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1、数学必修一看题复习注：以下内容总结了数学必修一常考题型，请认真看完每一种类型的题目，题目给出了相应的解析。若解析仍然看不懂，带着问题看每道例题前面的基础知识复习。注：看题时注意动笔写一写，本次要求是熟练每种题目的做题方法，以看和记忆为主。集合部分考点一：集合的定义及其关系基础知识复习（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集 .（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一. （4）集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. 列举法：把集合中的
2、元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. 描述法： x|x具有的性质 ，其中x为集合的代表元素. 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集(). （6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集BA（或)ABA 中的任一元 素 都 属于 B (1)AA (2)A(3)若BA且BC，则AC(4)若BA且BA，则ABA(B)或BA真子集AB （或 BA）BA，且B 中至少有一 元 素 不属于 A （1）A（A 为非空子集）(2)若AB且BC，则ACBA精选学习资料 - - - - - -
3、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 28 页ABBAABABABCD集合相等ABA 中的任一元 素 都 属于 B，B 中的 任 一 元素都属于A (1)AB (2)BA A(B)（7）已知集合A有(1)n n个元素，则它有2n个子集，它有21n个真子集，它有21n个非空子集，它有22n非空真子集 . 题型 1：集合元素的基本特征例 1（2008 年江西理）定义集合运算：|,A Bz zxy xA yB设1,2 ,0,2AB，则集合AB的所有元素之和为（）A0；B2； C3；D6 解题思路 根据AB的定义，让x在A中逐一取值，让y在B中逐一取值，xy在值就是AB的
4、元素解析 ：正确解答本题,必需清楚集合AB中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知AB=4, 2, 0，故应选择D 题型 2：集合间的基本关系例 2.1数集ZnnX,)12(与ZkkY,)14(之的关系是（）AXY；BYX； C YX； DYX解题思路 可有两种思路： 一是将X和Y的元素列举出来，然后进行判断； 也可依选择支之间的关系进行判断。解析 从题意看，数集X与Y之间必然有关系，如果A成立，则D就成立，这不可能；同样， B也不能成立；而如果D成立，则 A、B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C 【例 2.2】设集合1,22|,|nnxnnAx xBxZZ，则下列图形能表示A 与 B
5、关系 的是（）. 解： 简单列举两个集合的一些元素，3113,1,0,1,2222A，31 1 3,22 2 2B，易知 BA，故答案选A 例 2.3若集合2|60 ,|10Mx xxNx ax，且NM，求实数a的值 . 解： 由26023xxx或， 因此，2, 3M. （i） 若0a时，得N， 此时，NM；（ii）若0a时，得1Na. 若NM,满足1123aa或，解得1123aa或. 故所求实数a的值为0或12或13考点二：集合的基本运算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 28 页基础知识复习1交集的定义 ：一般地，由所有
6、属于A且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作 AB(读作” A 交 B”)，即 AB=x|xA，且 xB2、并集的定义 ：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：AB(读作” A并 B”)，即 AB=x|x A，或 x B3、交集与并集的性质：AA = A，A = , AB = BA， AA = A，A = A , AB = BA. 4、全集与补集（1）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U 来表示。（2）补集：设S是一个集合，A 是 S的一个子集（即AS） ，由 S中所有不属于A
7、 的元素组成的集合，叫做S中子集 A 的补集（或余集） 。记作：CSA ，即 CSA =x | xS且 xA （3）性质： CU(C UA)=A (C UA)A=(C UA) A=U (4)(C UA)(C UB)=C U(AB) (5)(C UA)(C UB)=C U(AB) 例 3.1 设集合0232xxxA，0) 5() 1(222axaxxB（1）若2BA，求实数a的值； （注：这里的I 指的是交， Y指的是并）（2）若ABA，求实数a的取值 范围解题思路 对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。解析 因为2, 10232xxxA，（1）由2BA知，B2
