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1、,.机械能守恒应用2多物体机械能守恒问题一、轻杆连接系统机械能守恒1、模型构建轻杆两端各固定一个物体，整个系统一起沿斜面运动或绕某点转动或关联运动，该系统即为机械能守恒中的轻杆模型2、模型条件(1)忽略空气阻力和各种摩擦(2)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等，关联运动时沿杆方向速度相等。3、模型特点(1)杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒(2)对于杆和球组成的系统，没有外力对系统做功，因此系统的总机械能守恒例1转动质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球处有一个光滑固定轴O，如图8所示现在把杆置于水平位置
2、后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低位置时，求：图8(1)小球P的速度大小；(2)在此过程中小球P机械能的变化量答案(1)(2)增加mgL解析(1)两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球Q摆到最低位置时P球的速度为v，由于P、Q两球的角速度相等，Q球运动半径是P球运动半径的两倍，故Q球的速度为2v.由机械能守恒定律得2mgLmgLmv22m(2v)2，解得v.(2)小球P机械能增加量EmgLmv2mgL跟踪训练 .如图537所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量为m的球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速度释放。求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功？图537解析：
3、设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为vA和vB。如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，那么由于杆和球的相互作用力做功总和等于零，故系统机械能守恒。若取B的最低点为重力势能参考平面，可得：2mgLmvmvmgL又因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同，故vB2vA由以上二式得：vA，vB。根据动能定理，可解出杆对A、B做的功。对A有：WAmgmv0，所以WA0.2mgL。对B有：WBmgLmv0，所以WB0.2mgL。答案：0.2mgL0.2mgL例2、平动图539如图539所示，倾角为的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的
4、高度为h.两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：(1)两球在光滑水平面上运动时的速度大小；(2)整个运动过程中杆对A球所做的功【解析】(1)因为没有摩擦，且不计球与地面碰撞时的机械能损失，两球在光滑地面上运动时的速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律有：2mg(hsin )2mv2解得：v.(2)因两球在光滑水平面上运动时的速度v比B单独从h处自由滑下的速度大，增加的机械能就是杆对B做正功的结果B增加的机械能为EkBmv2mghmgLsin 因系统的机械能守恒，所以杆对B球做的功与杆对A球做的功的数值应该相等，杆对B球做正功，对A球做负功，所以杆对A球做的功Wm
5、gLsin .【答案】(1)(2)mgLsin 跟踪训练.如图8所示，在倾角30的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1 kg和2 kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L0.2 m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h0.1 m两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2.则下列说法中正确的是()图8A整个下滑过程中A球机械能守恒来源:学科网ZXXK B整个下滑过程中B球机械能守恒C整个下滑过程中A球机械能的增加量为 J D整个下滑过程中B球机械能的增加量为 J答案D解析在下滑的整个过程中，只有重力对系统做功，系统的机械能守恒，但在B球沿水平面滑行，而
6、A沿斜面滑行时，杆的弹力对A、B球做功，所以A、B球各自机械能不守恒，故A、B错误；根据系统机械能守恒得：mAg(hLsin )mBgh(mAmB)v2，解得：v m/s，系统下滑的整个过程中B球机械能的增加量为mBv2mBgh J，故D正确；A球的机械能减少量为 J，C错误例3联动(2015新课标全国21)(多选)如图5，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g.则()图5Aa落地前，轻杆对b一直做正功 Ba落地时速度大小为Ca下落过程中，其加速度大小始终不大于g
7、Da落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg答案BD解析滑块b的初速度为零，末速度也为零，所以轻杆对b先做正功，后做负功，选项A错误；以滑块a、b及轻杆为研究对象，系统的机械能守恒，当a刚落地时，b的速度为零，则mghmv0，即va，选项B正确；a、b的先后受力分析如图甲、乙所示由a的受力情况可知，a下落过程中，其加速度大小先小于g后大于g，选项C错误；当a落地前b的加速度为零(即轻杆对b的作用力为零)时，b的机械能最大，a的机械能最小，这时b受重力、支持力，且FNbmg，由牛顿第三定律可知，b对地面的压力大小为mg，选项D正确跟踪训练.内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内
