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1、2022年高一数学第一章知识点 进入到高一阶段，大家的学习压力都是呈直线上升的，因此平常的积累也显得尤为重要，我高一频道为大家整理了新人教版高一数学必修一第一章学问点希望大家能谨记呦! 高一数学第一章学问点 一.学问归纳： 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 留意：集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则ab)和无序性(a,b与b,a表示同一个集合)。 集合具有两方面的意义，即：凡是符合
2、条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必需符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：N，Z，Q，R，N 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对xA都有xB，则AB(或AB); 2)真子集：AB且存在x0B但x0A;记为AB(或，且) 3)交集：AB=x|xA且xB 4)并集：AB=x|xA或xB 5)补集：CUA=x|xA但xU 留意：?A，若A?，则?A; 若，则; 若且，则A=B(等集) 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，驾驭有关的术语和符号，特殊要留意以下的符号：(1)与、?的区分;(
3、2)与的区分;(3)与的区分。 4.有关子集的几个等价关系 AB=AAB;AB=BAB;ABCuACuB; ACuB=空集CuAB;CuAB=IAB。 5.交、并集运算的性质 AA=A，A?=?，AB=BA;AA=A，A?=A，AB=BA; Cu(AB)=CuACuB，Cu(AB)=CuACuB; 6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 二.例题讲解： 【例1】已知集合M=x|x=m+,mZ,N=x|x=,nZ,P=x|x=,pZ，则M,N,P满意关系 A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM 分析一：从推断元素的共性与区分
4、入手。 解答一：对于集合M：x|x=,mZ;对于集合N：x|x=,nZ 对于集合P：x|x=,pZ，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以MN=P，故选B。 分析二：简洁列举集合中的元素。 解答二：M=，N=，,，P=，,，这时不要急于推断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。 =N，N，MN，又=M，MN， =P，NP又N，PN，故P=N，所以选B。 点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。 变式：设集合，则(B) A.M=NB.MNC.NMD. 解： 当时，2k+1是奇数，k+2是
5、整数，选B 【例2】定义集合AB=x|xA且xB，若A=1,3,5,7,B=2,3,5，则AB的子集个数为 A)1B)2C)3D)4 分析：确定集合AB子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A=a1，a2，an有子集2n个来求解。 解答：AB=x|xA且xB，AB=1,7，有两个元素，故AB的子集共有22个。选D。 变式1：已知非空集合M1,2,3,4,5，且若aM，则6?aM，那么集合M的个数为 A)5个B)6个C)7个D)8个 变式2：已知a,bAa,b,c,d,e,求集合A. 解：由已知，集合中必需含有元素a,b. 集合A可能是a,b,a,b,c,a,b,d,a,b,e,
6、a,b,c,d,a,b,c,e,a,b,d,e. 评析本题集合A的个数实为集合c,d,e的真子集的个数，所以共有个. 【例3】已知集合A=x|x2+px+q=0,B=x|x2?4x+r=0,且AB=1,AB=?2,1,3,求实数p,q,r的值。 解答：AB=11B12?41+r=0,r=3. B=x|x2?4x+r=0=1,3,AB=?2,1,3,?2B,?2A AB=11A方程x2+px+q=0的两根为-2和1， 变式：已知集合A=x|x2+bx+c=0,B=x|x2+mx+6=0,且AB=2,AB=B，求实数b,c,m的值. 解：AB=21B22+m?2+6=0,m=-5 B=x|x2-5
7、x+6=0=2,3AB=B 又AB=2A=2b=-(2+2)=4,c=22=4 b=-4,c=4,m=-5 【例4】已知集合A=x|(x-1)(x+1)(x+2)0,集合B满意：AB=x|x-2，且AB=x|1 分析：先化简集合A，然后由AB和AB分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。 解答：A=x|-21。由AB=x|1-2可知-1,1B，而(-,-2)B=。 综合以上各式有B=x|-1x5 变式1：若A=x|x3+2x2-8x0，B=x|x2+ax+b0,已知AB=x|x-4，AB=,求a,b。(答案：a=-2，b=0) 点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应留意用数形结合的方
8、法，作出数轴来解之。 变式2：设M=x|x2-2x-3=0,N=x|ax-1=0，若MN=N，求全部满意条件的a的集合。 解答：M=-1,3,MN=N,NM 当时，ax-1=0无解，a=0 综得：所求集合为-1，0， 【例5】已知集合，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若PQ，求实数a的取值范围。 分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+20在有解，再利用参数分别求解。 解答：(1)若，在内有有解 令当时， 所以a-4,所以a的取值范围是 变式：若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。 解答： 点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类探讨，但并不是全部的问题都要探讨，怎样
9、可以避开探讨是我们思索此类问题的关键。 【同步练习题】 一、选择题(每题4分，共40分) 1、下列四组对象，能构成集合的是() A某班全部高个子的学生B的艺术家 C一切很大的书D倒数等于它自身的实数 2、集合a，b，c的真子集共有个() A7B8C9D10 3、若1，2A1，2，3，4，5则满意条件的集合A的个数是() A.6B.7C.8D.9 4、若U=1，2，3，4，M=1，2，N=2，3，则CU(MN)=() A.1，2，3B.2C.1，3，4D.4 5、方程组的解集是() A.x=0,y=1B.0,1C.(0,1)D.(x,y)|x=0或y=1 6、以下六个关系式：，,，是空集中，错误
