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1、精品名师归纳总结第六章 微分中值定理及其应用方案课时： 8 时 ）1 中值定理 如给定的割线是水平的、斜的或曲线的方程以参数方程的形式给出，就分别可找出相应的切线平行于该割线，再分析所需要的条件，就可建立起Rolle 定理、 Lagrange 定理、 Cauchy 定理 . 这三个微分中值定理用一句话概括：对于到处连续、到处有切线曲线的每一条割线都可以找到平行于该割线的切线 . 2 如给定切线 , 找平行于该切线的割线, 就不肯定能实现 .二 微分中值定理 :1. Rolle 中值定理 : 表达为 Th1 . 证 定理条件的充分但不必要性 .2. Lagrange 中值定理 : 表达为 Th2
2、 . 证 图解 .用分析方法引进帮助函数 , 证明定理 .Lagrange 中值定理的各种形式 . 关于中值点的位置 .系 1函数在区间 I 上可导且为 I 上的常值函数. 证系2函 数和在 区 间I上 可 导 且系 3 设函数在点的某右邻域上连续 ,在内可导 . 如存在 , 就右 导数也存 在,且有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证但是,不存在时 , 却未必有不存在. 例如对函数虽 然不 存在 , 但却在 点可 导 可用 定义 求得.Th3 导数极限定理 设函数在点的某邻域内连续 ,在内 可 导 . 如 极 限存 在 , 就也 存 在 , 且 证 由该定理可见 , 如函数在区
3、间 I 上可导 ,就区间 I 上的每一点,要么是导函数的连续点 ,要么是的其次类间断点 . 这就是说 ,当函数在区间 I 上点点可导时 , 导函数在区间 I 上不行能有其次类间断点 .3. Cauchy 中值定理 :Th 4设函数 和 在闭区间上连续 , 在开区间内可导 ,和 在内不同时为零 , 又就在内至少存在一点使得.证 分析引出帮助函数.验证在上满意 Rolle 定理的条件 ,必有,由于否就就有.这与条件“和 在内不同时为零”冲突.Cauchy 中值定理的几何意义 .Ex1P1631 4。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三 中值定理的简洁应用 : 讲 1 时 1. 证明中
4、值点的存在性 :例 1 设函数 在区间上连续 , 在内可导 , 就, 使得.证 在 Cauchy 中值定理中取.例 2 设 函 数在 区 间上 连 续 , 在内 可 导 , 且 有.试证明 :.2. 证明恒等式 : 原理.例 3 证明: 对, 有.例 4 设函数 和 可导且又就.证明. 例 5设对,有,其中是正常数 .就函数是常值函数 .证明.3. 证明不等式 : 原理.例 6 证明不等式 :时,.例 7 证明不等式 : 对，有.4. 证明方程根的存在性 :例 8 证明方程在内有实根 .例 9 证明方程在内有实根 .四 单调函数 在内 或.例 10 设.试争论函数的单调区间 .可编辑资料 -
5、- - 欢迎下载精品名师归纳总结解:确定定义域 . 函数的定义域为.求导数并分解因式 .确定导数为 0 的点和不存在的点 .令,得将导数为 0 的点和不存在的点作为分点插入函数的定义域,列表争论各个区间上的单调性.列表-1,102 可导函数严格单调的充要条件Th6设函数在区间内可导 .就在内 或 对有 或。 在内任子区间上3 可导函数严格单调的充分条件推论 见 P124例 11 证明不等式Ex1P124 1251 7. 2不定式的极限 2时 一.型:Th 1例 1Hospital 法就 证 应用技巧 .例 2.例 3. 作代换或利用等价无穷小代换直接运算. 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
6、名师归纳总结例 4.Hospital 法就失效的例 二型:Th 2Hospital 法就 证略 例 5.例 6.注: 关于当时的阶 .例 7.Hospital 法就失效的例 三.其他待定型 :. 前四个是幂指型的.例 8例 9.例 10.例 11.例 12.例 13.例 14 设且求解.Ex 1P132 1331 5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 3Taylor公式 3时 一.问题和任务 :用多项式靠近函数的可能性。对已知的函数 ,期望找一个多项式靠近到要求的精度 .二.Taylor 1685 1731 多项式 :分析前述任务，引出用来靠近的多项式应具有的形式定义 Tayl
