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1、精品资料欢迎下载例 1 解方程21122442xxxx. 解：原方程就是21122)2)(2(4xxxxx去分母，得2)2)(2()2(24xxxxx整理后，得022xx解这个方程，得1, 221xx. 经检验，2x是增根，1x是原方程的根. 说明去分母前的排列，变号（如本题中的x22变为22x） ，去分母时分母为1 的整式或常数漏乘最简公母以及去括号时符号是否改变，都是解方程中容易出错的地方，解题过程中都要认真对待. 例 2 解方程xxxx222322解法一：原方程可化为xxxx2223)(2设yxx2，则原方程化为yy232，去分母，得02322yy，解这个方程，得2,2121yy. 当2
2、1y时，212xx，0212xx，,021此方程无实根 . 当2y时，22xx. 解这个方程，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页精品资料欢迎下载1,221xx经检验，1,221xx都是原方程的根. 解法二：去分母，整理，得0122,0)19)29)122(, 02)(1)(2,02)(3)(22222222xxxxxxxxxxxxxx02x或01x. 方程01222xx的084，无实数根 . 1,221xx. 经检验，1,221xx都是原方程的根. 说明从两种解法看到分式方程转化为整式方程的两种途径.解法一用的是
3、换元法，因为)(22222xxxx，设yxx2，经过换元使方程得到化简.解法二用的是去分母，其后在解的过程中也是一种换元的思想，是把xx2看成一个整体，当成一个未知数，只是没有显现出换元，如果换元方法掌握较好，对于这样的题采用解法二是否更为简捷些. 例 3 当 a 取何值时，方程) 1)(2(21221xxaxxxxx去分母，得axxxx2)2() 1)(1(2解这个方程，得25ax方程的解为负数，025a，解得5a. 0)1)(2(xx，1,2 xx. 即125, 225aa. .7, 1 aa当5a且7a时，方程的解为负数. 说明分式方程的解必使是各分式的分母不等于零，在求适合某种条件的字
4、母系数的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页精品资料欢迎下载值时，要特别注意这一点. 例 4 某工厂计划生产480 个零件， 在实际生产中每小时多做了10 个，结果不仅提前1小时完成任务， 而且还比原计划多生产了10 个零件 .求原计划每小时做多少个零件？预计用多少时间？分析设原计划每小时做x 个零件，那么预计用的时间就是x480小时，实际每小时生产了)10(x个零件，共计生产了)10480(个，所以实际所用的时间是1010480 x小时 .根据“实际比原计划提前1 小时完成”这个等量关系列方程. 解：设原计划每小时
5、做x 个零件 . 根据题意，有11010480480 xx. 去分母，整理，得04800202xx. 解这个方程，得60,8021xx. 经检验，60,8021xx都是原方程的根，但生产零件的个数不能为负数，所以只取60 x. 当60 x时，860480480 x. 答：原计划每小时生产60 个零件，预计用8 小时完成任务. 例 5 甲、乙二人分别从相距27 千米的 A、B 两地同时出发，相向而行，3 小时相遇 .相遇后两人各用原来速度继续前进，甲到达 B 地比乙到达A 地早 1 小时 21 分.求两人的速度. 分析本题中的主要等量关系是走完全程甲比乙少用1 小时21 分，可用等式602112
6、727甲速乙速表示 .题目的前一句话中隐含了二人速度之间的关系，27 千米的路程，二人用 3 小时相遇， 就是说二人的速度和是每小时9 千米， 如果设甲每小时走x 千米， 那么乙每小时走（x9）千米 . 解：设甲每小时走x 千米，那么乙每小时走（x9）千米 . 依题意，有6021127927xx. 化简得201191xx去分母，整理，得0180312xx解这个方程，得5,3621xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页精品资料欢迎下载经检验，5,3621xx都是原方程的根，但速度不能为负数，所以只取5x. 当5x时，
7、4599x. 答：甲每小时走5 千米，乙每小时走4 千米 . 说明本题也可以把题中的两句话看成两个等量关系，列方程组求解.即设甲的速度为每小时x 千米，乙的速度为每小时y 千米 . 根据题意，有602112727,2733xyyx. 方程组用代入消元法求解. 典型例题六例 若解分式方程xxxxmxx1)1(112产生增根，则m的值是（） . 分析解分式方程可能产生增根的原因是去分母时两边都乘以最简公分母含未知数的整式 .当这个整式的值为0 时，就产生增根，所以解这类题目的方法是先去分母，将分式方程化为整式方程，再将所有可能的增根代入这个整式方程，求出m的值 . 解 原方程即是xxxxmxx1)
8、1(112去分母，得.)1()1(222xmx这个方程可能地增根是.10 xx或把0 x代入整式方程，得.1)1(0m解得2m；把1x代入整式方程，得.)11() 1()1(222m解得. 1m.21或m故选 D. 典型例题七例已知 x 是实数，且2)3(3322xxxx，那么xx32的值为（）A1 B 3或 1 C3 D 1 或 3 误解设yxx32，则原方程可变为23yy，即.0322yy.B.131,321故选或xyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页精品资料欢迎下载剖析332xx时，即是0332xx，此时0
