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1、1 机械能第一模块：功和功率夯实基础知识（一）功：1、概念：一个物体受到力的作用，并且在这个力的方向上发生了一段位移， 就说这个力对物体做了功。2、做功的两个必要因素：力和物体在力的方向上的位移3、公式： W FScos （ 为 F与 s 的夹角）功是力的空间积累效应。4、单位：焦耳（ J）5、意义：功是能转化的量度，反映力对空间的积累效果。6、说明(1) 公式只适用于恒力做功位移是指力的作用点通过位移(2) 要分清“谁做功，对谁做功”。即：哪个力对哪个物体做功。(3) 力和位移都是矢量：可以分解力也可以分解位移。如：位移：沿力方向分解，与力垂直方向分解。(4) 功是标量，没有方向，但功有正、
2、负值。其正负表示力在做功过程中所起的作用。正功表示动力做功 (此力对物体的运动有推动作用)，负功表示阻力做功(5) 功大小只与 F、s、 这三个量有关 与物体是否还受其他力、 物体运动的速度、加速度等其他因素无关（二）功的四个基本问题。涉及到功的概念的基本问题，往往会从如下四个方面提出。1、做功与否的判断问题： 物体受到力的作用， 并在力的方向上通过一段位移，我们就说这个力对物体做了功。 由此看来，做功与否的判断， 关键看功的两个必要因素，第一是力；第二是力的方向上的位移。而所谓的“力的方向上的位移”可作如下理解：当位移平行于力，则位移就是力的方向上的位的位移；当位移垂直于力，则位移就不是力的
3、方向上的位移；当位移与力既不垂直又不平行于力，则可对位移进行正交分解，其平行于力的方向上的分位移仍被称为力的方向上的位移。2、会判断正功、负功或不做功。判断方法有：（1）用力和位移的夹角 判断; 当20时 F做正功，当2时 F不做功，当2时 F做负功。（2）用力和速度的夹角 判断定 ; （3）用动能变化判断。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 39 页2 3、做功多少的计算问题：（1）按照定义求功。即： W=Fscos 。公式中 F是做功的力； S是 F所作用的物体发生的位移； 而 则是 F与 S间的夹角。这种方法也可以说成
4、是： 功等于恒力和沿该恒力方向上的位移的乘积。具体求功时可以有两种处理办法W 等于力 F乘以物体在力 F方向上的分位移scos，即将物体的位移分解为沿F方向上和垂直 F方向上的两个分位移W 等于力 F在位移 s 方向上的分力 Fcos 乘以物体的位移 s，即将力 F 分解为沿s 方向和垂直 s 方向的两个分力在高中阶段，这种方法只适用于恒力做功。至于变力做功的计算，通常可以利用功能关系通过能量变化的计算来了解变力的功。（2）W=Pt （3）用动能定理 W= Ek或功能关系求功。当F为变力时，高中阶段往往考虑用这种方法求功。这种方法的依据是：做功的过程就是能量转化的过程，功是能的转化的量度。如果
5、知道某一过程中能量转化的数值，那么也就知道了该过程中对应的功的数值（4）能量的转化情况求， （功是能量转达化的量度）（5）F-s 图象，图象与位移轴所围均“面积”为功的数值（6）多个力的总功求解用平行四边形定则求出合外力，再根据w Fscos 计算功注意 应是合外力与位移 s 间的夹角分别求各个外力的功：W1F1scos1， W2=F2scos2再求各个外力功的代数和4、做功意义的理解问题： 做功意味着能量的转移与转化，做多少功， 相应就有多少能量发生转移或转化。（三）了解常见力做功的特点：（1）一类是与势能相关的力，如重力、弹簧的弹力、电场力等，它们的功与路程无关系，只与位移有关。重力做功和
6、路径无关， 只与物体始末位置的高度差h 有关：W=mgh，当末位置低于初位置时， W 0，即重力做正功；反之则重力做负功。（2）摩擦力做功静摩擦力做功的特点静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用） ，而没有机械能转化为其他形式的能滑动摩擦力做功的特点滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以对物体做负功，当然也可以不做功。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 39 页3 做功与物体的运动路径有关。滑动摩擦力做功要看物体运动的路程，这是摩擦力做功的特点，