7、or 多项式及 Maclaurin 多项式 例 1 求函数在点的 Taylor 多项式 .三.Taylor公式和误差估量 :称为余项 .称给出的定量或定性描述的式为函数的 Taylor 公式.1. 误差的定量刻画 整体性质 Taylor 中值定理 :Th 1 设函数 满意条件 : 在闭区间上 有直到阶连续导数。 在开区间内 有阶导数 .就对使.证 1P138139.称这种形式的余项为 Lagrange型余项 . 并称带有这种形式余项的 Taylor公式为具 Lagrange 型余项的 Taylor公式.Lagrange型余项仍可写为.时,称上述 Taylor公式为 Maclaurin 公式,
8、此时余项常写为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.2. 误差的定性描述 局部性质 Peano 型余项 :Th 2如函数在点 的某邻域内具有阶导数 ,且存在,就,.证设,.应用Hospital 法就次,并留意到存在, 就有=.称为 Taylor 公式的 Peano 型余项 , 相应的Maclaurin 公式的 Peano 型余项为. 并称带有这种形式余项的 Taylor 公式为具 Peano 型余项的 Taylor 公式 或Maclaurin 公式 .四. 函数的 Taylor 公式 或 Maclaurin 公式 绽开:1. 直接绽开 :例 2 求 的 Maclaurin 公式.解
9、.例 3 求 的 Maclaurin 公式.解,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.例 4 求函数的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 .解.例 5 把函 数展 开 成 含项 的 具 Peano 型 余 项的Maclaurin 公式.2. 间接绽开 : 利用已知的绽开式 , 施行代数运算或变量代换 , 求新的绽开式 .例 6把函数绽开成含项的具 Peano 型余项的Maclaurin 公式 .解,.例 7把函数绽开成含项的具 Peano 型余项的Maclaurin 公式 .解,留意,.例 8先把函数绽开成具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式. 利用得
10、到的绽开式Peano 型余项的 Taylor,把函数公式.在点绽开成具解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=+例 9与把函数绽开成具 Peano 型余项的的相应绽开式进行比较.Maclaurin 公式 ，并解。.而.五. Taylor公式应用举例 :1. 证明 是无理数 :例 10 证明 是无理数 .证 把 绽开成具 Lagrange 型余项的 Maclaurin 公式, 有.反设 是有理数 , 即和 为整数 ,就有整数 +.对也是整数 . 于是,整数=整数整数 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结整数 .但由因而当时，不行能是整数 . 冲突.2. 运算函数的近似
11、值 :例 11 求 精确到的近似值 .解.注 意 到有.为 使,只要取. 现取, 即得数 的精确到的近似值为.3. 利用 Taylor公式求极限 : 原理:例 12 求极限.解,。.4. 证明不等式： 原理.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 13 证明:时, 有不等式.Ex1P1411 3. 4 函数的极值与最大 小）值 .函数的驻点和 连续但 不行导点统称为可疑点 , 可疑点的求法.2. 极值点的充分条件:对每个可疑点 , 用以下充分条件进一步鉴别是否为极 设函数在点 连续, 在邻域和内可导 . 就 在内在内时,为的一个微小值点。 在内在内时,为的一个极大值点。 如在上述两
12、个区间内同号, 就 不是极值点 .或列表为不存在微小值点不存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结极大值点不存 在非极值点不存在非极值点Th 3充分条件 “雨水法就” 设点 为函数的驻点且存在. 就当时,为的一个极大值点。当时,为的一个微小值点 .证法一当时,在点的某空心邻域内与异号, 证法二 用 Taylor公式绽开到二阶 ,带 Peano型余项 .Th4 充 分 条 件 设, 而.就 为奇数时 ,不是极值点。 为偶数时 ,是极值点 . 且对应微小。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对应极大 .例1 求函数的极值 .例2 求函数的极值 .例3 求函数的极值 .注 T