8、，从而得0)5() 1(4222aa，即0342aa，解得1a或3a当1a时，2, 2042xxB，满足条件；当3a时，20442xxxB，满足条件所以1a或3a（2）对于集合B，由)3(8)5(4)1(422aaa因为ABA，所以AB当0，即3a时，B，满足条件；当0，即3a时，2B，满足条件；当0，即3a时，2, 1AB才能满足条件，S CsA A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 28 页由根与系数的关系得725521)1(22122aaaa，矛盾故实数a的取值 范围是3a 例 3.2 已知集合|24Axx，|Bx
9、xm ，且 ABAI，求实数 m 的取值范围 . （注：这里的I指的是交， Y指的是并）解：由 ABAI，可得 AB . 在数轴上表示集合A 与集合 B，如右图所示：由图形可知，4m. 例 3.3 设集合24,21,9,5,1AaaBaa，若9ABI，求实数 a 的值 . （注：这里的I指的是交， Y指的是并）解：由于24,21,9,5,1AaaBaa，且9ABI，则有：当 21 9a 时，解得5a，此时=4, 9, 25=9, 0, 4AB，不合题意，故舍去；当29a 时，解得33a 或. 3=4,5,9=9,2,2aAB 时， 不合题意，故舍去；3=4, 7 9=9, 8, 4aAB ，
10、，合题意 . 所以，3a函数部分考点一：判断两函数是否为同一个函数基础知识复习：1.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域注意： （1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以， 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：定义域一致；表达式相同(两点必须同时具备) 例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）2)(xxf，33)(xxg；（2）xxxf)(，; 01, 01)(xxxg（3）1212)(
11、nnxxf，1212)()(nnxxg（nN*） ；（4）xxf)(1x，xxxg2)(；（5）12)(2xxxf，12)(2tttg 解题思路 要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。-2 4 m xBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 28 页解析 （1）由于xxxf2)(，xxxg33)(，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数. （2）由于函数xxxf)(的定义域为), 0()0 ,(，而; 01, 01)(xxxg的定义域为 R，所以它们不是同一函数. （3） 由于当 nN*时，2n
12、 1 为奇数， xxxfnn1212)(，xxxgnn1212)()(，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数. （4）由于函数xxf)(1x的定义域为0 xx，而xxxg2)(的定义域为10 xxx或，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数. （5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. 答案 （1） 、 （2） 、 （4）不是；（3） 、 （5）是同一函数考点二：求函数的定义域、值域知识点复习：1.求函数的定义域时，一般遵循以下原则：( )f x是整式时，定义域是全体实数( )f x是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数( )f x是偶次根式时，定义
13、域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1tanyx中，()2xkkZ零（负）指数幂的底数不能为零没有0 的 0 次方，也没有0 的负数次方。若( )f x是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，主要记住两个个问题，1，定义域指的是一个x 的取值范围。 2，括号范围对括号范围。例如：f（x+1）定义域是（ 1，2） ，求 f（2x）定义域，先求第一个括号的范围x+1 属于（ 2，3） ，所以 2x 属于（ 2，3） ，所以 x 属于（ 1，3/
14、2） 。对于含字母参数的函数，求其定义域， 根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义2求值域的几种方法：（1）配方法：对于（可化为）“ 二次函数型 ” 的函数常用配方法（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数) 32(log221xxy就是利用函数uy21log和322xxu的值域来求。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 28 页（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数22122xxxy的值域由22