7、必须牢记。一对滑动摩擦力做功的过程中，如图所示，上面不光滑的长木板，放在光滑的水平地面上，一小木块以速度V0从木板的左端滑上木板，当木块和木板相对静止时，木板相对地面滑动了S，小木块相对木板滑动了d，则由动能定理知：滑动摩擦力对木块所做功为：)(dsfEk木块滑动摩擦力对木板所做功为：sfEk木板得：dfEEkk木块木板式表明木块和木板组成的系统的机械能的减少量等于滑动摩擦力与木块相对木板的位移的乘积。这部分减少的能量转化为内能。（3）一对作用力和反作用力做功的特点：作用力与反作用力同时存在，作用力做功时， 反作用力可能做功， 也可能不做功，可能做正功，也可能做负功，不要以为作用力与反作用力大
8、小相等、方向相反，就一定有作用力、反作用力的功数值相等。一对互为作用反作用的摩擦力做的总功可能为零（静摩擦力）、可能为负（滑动摩擦力） ，但不可能为正（3）斜面上支持力做功问题：斜面固定不动，物体沿斜面下滑时斜面对物体的支持力不做功斜面置于光滑的水平面上，一个物体沿斜面下滑，物体受到的支持力对物体做负功，如图所示，物体下滑到斜面底端，斜面由于不受地面摩擦，后退一段距离，需要注意的是位移 S是物体相对于地面的位移，不要认为是斜面，否则会得出物体受到的支持力做功为0 的错误结论。功率1、 功率的定义：功跟完成这些功所用时间的比值叫做功率，它表示物体做功的快慢2、功率的定义式：tWP，所求出的功率是
9、时间t 内的平均功率。3、功率的计算式： P=Fvcos ，其中 是力与速度间的夹角。该公式有两种用法：S F P Q F精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 39 页4 求某一时刻的瞬时功率。这时F是该时刻的作用力大小， v 取瞬时值，对应的P为 F在该时刻的瞬时功率；当 v 为某段位移（时间）内的平均速度时，则要求这段位移（时间）内F必须为恒力，对应的 P为 F 在该段时间内的平均功率。重力的功率可表示为PG=mgVy，即重力的瞬时功率等于重力和物体在该时刻的竖直分速度之积4、单位：瓦（ w） ，千瓦（ kw） ；5、标量
10、6、功率的物理意义：功率是描述做功快慢的物理量。7、通常讲的汽车的功率是指汽车的牵引力的功率vFP牵二、汽车的两种起动问题汽车的两种加速问题。当汽车从静止开始沿水平面加速运动时，有两种不同的加速过程，但分析时采用的基本公式都是vFP牵和 F-f =ma 恒定功率的加速。由公式P=Fv和 F-f=ma 知，由于 P恒定，随着 v 的增大， F必将减小， a 也必将减小，汽车做加速度不断减小的加速运动，直到F=f，a=0，这时v 达到最大值fPFPvmmm。可见恒定功率的加速一定不是匀加速。这种加速过程发动机做的功只能用 W=Pt计算，不能用 W=Fs 计算（因为 F为变力） 。恒定牵引力的加速。
11、由公式P=Fv和 F-f=ma 知，由于 F恒定，所以 a 恒定，汽车做匀加速运动，而随着v 的增大， P也将不断增大，直到P达到额定功率 Pm ，功率不能再增大了。这时匀加速运动结束，其最大速度为mmmmvfPFPv，此后汽车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速运动了。可见恒定牵引力的加速时功率一定不恒定。这种加速过程发动机做的功只能用W=Fs 计算，不能用 W=P t 计算（因为 P为变功率）。要注意两种加速运动过程的最大速度的区别。题型解析类型题：判断力对物体是否做功【例题】下面列举的哪几种情况下所做的功是零（）A卫星做匀速圆周运动，地球引力对卫星做的功B平抛运动中，重力对物体做的功C
12、举重运动员，扛着杠铃在头上的上方停留10s，运动员对杠铃做的功D 木块在粗糙水平面上滑动，支持力对木块做的功解析：引力作为卫星做圆周运动的向心力，向心力与卫星运动速度方向垂直，所以，这个力不做功。杠铃在此时间内位移为零。支持力与位移方向垂直，所以，支持力不做功。故 A、C、D是正确的。【例题】如图所示，质量为m的物体 A静止于倾角为 的斜面体 B上，斜面体 B的质量为 M ，现对该斜面体施加一个水平向左的推力F，使物体随斜面体一起沿水平精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 39 页5 方向向左匀速运动的位移为s，则在此运动过程
13、中斜面体B对物体 A所做的功为：（ C ）AmMFsm BMgscot C0 D21mgssin2【例题】如图所示，线拴小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，圆的半径是1m ，球的质量是 0.1kg ，线速度 v=1m/s，小球由 A点运动到 B点恰好是半个圆周。那么在这段运动中线的拉力做的功是（）A0 B 0.1J C0.314J D 无法确定解析：小球做匀速圆周运动，线的拉力为小球做圆周运动的向心力，由于它总是与运动方向垂直，所以，这个力不做功。故A是正确的。【例题】小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上，从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力。(A) 垂直于接