13、h 2、 Th 3、 Th 4 只是极值点判别的充分条件.如函数它在处取微小值 ,但因.所以无法用 Th 4 对它作出判别 .二 函数的最大值与最小值 :设函数在闭区间上连续且仅有有限个可疑点. 就=。.函数最值的几个特例 : 单调函数的最值 : 假如函数在区间上可导且仅有一个驻点,就当 为极大值点时 ,亦为最大值点。当 为微小值点时 , 亦为最小值点 . 如函数在 内可导且仅有一个极大 或小 值点 ,就该点亦为最大 或小值点. 对具有实际意义的函数 ,常用实际判定原就确定最大 或小值点.例 4 求函数在闭区间上的最大值与最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结最值应用问题 :
14、例 5、两村距输电线 直线A 分别为和.答： 三 利用导数证明不等式 :我们曾在前面简介过用中值定理或Taylor 公式证明不等式的一些方法 . 其实, 利用导数证明不等式的方法至少可以提出七种 参阅 3P112 142 . 本段仅介绍利用单调性或极值证明不等式的简洁原理.1. 利用单调性证明不等式 :原理: 如, 就对, 有不等式.例 5 证明: 对任意实数 和 , 成立不等式证取在内 .于是,由,就有,即.2. 不等式原理 : 设函数在区间上连续 , 在区间内可导 ,且。 又就时,不等式原理的其他形式 .例 6证明:时,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7证明:时,.3
15、. 利用极值证明不等式 : 例 8 证明:时,. Ex 1P146 147 1 9. 5函数的凸性与拐点 2. 利用一阶导数判定曲线的凸向Th1 凸的等价描述 见书 P146例 1 开区间内凸函数的左、右可导性,从而开区间内凸函数是连续的 3. 利用二阶导数判定曲线的凸向:Th2 设函数在区间内存在二阶导数 , 就在内在内严格上凸。在内严格下凸 .证法一 用 Taylor 公式 对设,把在点绽开成具 Lagrange 型余项的 Taylor 公式, 有.其中 和 在 与 之间. 留意到, 就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结, 于是如有上式中, 即严格上凸 .如有上式中, 即严
16、格下凸 .证法二 利用 Lagrange 中值定理 . 如就有 ,不妨设,并设,分别在区间和上应用Lagrange 中值定理 , 有,.有又由，Th4 拐点的充分条件 不存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结拐点不存在拐点不存 在非拐点不存在非拐点注: 函数的凹凸性、拐点归结为其一阶导函数的增减性、极值点.例4 争论曲线的拐点 .极大值拐点 三 Jensen不等式及其应用 :Jensen 不等式 : 设在区间上恒有 或,就对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上的任意 个点, 有 Jensen不等式 : 或,且等号当且仅当时成立 .证 令, 把表为点处具二阶 Lagr
17、ange 型余项的Taylor 公式，仿前述定理的证明，留意即得所证 .对详细的函数套用 Jensen 不等式的结果 ,可以证明一些较复杂的不等式 .这种证明不等式的方法称为 Jensen 不等式法或凸函数法 .详细应用时 ,往往仍用到所选函数的严格单调性 .例 2 证明: 对 有不等式.例 3 证明均值不等式 : 对, 有均值不等式.证 先证不等式.取.在内严格上凸 , 由 Jensen不等式 ,有.由.对用上述已证结果 ,即得均值不等式的左半端.例 4 证明: 对, 有不等式. 平方根平均值 例 5 设，证明.解 取, 应用 Jensen不等式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6 在中, 求证.解 考虑函数在区间内凹, 由 Jensen不等式 , 有.例 7 已知.求证.解考虑函数,在内严格上凸 . 由 Jensen不等式, 有.例 8已知求证. 留为作业 解 函数在内严格下凸 . 由 Jensen不等式 , 有.Ex 1P1531 5. 6函数图象的描画 8.为常数 的图象 .可编辑资料 - - - 欢迎下载