15、122xxxy得012)1(22yxyyx，若0y，则得21x，所以0y是 函 数 值 域 中 的 一 个 值 ； 若0y， 则 由0) 12(4)1(22yyy得021332133yy且，故所求值域是2133,2133（4）分离常数法：常用来求 “ 分式型 ” 函数的值域。已知cos x属于（ -1 ，1）如求函数1cos3cos2xxy的值域，因为1cos521cos3cos2xxxy，因为cos x 属于（ -1，1） ，所以2,0(1cosx，所以25,(1cos5x，故21,(y（5）利用对号函数求值域：如求函数432xxy的值域1. 当0 x时，0y；2. 当0 x时，xxy43，
16、若0 x，则 x+4/x 的最小值是4，可得 0y3/4 若0 x，则， x+4/x 的最大值是 -4。可得 -3/4y0 综上所述：此时从而得所求值域是43,43（6）换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，在一个表达式中频繁出现的部分换成t 。注意换元后新元的取值范围：另*=t ，则 t 属于 （7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。题型 1：求有解析式的函数的定义域 例 2. （08 年湖北）函数)(xf)4323ln(122xxxxx的定义域为 ( ) （注：这里的I指的是交， Y指的是并）A.),2)4,(
17、;B.) 1 ,0()0,4(；C. 1 ,0()0 ,4,;D. )1 ,0()0,4,解题思路 函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。 解析 欲使函数)(xf有意义，必须并且只需精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 28 页0043230430232222xxxxxxxxx)1 , 0()0,4x，故应选择D题型 2：求抽象函数的定义域 例 3 （ 2006湖北）设xxxf22lg，则xfxf22的定义域为（）（注：这里的I指的是交， Y指的是并）A. 4 ,00, 4；B. 4, 11,4；
18、C. 2, 11, 2；D. 4 ,22, 4解题思路 要求复合函数xfxf22的定义域，应先求)( xf的定义域。 解析 由202xx得，( )f x的定义域为22x，故22,2222.xx解得4, 11,4xU。故xfxf22的定义域为4, 11,4.选 B. 题型 3；求函数的值域 例 4 求下列函数的定义域与值域：（1）3254xyx； （ 2）22yxx. 解： （1）要使函数有意义，则540 x，解得54x. 所以原函数的定义域是5|4x x. 32112813(45)233233305445445445444xxxyxxxx， 所 以 值 域 为3|4y y. （2）22192(
19、)24yxxx. 所以原函数的定义域是R，值域是9(,4. 考点三：映射的概念基础知识复习映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作:fAB给定一个集合A到集合B的映射，且,aA bB如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 28 页例 5 （ 06 陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文
20、（加密），接收方 由 密 文明 文 （ 解 密 ）， 已 知 加 密 规 则 为 ： 明 文, , ,a b c d对 应 密 文2 ,2,23 ,4.abbccdd例如，明文1,2,3, 4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（）A7,6,1, 4；B6,4,1,7；C4,6,1,7；D1,6, 4,7解题思路 密文与明文之间是有对应规则的，只要按照对应规则进行对应即可。解析 当接收方收到密文14，9，23，28 时，有214292323428abbccdd，解得6417abcd，解密得到的明文为C考点四：函数的表达式题型 1：由复合函数的解
21、析式求原来函数的解析式 例 6（04 湖北改编）已知)11(xxf=2211xx，则)(xf的解析式可取为 解题思路 这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换元法 解析 令txx11，则11ttx，12)(2tttf. 12)(2xxxf. 故应填212xx题型 2：求二次函数的解析式例 7 （普宁市城东中学09 届高三第二次月考） 二次函数)(xf满足xxfxf2)()1(，且1)0(f。求)(xf的解析式；在区间1 , 1上，)(xfy的图象恒在mxy2的图象上方，试确定实数m的范围。 解题思路 （1）由于已知)(xf是二次函数，故可应用待定系数法 求解；（ 2）用数表示形，可得
