果函数y=f(u) 对 u 可微， u=u(x) 对 x 可微，则duufdy。我们把这个定理称为微分形式不变性。&2.6 函数的单调性、极值与最值一、函数的单调性设函数 f(x)在开区间I 内可导：（1）如果0 xf，那么函数f(x)在 I 内单调增加；（2）如果0 xf，那么函数f(x)在 I 内单调减少。如果函数f(x) 的一阶导数xf在开区间I 内恒非负（恒非正） ，且使得xf=0 的点只是一些孤立的点，那开区间I 为函数 f(x) 的单调增加区间（单调减少区间）。二、函数的极值若函数 f(x)在点0 x处的一阶导数值00 xf，则称点0 x为函数 f(x) 的驻点 。若
22、函数 f(x)在点0 x处可导，且0 x是 f(x) 的极值点，则0 x必是函数 f(x)的驻点。极值存在的第一充分条件：设函数 f(x) 只可能在有限的几个点处不可导，点0 x为 f(x)的驻点或一阶导数不存在的点，当x 从点0 x的左侧变化到右侧时：（1）如果一阶导数xf变号，且从正号（负号）变化到负号（正号），则点0 x为函数f(x)的极大值点（极小值点）；（2）如果一阶导数xf不变号，则点0 x不是函数f(x) 的极值点。极值存在的第二充分条件：设函数 f(x)在其驻点0 x处二阶可导。（1）若0 xf，则0 x是函数 f(x)的极大值点；（2）若0 xf，则0 x是函数 f(x)的极
23、小值点。三、函数的最值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页版权所有，仿冒必究版权所有，仿冒必究9 闭区间上的连续函数必有最值。最值可在区间内部取得，也可在区间端点取得。结合最值与极值的关系，求函数f(x) 在 a ，b 上的最值的步骤如下：（1）求出函数在开区间（a， b）内所有可能的极值点的函数值（包括驻点、间断点及导数不存在的点的函数值）；（2）求出区间点的函数值f(a) 和 f(b) ；（3）将这些函数值进行比较其中最大（小）者为最大（小）值。&2.8 经济应用一、边际函数总成本函数C=C(x) 对产量 x 的一阶导数xC称为 边际成本函数；总收益函数R=R(x)对产量 x 的一阶导数xR称为 边际收益函数； 总利润函数L=L(x) 对产量 x 的一阶导数xL称为 边际利润函数。二、需求弹性函数需求函数 Q=Q(P)对销售价格P的相对变化率称为需求弹性函数，记作PPQPQP。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页