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1、沈阳航空航天大学研究生试卷（A）2011-2012 学年 第一学期课程名称：数值分析出题人 : 王吉波审核人: 一、填空题（本题40 分 每空 4分）1设), 1 ,0()(njxlj为节点nxxx,10的 n 次基函数，则)(ijxljiji,0, 1。2已知函数1)(2xxxf，则三阶差商4, 3, 2, 1f= 0 。3当 n=3时，牛顿 -柯特斯系数83,81) 3(2)3(1)3(0CCC，则) 3(3C81。4用迭代法解线性方程组Ax=b时，迭代格式,2, 1 ,0,)()1(kfBxxkk收敛的充分必要条件是1)(B或 B 的谱半径小于 1 。5设矩阵1221A，则 A 的条件数
2、2)(ACond= 3 。6. 正方形的边长约为100cm ，则正方形的边长误差限不超过 0.005 cm 才能使其面积误差不超过12cm。7. 要使求积公式)()0(41)(1110 xfAfdxxf具有 2 次代数精确度，则1x2/3 ，1A3/4 。8. 用杜利特尔（Doolittle ） 分解法分解LUA，135945-2791260945-0451827-9189A其中，则13213012-100120001L，9000548100918-9027-9189U精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页二、 （10
3、分）已知由数据 （0,0 ） ， （0.5 ，y） ， （1,3 ）和（ 2，2）构造出的三次插值多项式)(3xP的3x的系数是 6，试确定数据 y。答案：利用Lagrange 插值多项式，)()()()()()()()()()(3322110033xlxfxlxfxlxfxlxfxLxP及基函数的表达式可知3x的系数为)()()(3020100 xxxxxxxf +)()()(3121011xxxxxxxf+)()()(3212022xxxxxxxf+)()()(2313033xxxxxxxf（5 分）代入有关数据得15.122)1(5.013)5.1()5.0(5.006y解得y=4.25
4、.（5 分）三、 （15 分）试导出计算)0(1aa的 Newton 迭代格式，使公式中（对nx）既无开方，又无除法运算，并讨论其收敛性。答案：将计算)0(1aa等价化为求012xa的正根。而此时有322)(,1)(xxfxaxf，（5 分）故计算)0(1aa的 Newton 迭代格式为nnnnnnnnxxaxaxxxaxx)223(2232123321（5 分）迭代函数10|*)( |2323)( ,1*,)223()(22xaxxaxxxax， 故迭代法局部收敛。（5 分）四、 （15 分）已知43,21,41210 xxx。（1）推导出以这3 个点作为求积节点在0 ，1 上的插值型求积公
5、式；（2）指明求积公式所具有的代数精确度；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页（3）用所求公式计算102dxx。答案： （1）过这 3 个点的插值多项式)()()()()()()()()()(2120210121012002010212xfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxP故2010210)()()(kkkxfAdxxPdxxf，其中32)4341)(2141()43)(21()()(10102010210dxxxdxxxxxxxxxA32,3121AA，故所求的插值型求积公式为)43(2)2
6、1()41(231)(10fffdxxf（5 分）（ 2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来，故至少具有2 次代数精确度。再将43,)(xxxf代入上述求积公式，有)43(2)21()41(23141333103dxx)43(2)21()41(23151444104dxx故上述求积公式具有3 次代数精确度。（5 分）（3）31)43(2)21()41(231222102dxx（5 分）五、 （10 分）给定方程组301532128243220321321321xxxxxxxxx判定 Jacobi 和 Gauss-Seidel方法的收敛性。答案： Jacobi 迭代矩阵为05115281081
7、2031010JB；（2 分）由于131)(JB，故 Jacobi 迭代收敛。（3 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页Gauss-Seidel迭代矩阵为3380255300360240024001GB；（2 分）故141)(GB，故 Gauss-Seidel迭代收敛。（3 分）六、（ 10 分）定义内积11)()(),(dxxgxfgf，试在, 1421xxspanH中寻求对于| xf(x)的最佳平方逼近多项式)(xp。答案：取42210, 1xx，经计算得法方程组为3121192725272523252322210aaa。 （5 分）解 得128105,64105,12815210aaa， 故| xf ( x )的 最 佳 平 方 逼 近 多 项 式 为)(xp421281056410512815xx。（ 5 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页