14、触面，做功为零；(B) 垂直于接触面，做功不为零；(C)不垂直于接触面，做功不为零；(D)不垂于接触面，做功不为零。解析：错解：斜面对小物块的作用力垂直于接触面，作用力与物体的位移垂直，故做功为零。即 A选项正确。分析纠错：小物块 A在下滑过程中和斜面之间有一对相互作用力F和 F ， 如图所示。如果把斜面 B固定在水平桌面上，物体A的位移方向和弹力方向垂直，这时斜面对物块 A不做功。但此题告诉的条件是斜劈放在光滑的水平面上，可以自由滑动。此时弹力方向仍然垂直于斜面，但是物块A的位移方向却是从初位置指向终末位置。如图 27 所示， 弹力和位移方向不再垂直而是成一钝角， 所以弹力对小物块A做负功，
15、即 B选项正确。类型题：判断力对物体做正功还是负功【例题】质量为 m的物体，受水平力F的作用，在粗糙的水平面上运动，下列说法中正确的是（）A如果物体做加速直线运动，F 一定做正功B如果物体做减速直线运动，F 一定做负功O A P Q S F P Q F精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 39 页6 C 如果物体做减速直线运动，F 可能做正功D 如果物体做匀速直线运动，F 一定做正功解析：物体在粗糙水平面上运动，它必将受到滑动摩擦力，其方向和物体相对水平面的运动方向相反。当物体做加速运动时，其力F方向必与物体运动方向夹锐角（含
16、方向相同），这样才能使加速度方向与物体运动的方向相同。此时，力 F与物体位移的方向夹锐角，所以，力F对物体做正功， A 对。当物体做减速运动时，力F的方向可以与物体的运动方向夹锐角也可以夹钝角（含方向相反）， 只要物体所受合力与物体运动方向相反即可，可见，物体做减速运动时，力 F可能对物体做正功，也可能对物体做负功， B 错，C对。当物体做匀速运动时，力F的方向必与滑动摩擦力的方向相反，即与物体位移方向相同，所以，力 F做正功， D对。故 A、C、D是正确的。类型题：弄清求恒力做功的方法【例题】如图所示，均匀长直木板长L=40cm ，放在水平桌面上，它的右端与桌边相齐，木板质量 m=2kg ，
17、与桌面间的摩擦因数=0.2，今用水平推力 F将其推下桌子，则水平推力至少做功为（） （g 取 10/s2）A0.8J B1.6J C8J D4J 解析：将木板推下桌子即木块的重心要通过桌子边缘，水平推力做的功至少等于克服滑动摩擦力做的功，8.024. 0202.02LmgFsWJ。故 A是正确的。【例题】在光滑水平面上有一静止的物体。现以水平恒力甲推这一物体，作用一段时间后，换成相反方向的水平恒力乙推这一物体，当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32J，则在整个过程中，恒力甲做的功等于 _J ，恒力乙做的功等于 _J 。解析一：本题的条件是恒力甲与恒力乙的
18、作用时间相同，而且物体恰好回到原处。解题时要抓住这基本特征，运用牛顿运动定律和运动学公式，只要得出恒力甲与恒力乙大小之间的关系就可求得它们做功之间的关系。解析：在恒力甲作用下，有2121tmFs在恒力乙作用下，有22121)(tmFttmFs可解得： F2 = 3 F1所以，W2 = 3 W1把 32J 的动能分为 4 份，恒力甲做的功等于32J/4 = 8J ，恒力乙做的功等于24J。解析二：因位移大小相等，时间间隔又相等，所以两阶段运动的平均速度大小必L F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 39 页7 相等，2)(2
19、121vvv得122vv所以121212224214)2(2121kkEmvvmmvE即得J8J432421kkEE由动能定理得，两力做功分别为J811kEWJ24J)832(1222kkkEEEW小结此题的结论是普遍适用的，恒力甲与恒力乙之比为1:3 ，做功之比也为1:3，以后在电场的题中也会用到这个模型。类型题：弄清求变力做功的几种方法功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa 只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，下面对变力做功问题进行归纳总结如下：1、等值法（转化为恒力做功）等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可
