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1、巧用10种解题术解题术一“抛砖引玉,特例引路”术对条件与结论之间关系不太明显的命题求解,可采用“投石问路”的方式,先解决与它有关的一个简单的特例或一个熟悉的特例,然后将这一特例的解法拓展到一般情形,从而使原命题获得解决.这就是“特例引路术”.一般地,对于涉及定值、定点的问题,常常从图形的特殊情况入手,先把定值、定点确定下来,使结论有一个明确的方向.这是因为一般情况与特殊情况之间往往有某种内在的联系可以使用,或论证方法有相似之处可以借鉴.典例1已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F(1,0),O为坐标原点,A,B是抛物线C上异于O的两点.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线OA,OB的斜率
2、之积为-12,求证:直线AB过x轴上一定点.解析(1)因为抛物线y2=2px(p0)的焦点F的坐标为(1,0),所以p2=1,所以p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)证明:当直线AB的斜率不存在时,设At24,t,Bt24,-t.因为直线OA,OB的斜率之积为-12,所以tt24-tt24=-12,化简得t2=32.所以A(8,t),B(8,-t),此时直线AB的方程为x=8.当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=kx+b,A(xA,yA),B(xB,yB),联立得y2=4x,y=kx+b,化简得ky2-4y+4b=0.根据根与系数的关系得yAyB=4bk,因为直线OA,OB的斜率之
3、积为-12,所以yAxAyBxB=-12,即xAxB+2yAyB=0.即yA24yB24+2yAyB=0,解得yAyB=0(舍去)或yAyB=-32.所以yAyB=4bk=-32,即b=-8k,所以直线AB的方程为y=kx-8k,即y=k(x-8).综上所述,直线AB过定点(8,0).名师点拨先以直线AB的斜率不存在为特例,求出直线AB的方程,从而探求出直线AB过的定点,为探求直线AB斜率存在时过的定点提供方向.解题术二“图作向导,用图探路”术对题设条件不够明显的数学问题求解,要注意相关的图形,巧用图形作向导,可打破思维瓶颈,多途径找到突破方法.尤其是对一些以函数、三角函数、不等式等形式给出的
4、命题,其本身虽不带有图形,但可以设法构造相应的辅助图形进行分析,将代数问题转化为几何问题求解.力争做到有图用图,无图想图,补形改图,充分运用其几何特征的直观性来启迪思维,从而较快地获得解题的途径.这就是“用图探路术”.典例2已知函数f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,构造函数F(x)如下:当f(x)g(x)时,F(x)=f(x);当f(x)b0),直线22x+y=1经过的右顶点和上顶点.(1)求椭圆的标准方程;(2)设椭圆的右焦点为F,过点G(2,0)作斜率不为0的直线交椭圆于M,N两点,求FMN的面积S的最大值.解析(1)已知直线22x+y=1经过的右顶点和上顶点,令x=0,得y=1,所
5、以椭圆的上顶点的坐标为(0,1),即b=1;令y=0,得x=2,所以椭圆的右顶点的坐标为(2,0),即a=2.所以椭圆的标准方程为x22+y2=1.(2)由题意可得直线MN过点G(2,0),其斜率存在且不为0,可设其方程为y=k(x-2)(k0),由y=k(x-2),x22+y2=1消去y整理得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.因为直线MN与椭圆交于两点,所以=(-8k2)2-4(1+2k2)(8k2-2)=8(1-2k2)0,解得0k212.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=8k21+2k2,x1x2=8k2-21+2k2,所以|MN|=1+k2|x1-x2|=
6、(k2+1)(x1+x2)2-4x1x2=(k2+1)8k21+2k22-48k2-21+2k2=8(k2+1)(1-2k2)1+2k2.易知椭圆的右焦点为F(1,0),则点F(1,0)到直线MN的距离d=|k-2k|k2+1=|k|k2+1,所以S=12|MN|d=128(k2+1)(1-2k2)1+2k2|k|k2+1=12|k|8(1-2k2)1+2k2=2(1-2k2)k2(2k2+1)2.令t=1+2k2,t(1,2),则k2=t-12,则S=2-t2+3t-22t2=2-1t2+32t-12=2-1t-342+116,所以当t=43,即k2=16时,S取得最大值,最大值为24.经检
7、验,k2=16满足0k20,从而a-1nx+2nx+n-1nx.因为n2,而y=knx(k=1,2,n-1)是(-,1上的递减函数,所以1nx+2nx+n-1nx1n+2n+n-1n=n-12,故a-n-12.名师点拨巧将变元a与变元n,x分离,促使它们的隐含关系显露出来,以便获得解题方向.这种做法就是“分离变量”战术思想的体现.解题术六“因势推导,反客为主”术解答数学题时通常把注意力集中在主变元上,当思维受阻时,要从条件与结论的内在联系变换思考方向,视其参变元为主变元进行研究、推导,也能得到解决问题的途径,有时还能获得问题的巧解.这种做法就是“反客为主术”.典例6已知f(x)=ax2+2(2