9、31432，方程无实数解，即x 不是实数，与题设不符，应舍去；当132xx时，即是0132xx，此时, 0)1(1432方程有实数解，即x 是实数，符合题设，故.132xx正确答案：选A. 说明此题由解分式方程演变而来，大大增加了成就机会，解题时，若忽视“实数”这个题设条件，将求得的值不加检验直接写出，则前功尽弃.还有一类题目由无理方程演变而来，如“已知 x 为实数，且3246222xxxx，则xx22的值等于 _”. 典型例题八例 阅读理解题：关于x的方程：ccxx11的解是cxcx1,21；ccxx11（即ccxx11）的解是cxcx1,21；ccxx22的解是cxcx2,21；ccxx2
10、2（即ccxx22）的解是cxcx2,21；ccxx33的解是cxcx3,21；（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程cmcxmx（0m）与它们的关系，猜想这个方程的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证. （2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数.那么这样的方程可以直解. 请你试用上述结论解关于x的方程：1212aaxx. 解： （1）cmxcx21,. 验证，当cx1时，左边 =右边，cmccx1是原方程的解. 精选学习资料 - - - - - - - - -
11、名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页精品资料欢迎下载当cmx2时，左边 =cmccmmcm右边cmx2是原方程的解. （ 2）原方程可化为121121aaxx. 由以上结论可知：, 11ax或121ax. 11,21aaxax均为原方程的解. 典型例题九例解分式方程：977564108xxxxxxxx分析：由于本例中分子的次数不低于分母的次数，首先可将分式化为整式部分与真分式部分之和的形式，以简化运算. 解1021108xxx， （这种变形要注意借鉴）62164xxx，72175xxx，92197xxx，原方程化为917161101xxxx左右两边分别通分，并整理，
12、得0)9)(7(1)6)(10(1)162(xxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页精品资料欢迎下载0)9)(7(1)6)(10(1xxxx，0162x，8x经检验，8x是原方程的根 . 说明：先化简再求解是本例的关键所在.把一个分子次数不低于分母次数的分式化为整式部分与真分式之和的一般方法是带余除法. 典型例题十例解关于x的方程：bxaaxbabxbax)0(ba分析：利用换元法求解. 解设mbax，nabx，则原方程可变形为nmnm11，即mnnmnm整理，得0)1)(mnnm0nm或01mn当0nm时，即
13、0abxbax0ba，babax221当01mn时，即01abxbax解之，得02x，bax3经检验：babax221，02x，bax3都是原方程的根. 说明：本例的求解中用了两次换元，使解法显得巧妙，望能适当利用. 典型例题十一例解关于x的分式方程：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页精品资料欢迎下载25axaaxx分析： 本例是含有字母参数的分式方程，先去分母化分式方程为整式方程，求出用a表示x的根，再给以讨论. 解去分母，得)(5)(22xaaxaxaax，即037222aaxx解之，得ax31，ax212由原
14、方程可知0a，0 xa，即0ax检验：把ax3，ax21分别代入原方程，分母均不为零. 原方程的根是ax3，ax21说明：解含有字母参数的分式方程与一般的分式方程的方法相同，但应特别注意从题目中识别字母系数的取值范围，并根据情况进行讨论. 典型例题十二例解方程：1131222xxxx分析：注意到211222xxxx，于是可采取换元法解之. 解把原方程化为1132122xxxx，即0513122xxxx设yxx1，则原方程可化为05322yy. 解之，得11y，252y. 当1y时，11xx，即012xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
15、 8 页，共 12 页精品资料欢迎下载该方程的判别式0341，所以，它无实数解. 当25y时，251xx，即02522xx解之，得21x，212x经检验，21x，212x原方程的根是21x，212x说明：该例中，211222xxxx，切莫把221xx看作2)1(xx求解，否则，将会造成错误 . 选择题1. 使分式122xxx的值为零的x 的值为（）. A2 B 1 C2 或 1 D 1或 2 2. 如果方程xxmxxxx2112有增根，则m 的值等于（）. A1 或 2 B 1 或 2 C 1 或 2 D1 或 2 3. 方程22144212xxxx的解的个数为（）. A1 个B2 个C0 个
16、D3 个4. 下列方程053212xx251x22312xx0112xx是分式方程的个数为（） . A4 B3 C2 D1 5. 用换元法解方程25211322xxxx，下列变形正确的是（）. A设yxx132，变形，为251yyB设yxx132，变形，为2511yyC设yxx12，变形，为2513yyD设yxx12，变形，为2523yy. 6. 方程2224164xxx的解的个数有（）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页精品资料欢迎下载A3 个B2 个C1 个D0 个7. 如果09612xx，那么x3的值等于（