20、以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=FScosa 计算，从而使问题变得简单。【例题】如图，定滑轮至滑块的高度为h，已知细绳的拉力为F（恒定），滑块沿水平面由 A点前进 S至 B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为 和。求滑块由 A点运动到 B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。解析：设绳对物体的拉力为T，显然人对绳的拉力F等于 T。T 在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F的大小和方向都不变，所以F做的功可以用公式W=FS
21、cosa直接计算。由图 1 可知，在绳与水平面的夹角由 变到 的过程中，拉力F的作用点的位移大小为：sinsin21hhSSS)sin1sin1(.FhSFWWFT 2 、微元法当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。h精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 39 页8 【例题】如图所示，某力 F=10N作用于半径 R=1m 的转盘的边缘上， 力 F的大小保持不变，但方向始
22、终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为： A、 0J B、20J C 、10J D、20J 解析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故W=F S，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F 2R=10 2J=20J，故B正确。 3 、平均力法如果力的方向不变， 力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值 （恒力）代替变力，利用功的定义式求功。【例题】一辆汽车质量为105kg，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05 倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f0，f0是车所受的阻力。当车前进100m时，牵引力做的功是多少？解析：由
23、于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f0，是线性关系，故前进100m过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力F所做的功。由题意可知f00. 0510510N 5104N，所以前进 100m过程中的平均牵引力 : NNF54341012)10510100(105W sF1105100J1107J。【例题】边长为 a 的立方木块浮于水面，平衡时有一半露在水面。现用力向下压木块使之缓慢地下降，直到立方块上表面与水面齐平。求在这一过程中压力做的功，水的密度为 。解析：力的最小值为0，而上表面与水面平齐时，压力为mg所以平均力为2mg力做的功为22amgW而23agmg所以48122gaamgW【例题
24、】用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1 cm 。问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次做功相等）解析：考查对功概念的理解能力及理论联系实际抽象建立模型的能力。B级要求。错解分析：（1）不能据阻力与深度成正比这一特点，将变力求功转化为求平均阻力x1x2R O F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 39 页9 的功，进行等效替代。（2）不能类比迁移，采用类似据匀变速直线速度-时间图象求位移的方式，根据F-x 图象求功。解题方法与技巧：解法一： （平均
25、力法）铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，比例系数为K。第一次击入深度为x1，平均阻力1F=21kx1，做功为 W1=1Fx1=21kx12。第二次击入深度为 x1到 x2， 平均阻力2F=21k （x2+x1） ， 位移为 x2-x1， 做功为 W2=2F（x2-x1）= 21k（x22-x12） 。两次做功相等： W1=W2。解后有： x2=2x1=1.41 cm，x=x2-x1=0.41 cm。解法二： （图象法）因为阻力 F=kx， 以 F为纵坐标，F方向上的位移 x 为横坐标，作出 F-x 图象 （图 4-4） 。曲线上面积的值等于F对铁钉做