8、a-1)x+4a-7,aN*,若f(x)=0至少有一个整数根,则a的值为.答案1和5解析依题意可知,当f(x)=0时,有2x+7=a(x+2)2,显然,当x=-2时,方程不成立.故有a=2x+7(x+2)2(x-2),于是,当a为正整数时,必有2x+7(x+2)2,且xZ,x-2,即x必须满足条件-3x1(xZ,x-2).由此可知,x只能在-3,-1,0,1中取值.将-3,-1,0,1分别代入中,得知:仅当x=-3,x=-1和x=1时能保证a为正整数,且此时有a=1和a=5,所以,当a=1和a=5时,方程f(x)=0至少有一个整数根.名师点拨从函数的角度看x为主变元,参数a是次变元.这里将原问
9、题转化为a是x的函数关系式,就是“反客为主”的一种具体的体现.易知,本题若用求根公式解出x=1-2a3a+1a来讨论x的整数值,将是十分烦琐的.解题术七“换位推理,声东击西”术有些命题直接求解会感到困难或根本难以从条件入手,这时可避开正面强攻,从结论的对立面入手,或考查与其相关的另一问题,或反例,从中也可以找到解决问题的途径,有时甚至还能获得最佳的解法.这就是“声东击西术”.常见的基本方法:反证法、补集法、反例法等.典例7若A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值,则()A.A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形B.A1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形C.A1
10、B1C1是钝角三角形,A2B2C2是锐角三角形D.A1B1C1是锐角三角形,A2B2C2是钝角三角形答案D解析由题意可知A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则A1B1C1是锐角三角形.由已知条件得A2B2C2不是直角三角形.假设A2B2C2是锐角三角形,则由题意可得sin A2=cos A1=sin2-A1,sin B2=cos B1=sin2-B1,sin C2=cos C1=sin2-C1,解得A2=2-A1,B2=2-B1,C2=2-C1,所以A2+B2+C2=2-A1+2-B1+2-C1,即=32-,显然该等式不成立,所以假设不成立.所以A2B2C2不是锐角三角形,所以A2B2C2
11、是钝角三角形.故选D.解题术八“追求界值,极端原理”术选择运动变化中的极端值,往往是动静转换的关键点,可以起到降低解题难度的作用,因此是一种较高层次的思维方法.从有限到无限,从近似到精确,从量变到质变,运用极端值法解决某些问题,可以避开抽象、复杂的运算,降低难度,优化解题过程.典例8双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上异于顶点A的任意一点,则直线PF斜率的变化范围是() A.(-,-1)(1,+)B.(-,0)C.(-,0)(1,+)D.(1,+)答案C解析如图所示,当PA时,PF的斜率k0.当PFx轴时,PF的斜率不存在,即k.当P在无穷远处时,PF的斜率k1.结合四个备选项
12、可知,选C.解题术九“关注整体,设而不求”术设而不求是数学解题中的一种很有用的方法,采用设而不求的策略,往往能避免盲目推演而造成的复杂运算,从而达到准确、快速的解题效果.方法一整体代入,设而不求在解决某些涉及若干个量的求值问题时,要有目标意识,通过虚设的策略,整体转化的思想,绕开复杂的运算过程,可使问题迅速得到解决.典例9已知正项等比数列an的前n项和为Sn,且S8-2S4=5,则a9+a10+a11+a12的最小值为()A.10B.15C.20D.25答案C解析由题意可得a9+a10+a11+a12=S12-S8,由S8-2S4=5可得S8-S4=S4+5,由等比数列的性质可得S4,S8-S
13、4,S12-S8成等比数列,则S4(S12-S8)=(S8-S4)2,综上可得,a9+a10+a11+a12=S12-S8=(S4+5)2S4=S4+25S4+102S425S4+10=20,当且仅当S4=5时等号成立,综上可得,a9+a10+a11+a12的最小值为20.方法二适当引参,设而不求合理地引入参数,可使解题目标更加明确,已知和欲求之间的联系得以明朗化,使问题能够得到解决.典例10已知对任何满足(x-1)2+y2=1的实数x,y,如果x+y+k0恒成立,求实数k的取值范围.解析将(x-1)2+y2=1化为极坐标方程,得x=1+cos,y=sin(R),则可设g()=x+y+k=si
14、n +cos +1+k=2sin+4+1+k-2+1+k,令-2+1+k0,得k2-1.方法三巧设坐标,设而不求在解析几何问题中,对于有关点的坐标采用设而不求的策略,能促使问题定向化,简便化,起到以简驭繁的解题效果.典例11设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BCx轴,求证:直线AC经过原点O.证明如图,设点A(2pt12,2pt1),B(2pt22,2pt2),则点C-p2,2pt2.因为直线AB过焦点F,所以2pt12pt2=-p2,解得t1t2=-14.又直线OC的斜率kOC=2pt2-0-p2-0=-4t2=1t1,直线O