22、求)(2xfmx对于 1 ,1x恒成立， 从而通过分离参数，求函数的最值即可。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 28 页 解析 设2( )(0)f xaxbxc a，则22(1)( ) (1)(1)()2f xf xa xb xcaxbxcaxab与已知条件比较得：22,0aab解之得，1,1ab又(0)1fc，2( )1f xxx由题意得：212xxxm即231mxx对1,1x恒成立，易得2min(31)1mxx考点五：分段函数基础知识复习：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变
23、量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集题型 1：根据分段函数的图象写解析式例 8 (07 年湖北 )为了预防流感，某学校对教室用药物消毒法进行消毒。 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y （ 毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y 与 t 的函数关系式为ay1161（a 为常数），如图所示， 根据图中提供的信息，回答下列问题：（）从药物释放开妈，每
24、立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为；（）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25 毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室。思路点拨 根据题意，药物释放过程的含药量y（毫克）与时间t 是一次函数，药物释放完毕后， y 与 t 的函数关系是已知的，由特殊点的坐标确定其中的参数，然后再由所得的表达式解决（）解析 （）观察图象，当1 .00t时是直线，故ty10；当1. 0t时，图象过)1 , 1.0(所以a1.01611，即1.0a，所以1.0,)161(1 .00,101.0tttyt精选学习资料 - - - - -
25、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 28 页（）6.016116125.01615. 01.01. 0taa，所以至少需要经过6 .0小时题型 2：由分段函数的解析式画出它的图象例 9 (2006 上海 )设函数54)(2xxxf，在区间6,2上画出函数)(xf的图像。思路点 拨 需将来绝对值符号打开，即先解0542xx，然后依分界点将函数分段表示，再画出图象。解析 222452156( )45(45)15xxxxf xxxxxx或,如右上图 . 考点六函数的单调性基础知识复习：定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内
26、某个区间上的任意两个自变量的值x1、 x2, 当 x1 x2时，都有 f(x 1)f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4） 利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当 x1f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是 减函数y=f(X)yxoxx2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4） 利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是
27、增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数( )yf g x，令( )ug x，若( )yf u为增，( )ug x为增，则( )yf g x为增；若( )yf u为减，( )ug x为减，则( )yf g x为增；若( )yf u精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 28 页为增，( )ug x为减，则( )yf g x为减；若( )yf u为减，( )ug x为增，则( )yf g x为减（2）打“”函数( )(0)af xxax的图象与性质( )f x分别在(
28、,a、,)a上为增函数，分别在,0)a、(0,a上为减函数题型 1：讨论函数的单调性 例 9.1试用函数单调性的定义判断函数2( )1xfxx在区间（ 0，1）上的单调性 . 解：任取12,xx (0,1)，且12xx . 则1221121212222()()()11(1)(1)xxxxf xf xxxxx. 由 于1201xx，110 x，210 x，210 xx， 故12()()0f xfx， 即12()()f xf x. 所以，函数2( )1xf xx在（ 0，1）上是减函数. 例 9.2求下列函数的单调区间：（1）|1|24|yxx； （2）22|3yxx. 解： （1）33,1|1|