10、的个数是() A4B3C2D1 7、点的集合M=(x,y)|xy0是指() A.第一象限内的点集B.第三象限内的点集 C.第一、第三象限内的点集D.不在其次、第四象限内的点集 8、设集合A=，B=，若AB，则的取值范围是() ABCD 9、满意条件M=的集合M的个数是() A1B2C3D4 10、集合，且，则有() AB CD不属于P、Q、R中的随意一个 二、填空题(每题3分，共18分) 11、若，用列举法表示B 12、集合A=x|x2+x-6=0,B=x|ax+1=0,若BA，则a=_ 13、设全集U=，A=，CA=，则=，=。 14、集合，_. 15、已知集合A=x|,若AR=，则实数m的
11、取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种试验，已知物理试验做得正确得有40人，化学试验做得正确得有31人，两种试验都做错得有4人，则这两种试验都做对的有人. 三、解答题(每题10分，共40分) 17、已知集合A=x|x2+2x-8=0,B=x|x2-5x+6=0,C=x|x2-mx+m2-19=0,若BC，AC=，求m的值 18、已知二次函数()=,A=,试求的解析式 19、已知集合，B=，若，且求实数a，b的值。 20、设，集合，且A=B，求实数x，y的值 高一数学第一章学问点 本节主要包括函数的模型、函数的应用等学问点。主要是理解函数解应用题的一般步骤敏捷利用函数解答实际应用题。 1
12、、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等。 2、用函数解应用题的基本步骤是：(1)阅读并且理解题意.(关键是数据、字母的实际意义);(2)设量建模;(3)求解函数模型;(4)简要回答实际问题。 常见考法： 本节学问在段考和高考中考查的形式多样，频率较高，选择题、填空题和解答题都有。多考查分段函数和较困难的函数的最值等问题，属于拔高题，难度较大。 误区提示： 1、求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围。 2、求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化
13、成数学语言，建立相应的数学模型。 【典型例题】 例1： (1)某种储蓄的月利率是0.36%，今存入本金100元，求本金与利息的和(即本息和)y(元)与所存月数x之间的函数关系式，并计算5个月后的本息和(不计复利). (2)按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x改变的函数式.假如存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少?解：(1)利息=本金月利率月数.y=100+1000.36%x=100+0.36x，当x=5时，y=101.8，5个月后的本息和为101.8元. 例2： 某民营企业生产A，B两种产品，依据市场调查
14、和预料，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位是万元) (1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式。 (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样安排这10万元投资，才能是企业获得利润，其利润约为多少万元。(精确到1万元)。 高一数学第一章学问点 定义： 形如y=xa(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不怜悯况如下：假如a为随意实数，则函数的定义域为大于0的全部实数;假如
15、a为负数，则x确定不能为0，不过这时函数的定义域还必需根据q的奇偶性来确定，即假如同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的全部实数;假如同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的全部实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不怜悯况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种状况来探讨各自的特性： 首先我们知道假如a=p/q，q和p都是整数，则x(p/q)=q次根号(x的p次方)，假如q是奇数，函数的定义域是r，假如q是偶数，函数的定义域
16、是0，+)， 当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(xk)，明显x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 解除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是随意实数; 解除了为0这种可能，即对于x0和x0的全部实数，q不能是偶数; 解除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的全部实数，a就不能是负数。总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不怜悯况如下： 假如a为随意实数，则函数的定义域为大于0的全部实数; 假如a为负数，则x确定不能为0，不过
17、这时函数的定义域还必需依据q的奇偶性来确定，即假如同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的全部实数;假如同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的全部实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的随意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自状况. 可以看到： (1)全部的图形都通过(1，1)这点。 (2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 (3)当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。 (4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 (5)a大于0，函数过(0，0);a小于0，函数不过(0，0)点。 (6)明显幂函数。 高一数学第一章学问点第13页 共13页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页