26、的功。由于两次做功相等，故有：S1=S2（面积） ，即：21 kx12=21k（x2+x1） （x2-x1） ，所以x=x2-x1=0.41 cm 【例题】要把长为l的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k。问此钉子全部进入木板需要打击几次？解析：在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。钉子在整个过程中受到的平均阻力为：Fklkl022钉子克服阻力做的功为WFlklF122设全过程共打击n 次，则给予钉子的总能量：EnEkl总02
27、12, 所以022Ekln4、用动能定理求变力做功x1x2x kx1kx2F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 39 页10 动能定理表达式为kEW外，其中W外是所有外力做功的代数和，Ek是物体动能的增量。如果物体受到的除某个变力以外的其他力所做的功均能求出，那么用动能定理就可以求出这个变力所做的功。【例题】如图所示，质量为m的小球用长 L 的细线悬挂而静止在竖直位置。在下列三种情况下，分别用水平拉力F将小球拉到细线与竖直方向成 角的位置。在此过程中，拉力 F做的功各是多少？用 F缓慢地拉；F为恒力；若 F为恒力，而且拉到
28、该位置时小球的速度刚好为零。可供选择的答案有AcosFL BsinFL C cos1FL D cos1mgL解析：若用 F缓慢地拉，则显然F为变力，只能用动能定理求解。F做的功等于该过程克服重力做的功。选D 若 F为恒力，则可以直接按定义求功。选B 若 F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零，那么按定义直接求功和按动能定理求功都是正确的。选B、D 在第三种情况下，由sinFL=cos1mgL，可以得到2tansincos1mgF，可见在摆角为2时小球的速度最大。实际上，因为F与 mg的合力也是恒力，而绳的拉力始终不做功，所以其效果相当于一个摆，我们可以把这样的装置叫做“歪摆”。【例题】如
29、图所示， AB为 1/4 圆弧轨道，半径为0.8m，BC是水平轨道，长L=3m ，BC处的摩擦系数为 1/15，今有质量 m=1kg的物体，自 A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。解析：物体在从 A滑到 C的过程中，有重力、AB段的阻力、 AC段的摩擦力共三个力做功，重力做功，水平面上摩擦力做功， 由于物体在 AB段受的阻力是变力， 做的功不能直接求。根据动能定理可知：W外=0，所以0ABWmgLmgRJWAB6【例题】如图所示，质量mkg1的物体从轨道上的A点由静止下滑， 轨道 AB是弯曲的，且 A点高出 B点hm08 .。物体到达 B点时的速度为2ms
30、/，求物体在该过程中克服摩擦力所做的功。A B C R F L m 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 39 页11 解析：物体由 A运动到 B的过程中共受到三个力作用：重力G 、支持力FN和摩擦力Ff。由于轨道是弯曲的，支持力和摩擦力均为变力。但支持力时刻垂直于速度方向，故支持力不做功，因而该过程中只有重力和摩擦力做功。由动能定理WEk外，其中WWWEmvmvGfkBA外121222, 所以mghWmvfB122, 代入数据解得WJf584.【例题】如图所示，某人通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始时人在
31、滑轮的正下方， 绳下端 A点离滑轮的距离为H。人由静止拉着绳向右移动，当绳下端到 B点位置时，人的速度为v，绳与水平面夹角为。问在这个过程中，人对重物做了多少功？解析：人移动时对绳的拉力不是恒力， 重物不是做匀速运动也不是做匀变速运动，故无法用cosFsW求对重物做的功，需从动能定理的角度来分析求解。当绳下端由 A点移到 B点时，重物上升的高度为：sin)sin1(sinHHHh, 重力做功的数值为：sin)sin1(mgHWG, 当绳在 B点实际水平速度为v 时，v 可以分解为沿绳斜向下的分速度1v和绕定滑轮逆时针转动的分速度2v，其中沿绳斜向下的分速度1v和重物上升速度的大小是一致的，从图