29、24|5,2133,2xxyxxxxxx，其图象如右. 由图可知，函数在 2,)上是增函数，在(, 2上是减函数 . （2）22223,02|323,0 xxxyxxxxx，其图象如右. 由图可知，函数在(, 1、0,1上是增函数，在 1,0、1,)上是减函数 . 例 9.3.已知31( )2xfxx，指出( )f x的单调区间 . 解：3(2)55( )322xf xxx， 把5( )g xx的图象沿x 轴方向向左平移2 个单位，再沿y 轴向上平移3 个单位，yxo精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 28 页得到( )f
30、 x的图象，如图所示. 由图象得( )f x在(, 2)单调递增，在( 2,)上单调递增 . 题型 2：研究抽象函数的单调性 例 10 定义在 R 上的函数)(xfy，0)0(f，当 x0 时，1)(xf，且对任意的a、bR，有 f（a+b）=f（a） f（ b）. （1）求证： f（0）=1；（2）求证：对任意的xR，恒有 f（x） 0；（3）求证： f（x）是 R 上的增函数；（4）若 f（x） f（ 2xx2） 1，求 x 的取值范围 . 解题思路 抽象函数问题要充分利用“ 恒成立 ” 进行 “ 赋值 ” ， 从关键等式和不等式的特点入手。 解析 （1）证明：令a=b=0，则 f（ 0）
31、=f 2（0）. 又 f（0）0 ， f（0）=1. （2）证明：当x0 时， x0，f（0）=f（x） f（ x）=1. f（ x）=)(1xf0.又 x0 时 f（x） 1 0，xR 时，恒有 f（x） 0. （3）证明：设x1x2，则 x2x10. f（x2）=f（x2x1+x1）=f（x2x1） f（x1）. x2x10， f（x2x1） 1. 又 f（x1） 0， f（x2x1） f（x1） f（x1） . f（x2） f（x1）.f（x）是 R 上的增函数 . （4）解：由 f（ x） f（2xx2） 1，f（ 0）=1 得 f（ 3xx2） f（0）.又 f（x）是 R 上的增函
32、数，3xx20.0 x3. 考点七最值的求法题型 1：求分式函数的最值例 11 （2000 年上海）已知函数xaxxxf2)(2)., 1 ,x当21a时，求函数)(xf的最小值； 解题思路 当21a时，221)(xxxf，这是典型的“ 对钩函数 ” ，欲求其最小值，可以考虑均值不等式或导数；解析 当21a时，2211)( ,221)(xxfxxxf1x，0)(xf。)(xf在区间), 1上为增函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 28 页)(xf在区间), 1上的最小值为27)1 (f。题型 2：还原法求最值例 11
33、.1 求函数21yxx的最小值 . 解：令1xt，则0t，21xt，所以22115222()48yttt，在0t时是增函数，当0t时，min2y，故函数的最小值为2. 考点八判断函数的奇偶性及其应用基础知识复习：定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f( x)= f(x) ,那么函数f(x)叫做 奇函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f( x)= f(x) , 那 么 函 数f(x)叫做 偶函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）
34、（2）利用图象（图象关于 y 轴对称）若函数( )f x为奇函数，且在0 x处有定义，则(0)0f奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数题型 1：判断有解析式的函数的奇偶性例 12 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1| |x1|； （2）f（x）=（ x1）xx11；（3）2|2|1)(2xxxf； （4）).0()1 (),0()1 ()(xxxxxxxf思路点拨 判断函数的奇偶性应
35、依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 28 页 解析 （1）函数的定义域x（ ，+） ，对称于原点. f（ x）=|x+1| x1|=|x1|x+1|=（ |x+1|x1|）= f（x） ，f（x）=|x+1|x1|是奇函数 . （2）先确定函数的定义域.由xx110 ，得 1 x1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数. （3）去掉绝对值符号，根据定义判断. 由,02|2|, 012xx得.40, 11xxx且故 f（x）的定义域为 1，0）（ 0，1 ，关于原
36、点对称，且有x+20. 从而有 f（x）= 2212xx=xx21， f（ x）=xx2)(1=xx21=f（x）故 f（x）为奇函数 . （4）函数f（x）的定义域是（，0）（ 0，+） ，并且当 x0 时， x0，f（ x）=（ x） 1（ x） =x（ 1+x）=f（x） （x 0）. 当 x0 时， x0， f（ x）=x（1 x）=f（ x） （x0）. 故函数 f（x）为奇函数 . 例 13 （09 年山东梁山）定义在区间)1 , 1(上的函数f (x)满足：对任意的)1 , 1(, yx，都有)1()()(xyyxfyfxf. 求证 f (x)为奇函数；思路点拨 欲证明)(xf为