8、，一根长度为R的轻杆，一端固定有质量为m的小球甲，另一端固定有质量为2m的小球乙，将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图6所示由静止释放后()图6A下滑过程中甲球减少的机械能总等于乙球增加的机械能B下滑过程中甲球减少的重力势能总等于乙球增加的重力势能C甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点D杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点答案AD解析根据题设条件可知甲、乙两小球组成的系统满足机械能守恒定律，故A、D对，B错；由于乙球的质量大于甲球的质量，所以甲球不可能沿凹槽下滑到槽的最低点，否则就不满足机械能守恒，C错二、轻绳连接系统机械能守恒例1 .甲、乙两物体用细线相连，跨过两光滑滑轮按如图1
9、2所示方式连接，滑轮上方放置一竖直的光滑半圆形轨道，甲物体与地面接触，乙物体紧挨滑轮位置，两滑轮到地面距离与半圆轨道直径相等，且与圆心在同一水平线上。若两滑轮与甲、乙物体均视为质点，且两滑轮之间距离可视为与半圆轨道直径相等，现将乙由静止开始释放，甲物体向上运动到圆弧轨道后，恰好能沿半圆轨道做圆周运动，则甲、乙两物体质量之比为()图12A.17 B.16 C.15 D.14解析设甲、乙两物体质量分别为m1、m2，轨道半径为R，当乙下落到地面、甲运动到半圆轨道下端时，由题意知，对系统由机械能守恒定律可得2m2gR2m1gR(m2m1)v2，甲球恰好能做圆周运动，则甲球在圆轨道最高点时必有m1g，甲
10、由轨道下端运动到最高点过程中由机械能守恒定律可得：m1v2m1gRm1v，联立以上各式可得：m27m1，则A正确。答案A跟踪训练.如图12所示，质量分别为2m和m的A、B两物体用不可伸长的轻绳绕过轻质定滑轮相连，开始两物体处于同一高度，绳处于绷紧状态，轻绳足够长，不计一切摩擦现将两物体由静止释放，在A落地之前的运动中，下列说法中正确的是()图12AA物体的加速度为 BA、B组成系统的重力势能增大C下落t秒时，B所受拉力的瞬时功率为mg2t D下落t秒时，A的机械能减少了mg2t2答案D解析A与B的加速度大小相等，根据牛顿第二定律得：对A、B整体有：ag，故A错误；A、B组成系统的机械能不变，动
11、能增大，重力势能减小，故B错误；B受到的拉力：Fm(ga)，下落t秒时，B的速度：vatgt，所受拉力的瞬时功率为PFvmg2t，C错误；对A有：2mgFT2ma，得细绳的拉力FTmg.下落t秒时，A下落的高度为hat2gt2，则A克服细绳拉力做功为WFThmg2t2.根据功能关系得知：A的机械能减少量为EAWmg2t2，故D正确多物体机械能守恒问题(1)多物体机械能守恒问题的分析方法：对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系列机械能守恒方程时，一般选用EkEp的形式(2)多物体机械能守恒问题的三点注意：正确选取研究对
12、象合理选取物理过程正确选取机械能守恒定律常用的表达形式列式求解专题训练：1如图532所示，质量分别为m和2m的两个小球A和B，中间用轻质杆相连，在杆的中点O处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在B球顺时针摆动到最低位置的过程中(不计一切摩擦)()图532AB球的重力势能减少，动能增加，B球和地球组成的系统机械能守恒BA球的重力势能增加，动能也增加，A球和地球组成的系统机械能不守恒CA球、B球和地球组成的系统机械能守恒DA球、B球和地球组成的系统机械能不守恒解析A球在上摆过程中，重力势能增加，动能也增加，机械能增加，B项正确；由于A球、B球和地球组成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒，
13、C项正确，D项错误；所以B球和地球组成系统的机械能一定减少，A项错误。答案BC2.图5311(多选)轻杆AB长2L，A端连在固定轴上，B端固定一个质量为2m的小球，中点C固定一个质量为m的小球AB杆可以绕A端在竖直平面内自由转动现将杆置于水平位置，如图5311所示，然后由静止释放，不计各处摩擦与空气阻力，则下列说法正确的是()AAB杆转到竖直位置时，角速度为 BAB杆转到竖直位置的过程中，B端小球的机械能的增量为mgLCAB杆转动过程中杆CB对B球做正功，对C球做负功，杆AC对C球做正功DAB杆转动过程中，C球机械能守恒【解析】在AB杆由静止释放到转到竖直位置的过程中，以B球的最低点为零势能点
14、，根据机械能守恒定律有：mg2L2mg(2L)mgL2m(2L)2m(L)2，解得角速度，A项正确在此过程中，B端小球机械能的增量为：EBE末E初2m(2L)22mg(2L)mgL，B项正确AB杆转动过程中，杆AC对C球不做功，杆CB对C球做负功，对B球做正功，C项错C球机械能不守恒，B、C球系统机械能守恒，D项错【答案】AB3 (多选)如图5所示，有一光滑轨道ABC，AB部分为半径为R的圆弧，BC部分水平，质量均为m的小球a、b固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为R，不计小球大小。开始时a球处在圆弧上端A点，由静止释放小球和轻杆，使其沿光滑轨道下滑，下列说法正确的是()图5Aa球下滑过程中机械能保
15、持不变Ba、b两球和轻杆组成的系统在下滑过程中机械能保持不变Ca、b滑到水平轨道上时速度为D从释放到a、b滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a球做的功为解析：选BD由机械能守恒的条件得，a球机械能不守恒，a、b系统机械能守恒，所以A错误，B正确。对a、b系统由机械能守恒定律得：mgR2mgR2mv2，解得v，C错误。对a由动能定理得：mgRWmv2，解得W，D正确。4. 绳连接的系统机械能守恒如图7，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高将A由静止释放，B上升的最大高度是()图7A2R B. C.