15、A的斜率kOA=2pt1-02pt12-0=1t1,则kOC=kOA,故A,O,C三点共线,即直线AC经过原点O.解题术十“思维受限,攻坚突围”术思维受限一般出现在压轴题或计算量大的题上,有时也出现在一些条件特殊的选择题、填空题上,这些题不一定就是难度很大的题,反而可能是因某些运算或推理繁杂感到心理紧张而导致一下子想不出解决方法的题.一般来说,对此类问题的突围关键在于如何针对已有的信息与所求目标的差异进行综合分析,整合相关的结论(包括已推得的结论),注重信息的迁移.要注重考查命题所涉及的概念、定理,把握命题的结构特点,构建相应的数学模型进行模仿探索,力争做到求什么,想什么.在审查已做的运算、推
16、理与所求结论的要求是否正确时,要注重隐含条件的挖掘与整合,仔细清查还有哪些条件未用上,还有哪些相关的解法未用到,力争做到给什么,用什么.在将条件与结论联系起来时,要勇于试探、创新思维,注重类比、猜想、凑形、配式,力争做到差什么,找什么.这就是我们常常说的“思维受限突围术”.常见的突围策略有以下两种:策略一前难后易空城计对设有多问的数学命题,若前一问不会解,而后面的几问又是自己容易解的,或是可用第一问的结论来求解的,此时应放弃第一问的求解,着重攻后面的几问,并将第一问的结论作为后几问的条件使用,巧妙地配合题设条件或有关定理解答后面的问题.这种利用自己根本不懂或不会证明的问题条件来解后几问的做法,
17、就是数学解题中的“空城计”,即前问难后问易,弃前攻后为上计(有时也说成:前难后易前问弃,借前结论攻后题).典例12设函数f(x)=ln x-x+1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当x(1,+)时,1x-1lnx1,证明:当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.解析(1)由题设可知, f(x)的定义域为(0,+),f (x)=1x-1,令f (x)=0,解得x=1.当0x0, f(x)单调递增;当x1时, f (x)0, f(x)单调递减.(2)证明:由(1)知, f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0.所以当x1时,ln xx-1.故当x(1,+)时,ln xx-1,ln
18、 1x1x-1,即1x-1lnx1),则g(x)=c-1-cxln c.令g(x)=0,解得x0=ln c-1lnclnc.当x0,g(x)单调递增;当xx0时,g(x)0,g(x)单调递减.由(2)知1c-1lncc,故0x01.又g(0)=g(1)=0,故当0x0,所以当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.名师点拨(1)求出导函数f (x),然后确定函数f(x)的单调性;(2)利用(1)的结论证明;(3)构造新函数,然后通过研究新函数的单调性来证明.解决本题时,由于第(2)问较麻烦,很多考生不会做或花费较长时间,从而延误了第(3)问的解答,由题意可知,第(3)的解答可直接利用第(2)问的
19、结论,构造函数后易判断证明,因此求解时可跨过第(2)问先解决第(3)问,从而增大了本题的得分率.这是解决此类题的上策之举.策略二前解倒推混战术有些数学命题的求解,开始入手还较为顺畅,但一到最后就难以继续进行了.此时若知悉它的大致趋势和结果,则根据所求结论的形式、特点,进行反推、凑形,直到得出大致与所要达到的目标相当、相同或相似的式子,再来巧妙地进行求解也是可行的.这种不按常规方式出牌的解题方法我们称之为“混战术”.典例13已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x20,则当x(-,1)时, f (x)
20、0,所以f(x)在(-,1)内单调递减,在(1,+)内单调递增,又f(1)=-e, f(2)=a,取b满足b0且ba2(b-2)+a(b-1)2=ab2-32b0,故f(x)存在两个零点.设a0,因此f(x)在(1,+)内单调递增.又当x1时,f(x)0,所以f(x)不存在两个零点.若a1,故当x(1,ln(-2a)时, f (x)0.因此f(x)在(1,ln(-2a)内单调递减,在(ln(-2a),+)内单调递增.又当x1时, f(x)0,所以f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围是(0,+).(2)证明:不妨设x1x2,由(1)知,x1(-,1),x2(1,+),2-x2(-,1),又f(x)在(-,1)内单调递减,所以x1+x2f(2-x2),即f(2-x2)1时,g(x)1时,g(x)0.从而g(x2)=f(2-x2)0,故x1+x22.名师点拨(1)由函数有两个零点,得出关于a的不等式进行求解;(2)构造函数证明不等式.解答本题第(2)问利用了逆向解答,把要证明的x1+x2f(2-x2),即f(2-x2)0,从而确定出f(2-x2)的表达式,再构建函数证明不等式.