37、奇函数，就要证明)()(xfxf，但这是抽象函数，应设法充分利用条件“对任意的) 1 , 1(, yx，都有)1()()(xyyxfyfxf”中的yx,进行合理“赋值”解析 令 x = y = 0，则f (0) + f (0) = )0()0100(ff f (0) = 0 令 x(1, 1) x(1, 1) f (x) + f ( x) = f (21xxx) = f (0) = 0 f (x) = f (x) f (x) 在( 1，1)上为奇函数考点九函数奇偶性、单调性的综合应用例14 （普宁市城东中学09 ）已知奇函数)(xf是定义在)2 ,2(上的减函数，若0)12() 1(mfmf，
38、求实数m的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 28 页思路点拨 欲求m的取值范围，就要建立关于m的不等式，可见，只有从0)12() 1(mfmf出发，所以应该利用)(xf的奇偶性和单调性将外衣“f”脱去。解析Q)(xf是定义在)2,2(上奇函数对任意x)2,2(有fxfx由条件0) 12()1(mfmf得(1)(21)f mfm=(12 )fmQ)(xf是定义在)2,2(上减函数21212mm，解得1223m实数m的取值范围是1223m 例 15 设函数 f(x)是定义在R 上的偶函数，并在区间(,0) 内单调递
39、增， f(2a2+a+1)f(3a22a+1).求 a 的取值范围，并在该范围内求函数y=(21)132aa的单调递减区间. 思路点拨 欲由 f(2a2+a+1)f(3a22a+1)求 a 的取值范围，就要设法利用函数f(x)的单调性。而函数 y=(21)132aa是一个复合函数，应该利用复合函数单调性的判定方法解决 解析 设 0 x1x2,则 x2x10， f(x)在区间 ( ,0) 内单调递增，f( x2) f(x1),f(x)为偶函数，f(x2)=f(x2),f(x1)=f(x1), f(x2)f(x1).f(x)在(0， +) 内单调递减 . . 032)31( 3123,087)41
40、(2122222aaaaaa又由 f(2a2+a+1)3a22a+1.解之，得0a3. 又 a23a+1=( a23)245. 函数 y=(21)132aa的单调减区间是3,)2结合 0a0 且 a1；2. 真数 N0 3. 注意对数的书写格式2、两个重要对数：（1）常用对数：以10 为底的对数 , 10loglgNN记为；（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数, loglneNN记为3、对数式与指数式的互化logxaxNaN对数式指数式对数底数a 幂底数对数x 指数真数N 幂结论： （1）负数和零没有对数（2）logaa=1, loga1=0 特别地，lg10=1, lg1=0 , l
41、ne=1, ln1=0 (3) 对数恒等式：log NaaN对数的运算性质如果a 0，a 1，M 0， N 0 有：1、logMNloglogaaaMN?（）两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和2 、NMNMaaalogloglog两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差3 、loglognnaaMnM （R）一个正数的n 次方的对数等于这个正数的对数n倍说明 : 1) 简易语言表达: ”积的对数 =对数的和 ”2) 有时可逆向运用公式3) 真数的取值必须是(0, ) 4) 特别注意：NMMNaaalogloglogNMNMaaalogloglog注意：换底公式loglglog0,1,0,
42、1,0loglgcacbbbaaccbaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 28 页利用换底公式推导下面的结论abbalog1logloglogloglogabcabcdd?loglogmnaanbbm考点二指数函数基础知识复习：1、指数函数的概念：一般地，函数xya叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为 R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1即a0 且 a12、指数函数的图象和性质0a1 图像性质定义域 R , 值域（ 0， +）（1）过定点（ 0，1）,即 x=0 时， y=1 (2)在 R
43、上是减函数(2)在 R上是增函数（3）当 x0 时,0y1; 当 x1（3）当 x0 时,y1; 当 x0 时,0y1图象特征函数性质共性向 x 轴正负方向无限延伸函数的定义域为R 函数图象都在x 轴上方函数的值域为R+图象关于原点和y 轴不对称非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）过定点（ 0， 1）0a0 时,0y1;在第二象限内的图象纵坐标都大于1 当 x1图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；a1 自左向右看，图象逐渐上升增函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1 当 x0 时,y1;在第二象限内的图象纵坐标都小于1 当 x0 时,0y0 时， a,N 在 1