16、 D.答案C解析设A球刚落地时两球速度大小为v，根据机械能守恒定律得，2mgRmgR(2mm)v2，解得v2gR，B球继续上升的高度h，B球上升的最大高度为hRR.5.如图13所示，一轻杆两端分别固定质量均为m的小球A和B，放置于半径为R的光滑半圆轨道中，A球与圆心等高，B球恰在半圆的最低点，然后由静止释放，求在运动过程中两球的最大速度的大小图13答案解析当杆处于水平状态时，A、B两球组成的系统重心最低，两球速度最大，A球下降的高度hARcos 45，B球上升的高度hBR(1cos 45)由两球角速度相等知：两球速度大小相等，设为v.由机械能守恒得：mghAmghB2mv2解得：v 6、如图5
17、所示，一半径为R的光滑半圆柱水平悬空放置，C为圆柱最高点，两小球P、Q用一轻质细线悬挂在半圆柱上，水平挡板AB及两小球开始时位置均与半圆柱的圆心在同一水平线上，水平挡板AB与半圆柱间有一小孔能让小球通过，两小球质量分别为mPm，mQ4m，水平挡板到水平面EF的距离为h2R，现让两小球从图示位置由静止释放，当小球P到达最高点C时剪断细线，小球Q与水平面EF碰撞后等速反向被弹回，重力加速度为g，不计空气阻力，取3。求：图5(1)小球P到达最高点C时的速率vC；(2)小球P落到挡板AB上时的速率v1；(3)小球Q反弹后能上升的最大高度hmax。解析(1)取两小球及细线为系统且圆心所在水平面为零势能面
18、，则在小球P到达最高点C的过程中，系统满足机械能守恒，有mQg2RmPgR(mPmQ)v0，解得vC。(2)因vC，所以剪断细线后小球P做平抛运动，由机械能守恒定律知mPgRmPvmPv，解得v12。(3)剪断细线后，小球Q做竖直下抛运动，反弹后做竖直上抛运动到最高点，满足机械能守恒，则有mQg2RmQvmQg(hhmax)，解得hmaxR。答案(1)(2)2(3)R7、 (2015济南模拟)半径为R的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为m和m的小球A和B。A、B之间用一长为R的轻杆相连，如图536所示。开始时，A、B都静止，且A在圆环的最高点，现将A、B释放，试求：图536(1)B球到达
19、最低点时的速度大小；(2)B球到达最低点的过程中，杆对A球做的功；(3)B球在圆环右侧区域内能达到的最高点位置。审题指导(1)A、B和轻杆组成的系统机械能守恒。(2)因OAOB，两球沿杆方向的分速度相等，两球速度大小始终相同。(3)由系统机械能守恒可知，B球一定能到达右侧区域高于O点的位置。解析(1)释放后B到达最低点的过程中A、B和杆组成的系统机械能守恒，mAgRmBgRmAvA2mBvB2，又OAOB，AB杆长R，故OA、OB与杆间夹角均为45，可得vAvB，解得：vB。(2)对小球A应用动能定理可得：W杆AmAgRmAvA2，又vAvB解得杆对A球做功W杆A0。(3)设B球到达右侧最高点时，OB与竖直方向之间的夹角为，取圆环的圆心O为零势面，由系统机械能守恒可得：mAgRmBgRcos mAgRsin ，代入数据可得30，所以B球在圆环右侧区域内达到最高点时，高于圆心O的高度hBRcos R。答案(1)(2)0(3)高于O点R处