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1、第 12 讲三角函数高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。一、知识整合1熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题2熟练掌握正弦函数、余
2、弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数sin()yAx的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化二、高考考点分析2004 年各地高考中本部分所占分值在1722 分，主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。第三层次：
3、充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。三、方法技巧1. 三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2 +sin2=tanx cotx=tan45 等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角： =（+） ， =22等。（3）降次与升次。 （4）化弦（切）法。（4）引入辅助角。asin +bcos=22basin( +) ，这里辅助角所在象限由a、b 的符号确定，角的值由tan=a
4、b确定。2. 证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3. 证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4. 解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。四、例题分析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
5、- - - - - -第 1 页，共 6 页例 1已知2tan，求（ 1）sincossincos； （2）22cos2cos.sinsin的值. 解： （1）2232121tan1tan1cossin1cossin1sincossincos； (2) 222222cossincos2cossinsincos2cossinsin324122221cossin2cossincossin2222. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。例 2求函数21sincos(sincos )yxxxx的值域。解：设sincos2 sin()224t
6、xxx，则原函数可化为22131()24yttt，因为22t，所以当2t时，max32y，当12t时，min34y，所以，函数的值域为3324y，。例 3已知函数2( )4sin2sin 22f xxxxR，。（1）求( )f x的最小正周期、( )f x的最大值及此时x 的集合；（2）证明：函数( )f x的图像关于直线8x对称。解：22( )4sin2sin 222sin2(1 2sin)f xxxxx2sin 22cos222 sin(2)4xxx(1)所以( )f x的最小正周期T，因为xR，所以，当2242xk，即38xk时，( )f x最大值为2 2；(2)证明：欲证明函数( )f
7、 x的图像关于直线8x对称，只要证明对任意xR，有()()88fxfx成立，因为()22 sin2()2 2 sin(2 )2 2 cos28842fxxxx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页()2 2 sin2()2 2 sin(2 )22 cos28842fxxxx，所以()()88fxfx成立，从而函数( )f x的图像关于直线8x对称。例 4 已知函数 y=21cos2x+23sinx cosx+1 （xR）, （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图像可由y=sinx(x R)的
8、图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解： （1）y=21cos2x+23sinx cosx+1=41 (2cos2x1)+ 41+43（2sinx cosx ）+1 =41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x sin6+sin2x cos6)+45=21sin(2x+6)+45所以 y 取最大值时，只需2x+6=2+2k, （kZ） ，即 x=6+k, （ kZ） 。所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为 x|x=6+k,k Z （2）将函数y=sinx 依次进行如下变换：（i ）把函数y=sinx 的图像向左平移6，得到函数y=sin(x+6) 的图像；（ ii）把得到的图
9、像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+6) 的图像；（ iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数y=21sin(2x+6) 的图像；（iv ）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6)+45的图像。综上得到y=21cos2x+23sinxcosx+1的图像。说明： 本题是 2000 年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=22basin ( x+)+k 的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。
10、本题（1）还可以解法如下：当cosx=0 时， y=1；当 cosx 0 时， y=xxxxx222cossincossin23cos21+1=xx2tan1tan2321+1 化简得： 2(y 1)tan2x3tanx+2y 3=0 tanx R， =38(y 1)(2y 3) 0, 解之得：43y47ymax=47，此时对应自变量x 的值集为 x|x=k +6,k Z 例 5已知函数.3cos33cos3sin)(2xxxxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页（）将f(x)写成)sin(xA的形式，并求其图象对称
11、中心的横坐标；（）如果 ABC的三边 a、b、 c 满足 b2=ac，且边 b 所对的角为x，试求 x 的范围及此时函数f(x)的值域 . 解：23)332sin(2332cos2332sin21)32cos1(2332sin21)(xxxxxxf（）由)332sin(x=0 即zkkxzkkx213)(332得即对称中心的横坐标为zkk，213（）由已知b2=ac ，231)332sin(31)332sin(3sin|295|23|953323301cos21212222cos22222xxxxxacacacacaccaacbcax即)(xf的值域为231 ,3(. 综上所述，3,0(x，)
12、(xf值域为231 ,3( . 说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。例 6在ABC中， a、b、c 分别是角A、B、C的对边，且cos3cosCacBb，(1)求sin B的值；(2)若4 2b，且 a=c，求ABC的面积。解： (1)由正弦定理及cos3cosCacBb，有cos3sinsincossinCACBB，即sincos3sincossincosBCABCB，所以sin()3sincosBCAB，又因为ABC，sin()sinBCA，所以sin3sincosAAB，因
13、为sin0A，所以1cos3B，又0B，所以22 2sin1cos3BB。(2)在ABC中，由余弦定理可得222323acac，又ac，所以有22432243aa，即，所以ABC的面积为211sinsin8 222SacBaB。例 7已知向量2(2cossin )( sincos )(3)abxatb，2， =，ykab，且0 x y，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页(1)求函数( )kf t的表达式；(2)若 13t，求( )f t的最大值与最小值。解： (1)24a，21b，0a b，又0 x y，所以2222
14、2(3) ()(3)(3)0 x yatbkabkatbtk ta b，所以31344ktt，即313( )44kf ttt；(2)由(1)可得，令( )f t导数233044t，解得1t，列表如下：t 1 (1，1) 1 (1， 3) ( )f t导数0 0 + ( )f t极大值递减极小值递增而119( 1)(1)(3)222fff，所以maxmin91( )( )22f tf t，。例 8已知向量2 5(cossin)(cossin) |5abab， =，(1) 求cos() 的值；(2) (2)若500sinsin2213，且，求的值。解： (1)因为(cossin )(cossin
15、)ab， =，所以(coscossinsin)ab，又因为2 5|5ab，所以222 5(coscos)(sinsin)5，即4322cos()cos()55 ，；(2) 00 022 ，又因为3cos()5 ，所以4sin()5 ，5sin13，所以12cos13，所以63sinsin()65 例 9平面直角坐标系有点4,4),1 ,(cos),cos, 1(xxQxP（1）求向量OP和OQ的夹角的余弦用x表示的函数)(xf；（2）求的最值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页解： （1）cosOQOPOQOP，xxxxx22cos1cos2coscos)cos1(coscos即xxxf2cos1cos2)()44(x（2）xxcos1cos2cos，又223,2cos1cosxx，1 ,322cos，0min，322arccosmax. 说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页