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1、专题一函数与方程的思想方法 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life, there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望考题剖析考题剖析 规律总结规律总结 知识概要知识概要 030717函数与方程的思想方函数与方程的思想方法法 函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f (x)0的解就是函数yf (x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数 yf (x)也可以看作二元方程f (x)y0,通过方程进行研究. 就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是一是借助有关初等函数的性质，
2、解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决函数与方程的 思 想 是 中 学 数 学 的 基 本 思 想 ， 也 是 历 年 高 考 的 重 点 。 .知识概要知识概要函数与方程的思想方法函数与方程的思想方法 1.函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.函数思想
3、是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题. 2.方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.知识概要知识概要函数与方程的思想方法函数与方程的思想方法 3.(1) 函数和方程是密切相关的，对于函数yf(x)，当y0时，就转化为方程f(x)0，也可以把函数式yf(x)看做二元方程yf(x)0.函数问题（例如求反函数，
4、求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)0，就是 求函数yf(x)的零点. (2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数yf(x)，当y0时， 就转化为不等式f(x) 0，借助于函数图象与性质解决有关问题，而研 究函数的性质，也离不开解不等式. (3) 数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要.知识概要知识概要函数与方程的思想方法函数与方程的思想方法 (4) 函数f(x)(ax+b)n （nN*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题. (5) 解析几何中的
5、许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论. (6) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.知识概要知识概要函数与方程的思想方法函数与方程的思想方法考考 题题 剖剖 析析 解析解析依题意有x2+(a4)x+42a0恒成立，即(x2)a+x24x+40恒成立.令g(a)=(x2)a+x24x+4，把g(a)看作是关于主元a的函数，则g(a)是一次函数（x2）或是常数函数（x=2），因为a1,1，要g(a)0恒成立，只需 ，解得x1或x3，故选B. 1.对任意a1,1，函数f(x
6、)=x2+(a4)x+42a的值总大于零，则x的取值范围是（ ） A.1x3 B.x1或x3 C.1x2 D.x1或x2 0)1 (0)1(gg 点评点评本题中，体现了主元的思想，对于多个字母恒成立的问题，这是一种基本方法.考题剖析考题剖析函数与方程的思想方法函数与方程的思想方法 2.已知 =1(a,b,cR)，则有( ) A.b24ac B.b24ac C.b25的解集为x|x1. 点评点评此题初一看上去,是一个含有指数、对数的不等式的 题,感觉很难求解.但此题的解法却是巧妙地构造了函数,利用函数的单调性进行求解.这也体现了函数的思想在解题中的应用.考题剖析考题剖析函数与方程的思想方法函数与
7、方程的思想方法 4. 已知f(t)=log2t，t ，8，对于函数f(t)值域内的所有 实数m，不等式x2+mx+42m+4x恒成立，求x的取值范围.2 解析解析t ，8，f(t) ，3，原题转化为：m(x2)+(x2)20恒成立，为m的一次函数（这里思维的转化很重要）当x2时，不等式不成立.x2,令g(m)m(x2)+(x2)2，m ，3问题转化为g(m)在m ，3上恒大于0，则： ； 解得：x2或x0，S130 , S1313a1+78d=156+52d0， d 3724 （2）Sn=na1 + d= dn2+(12 d)n， d0，Sn是关于n 的二次函数，对称轴方程为：x ， d3 6
8、 0,an+10 ，即：由da2a13，由S1313a70得a70得a60.所以，在S1,S2,S12中，S6的值最大.考题剖析考题剖析函数与方程的思想方法函数与方程的思想方法6.点A、B分别是椭圆 + =1的长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF. （1）求P点的坐标； （2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值. 解析（解析（1）由已知可得点A(6,0),F(4,0), 设点P(x,y), 则 =（x+6,y）, =（x4,y）,由已知可得 则2x2+9x18=0,解得x= 或x=6.由于y0,
9、 只能x= ,于是y= . 点P的坐标是( , )APFP0)4)(6(12036222yxxyx232323523235362x202y考题剖析考题剖析函数与方程的思想方法函数与方程的思想方法 (2) 直线AP的方程是x y+6=0.设点M(m,0),则M到直线AP的距离是 ，于是 =|m6|,又6m6,解得m=2.椭圆上的点(x , y)到点M的距离d有d2=(x2)2+y2=x24x+4+20 x2= (x )2+15,由于6m6, 当x= 时,d取得最小值32|6|m2|6|m9594292915 点评点评方程思想是处理直线与二次曲线有关问题的基本方法.考题剖析考题剖析函数与方程的思想
10、方法函数与方程的思想方法 证明证明由a3a2=b3b2 a3b3=a2b2 (ab)(a2+ab+b2)=(ab)(a+b)又ab0，则可得(a+b)2ab=a+b.记a+b=t，则ab=t2t，可见a,b是方程x2tx+(t2t)=0的两个不相等的正根，故有 1t ,从而得1a+bb0，且a3a2=b3b2,求证：1a+b .34 点评点评对于同时含有形如a+b,ab式子的问题常可视a,b为某一元二次方程的两个根，从而可构造出一个一元二次方程，用方程的有关理论求解.考题剖析考题剖析函数与方程的思想方法函数与方程的思想方法规规 律律 总总 结结 1.函数思想的应用主要有：求变量的取值范围，从而
11、转化为求该函数的值域；构造函数是函数思想的重要体现；运用函数思想要抓住事物在运动过程中保持不变的规律和性质，从而更快更好地解决问题. 运用方程观点解决问题主要有两个方面：一是从分析问题的结构入手，找主要矛盾，抓住某一关键变量，将等式看成关于这个主变量(常称主元)的方程，然后具体研究这个方程；二是在中学中常见的如求曲线交点，求函数值域等问题，经常转化为方程问题去解决.规律总结规律总结函数与方程的思想方法函数与方程的思想方法 2.在数学各分支中若遇到有关不等式、方程及最值之类的问题，利用函数观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到适当的解题途径. 3.如何从一个含有多个变元的数学问题里，选定合适的主要变元，从而揭示其中主要的函数关系，是数学问题能否“明朗化”的关键所在. 4.选取变元，构造函数关系式来解决数学问题，这是运用函数思想求解的较高层次，只有平时多加训练并注意积累，才能做到运用自如.规律总结规律总结函数与方程的思想方法函数与方程的思想方法