44、 的同侧；当b0 且 y1. (2)y 4x+2x+1+1的定义域为R. 2x0,y4x+2x+1+1(2x)2+22x+1(2x+1)21. y4x+2x+1+1 的值域为 yy1. 题型四最值问题例 4函数221(01)xxyaaaa且在区间 11， 上有最大值14，则a 的值是_分析：令xta 可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围解：令xta ，则0t，函数221xxyaa可化为2(1)2yt，其对称轴为1t当1a时，11x， ，1xaaa，即1taa 当 ta时，2max(1)214ya解得3a或5a（舍去）；当 01a时，11x， ，1xaaa，即1ata ，
45、1ta时，2max11214ya，解得13a或15a（舍去）， a 的值是 3 或13题型五解指数方程例 5解方程223380 xx解 ： 原 方 程 可 化 为29(3 )80390 xx， 令3 (0)xtt， 上 述 方 程 可 化 为298090tt， 解得9t或19t（舍去）， 39x， 2x， 经检验原方程的解是2x题型六图象变换及应用问题例 6为了得到函数935xy的图象，可以把函数3xy的图象（） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 28 页A向左平移9 个单位长度，再向上平移5 个单位长度B向右平移9 个
46、单位长度，再向下平移5 个单位长度C向左平移2 个单位长度，再向上平移5 个单位长度D向右平移2 个单位长度，再向下平移5 个单位长度分析：注意先将函数935xy转化为235xt，再利用图象的平移规律进行判断解：293535xxy，把函数3xy的图象向左平移2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，可得到函数935xy的图象，故选（C） 题型七指数函数与复合函数基础知识参照函数的单调性中复合函数的应用例 7 求函数 y23231xx的单调区间 .这是复合函数求单调区间的问题可设 yu31,u x2-3x+2 ，其中 yu31为减函数ux2-3x+2 的减区间就是原函数的增区间( 即减减增 )
47、 ux2-3x+2 的增区间就是原函数的减区间( 即减、增减 ) 解：设 yu31,u x2-3x+2,y关于 u 递减，当 x(- ，23)时， u 为减函数，y 关于 x 为增函数；当x23，+) 时， u 为增函数， y 关于 x 为减函数 . 题型八指数函数与单调性及奇偶性例 8 已知函数f（x）=a122x（aR） ，（1）求证：对任何aR，f（x）为增函数（2）若 f（x）为奇函数时，求a 的值。（1）证明：设x1x2f（x2） f（x1）=)21)(21 ()22(22112xxxx0 故对任何 aR，f（ x）为增函数（2）xRQ，又 f（x）为奇函数(0)0f得到10a。即1
48、a题型九指数函数变换图像例 9函数 y a x(a1) 的图像是 ( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 28 页本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想 . 解法 1：( 分类讨论 ) ：去绝对值，可得y).0()1(),0(xaxaxx又 a1，由指数函数图像易知，应选B. 解法 2：因为 yax是偶函数，又a1，所以当x 0 时， y ax是增函数； x0 时， ya-x是减函数 . 应选 B. 考点三对数函数1、对数函数的概念：函数logayx(a0，且 a1) 叫
49、做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+） 注意： （1） 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：log1ayx，log2ayx都不是对数函数，而只能称其为对数型函数（2） 对数函数对底数的限制：a0，且 a1 2、对数函数的图像与性质：对数函数logayx(a0，且 a1) 0 a 1 a 1 图像性质定义域：（0，）值域： R 过点 (1 ,0), 即当 x 1 时,y0 在(0,+)上是减函数在 (0,+ )上是增函数当 x1 时， y1 时， y0 当 x=1 时， y=0 yx0(1,0)yx0(1,0)精选学习资料 - - - - - - - - -
50、 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 28 页当 0 x0 当 0 x1 时， y0; 当 a,b 不同在 (0,1) 内，或不同在(1,+ ) 内时 ,有 logab0 得0 x， 函数2logxya的定义域是0 x x；（2）由04x得4x， 函数)4(logxya的定义域是4x x；（3）由 9-02x得-33x，函数)9(log2xya的定义域是33xx题型二反函数例 2求函数251xy和函数22112xy)0(x的反函数。解： （1）125xy115( )log (2)fxx(-2)x；（2）211- 22xy-112( )log ( - 2)fxx5(2)2x