17、）A1B1 C2D18. 若每人每天工效相同，a个人b天可做s个零件， 则b个人做a个零件需要的天数为（）. Asa2Bas2C2asDsa答案：1. A； 2. C. 3. A 4. B 5. D 6. D 7. B 8. A. 填空题1.方程1412112xxxxxx可以采用左边通分后得方程_，由等式性质只要解整式方程 _；2. 方程112353xxx如果有增根，则x的值是 _；3.当x=_时，分式23xx与23x相等；4. 方程2224222xxx的根是 _；5. 方程2216xxxx，可用 _法，设 _，化简原方程为_；6. 甲、乙两组加工零件，甲在a天内可加工c个零件，乙在b天内可加
18、工d个零件，若两人同时加工t个零件，则需要的天数是_；7. 当k=_时，方程551xkxx无实根答案：1.14113222xxxx；xx4132; 2. 5或21; 3. 2135; 4. 2x; 5. 换元法2xxy，yy16; 6. adbcabt; 7. 4. 解答题1解下列方程：（1）31346xx； （2）3353112xxxxxx； （3）21122442xxxx；（4）71)1(61) 1(2xxxx； （5）02366) 1(2321222xxxxxxxxx. 2用换元法解下列方程：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1
19、0 页，共 12 页精品资料欢迎下载（1）025311322xxxx； （2）xxxx2221；（3）022361222222xxxx； （4）1)1(61xxxx；（5）05161xxxx； （6）025615622xxxx；（7）07432122xx； （8）223825493xxxxxx；（9）0293912xxx； （ 10）0677122xxxx. 3某工厂计划在数天内制造1000 台机床， 后来在实际生产时，每天比原计划多生产25 台，结果提前两天完成，这个工厂实际生产的天数是多少天？4一项工程，甲队单独完成比乙队单独完成少15 天，如果甲队单独工作10 天后，乙队再单独工作15
20、天，就可以完成这项工程的32，求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？5A、B两地相距km99，甲骑自行车由A地驶向B地，经过min30后乙骑自行车以每小时比甲快km3的速度由B地驶往A地，两人在相距km54处相遇， 求甲、乙两人的速度。6 有一河流的水流速度为km/h2， 现有一船沿河航驶， 往返于km5. 3的两地，需用min100，问此船在静水中的速度。7一个水池有甲、乙两个进水管，单独开放甲管注满水池比单独开放乙管注满水池多用5小时， 如果两管同时开放4 小时后， 把乙管关上， 甲管继续开放2 小时， 这时水池还差51没注满，求单独开放一个水管各需多少小时才能把水池注满？8慢车从甲地开往
21、乙地要比快车从乙地开往甲地多用1 小时，若两车同时分别从甲、乙两地出发，相向而行，则经过1 小时 12 分钟相遇，问慢车从甲地开往乙地需多少时间？9某校一班学生组织去春游需要车费540 元，现有二班学生5 人也参加进来，车费不变，这样每人可以少分摊1 5 元，问一班有学生多少人？每人实际分摊车费多少元？10某人承包植树240 棵的任务，计划若干天完成，植树两天后，由于阴雨天气，平均每天少植树 8 棵，因此延缓了4 天完成任务，求原计划完成的天数11某校组织两个班学生到离校10 千米的郊外春游，一班同学步行，出发1 小时后，二班同学骑自行车出发沿同一路线前行，结果比一班早半小时到达目的地，已知自
22、行车比步行每小时多走6 千米，求一班步行的速度12甲、乙两地相距300 公里，一辆慢车从甲地出发驶向乙地，45 分钟后，一辆快车以每小时比慢车快10 公里的速度由乙地出发驶向甲地，两车刚好在甲、乙两地的中点处相遇，分别求出两车的速度13一小艇顺流36 公里到目的地所用的时间，比它逆流回航到出发地要少一个半小时，已知小艇在静水中的速度是每小时10 公里，求水流的速度是多少？答案：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页精品资料欢迎下载1 （ 1）6,921xx； （2）1,421xx（增根）； （ 3）21x（增根），1
23、2x； （4）3,521xx； （5）913, 021xx. 2 （ 1）21、 2 、103（ 2）251（ 3）3、77（ 4）32，23；(5)21, 121xx； (6)31,2121xx； (7)251x，2,2,25432xxx；(8)2, 1,38321xxx；(9)29,2721xx；(10) 21,21,2,214321xxxx. 3. 8 天4甲 30 天；乙 45 天5甲km/h9、乙km/h126km/h5. 7 甲需 15 小时，乙需10 小时； 8. 3 小时； 9. 40 人，12 元； 10. 10 天（提示：设原计划每天植树x 棵，则4224082240 xxxx） ；11. 每小时4 千米； 12. 慢车速度每小时40公里，快车速度每小时50 公里； 13. 每小时 2 公里 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页