32、中可看出：cos1vv,以重物为研究对象，根据动能定理得：02121mvWWG人2cossin)sin1(22mvmgHW人【例题】如图所示，在水平放置的光滑板中心开一个小孔O ，穿过一细绳，绳的一端系住一个小球，另一端用力F拉着使小球在平板上做半径为r 的匀速圆周运动，在运动过程，逐渐增大拉力，当拉力增大为8F时，球的运动半径减为r/2 ，求在此过程中拉力所做的功解析：对于变力做功问题，如果能知道运动过程中初末状态的动能，都可利用动能定理求解。动能定理是一个适用面很广的定理，凡是涉及力对物体做功过程中动能的变化问题几乎都能使用，不仅能够解决恒力做功问题也适用于变力做功问题，这也正是动能定理广
33、泛应用于解决力学问题的优点。答案:3Fr/2 。A B h O F v B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 39 页12 【例题】如图所示，在长为L 的轻杆中点 A和端点 B各固定一质量均为m的小球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速释放摆下。求当杆转到竖直位置时，轻杆对 A、B两球分别做了多少功 ? 解析：错解：由于杆的弹力总垂直于小球的运动方向，所以轻杆对 A、B两球均不做功。分析纠错：设当杆转到竖直位置时， A球和 B球的速度分别为 VA和 VB。如果把轻杆、地球、两个小球构成的系统作为研究对象，那
34、么由于杆和小球的相互作用力做功总和等于零，故系统机械能守恒。若取B的最低点为零重力势能参考平面，可得：22212123BAmVmVmgL , 又因 A球对 B球在各个时刻对应的角速度相同， 故AB2 ,由以上二式得：512,53gLVgLVBA。根据动能定理，可解出杆对A、B做的功。对于 A有2212AAmLmgW所以mgLWA2.0, 对于 B有221BBmmgLW，所以mgLWB2 .0【例题】如图 4 所示，质量 m=2kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以 V0=5m/s的初速度滑下，在 D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到 B的竖直高度 h=5m ，求弹簧的弹力对物体
35、所做的功。解析：JWB1255、用 W=Pt 利用此式可求出功率保持不变的情况下变力所做的功。【例题】质量为 5t 的汽车以恒定的输出功率75kW在一条平直的公路上由静止开始行驶，在 10s 内速度达到 10m/s，求摩擦阻力在这段时间内所做的功。解析：汽车的功率不变，根据PFv知，随着速度 v 的增大，牵引力将变小，不能用WFl求功，但已知汽车的功率恒定，所以牵引力在这段时间内所做的功JJPtWF53105.7101075, 再由动能定理得：WWmvfF1202h A B D v0A B O vAvB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
36、 12 页，共 39 页13 所以WmvWJfF12510256、用功能原理求变力做功除系统内重力和弹力以外的其他力对系统所做功的代数和等于系统机械能的增量。若只有重力和弹力做功的系统内，则机械能守恒（即为机械能守恒定律）。【例题】两个底面积都是S的圆筒，放在同一水平面上，桶内装水，水面高度分别为 h1和 h2，如图所示，已知水的密度为。现把连接两桶的阀门打开，最后两桶水面高度相等，则这过程中重力所做的功等于_ 。解析：由于水是不可压缩的，把连接两桶的阀门打开到两桶水面高度相等的过程中，利用等效法把左管高221hh以上部分的水等效地移至右管，如图中的斜线所示。最后用功能关系，重力所做的功等于重
37、力势能的减少量，所以重力做的功2212121)(41)2()2(hhgShhgShhWG【例题】如图所示，将一个质量为 m ，长为 a，宽为 b 的矩形物体竖立起来的过程中，人至少需要做多少功？分析：在人把物体竖立起来的过程中，人对物体的作用力的大小和方向均未知，无法应用WFl cos求解。该过程中，物体要经历图 4 所示的状态， 当矩形对角线竖直时， 物体重心高度最大，重心变化为：habb1222,由功能原理可知WEEPk外, 当Ek0时，W外最小，为：WEmg hmgabbp外12227、用图象法在Fx图象中，图线和横轴所围成的面积即表示力所做的功。h1 h2 A B h1 h2 a b
38、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 39 页14 【例题】放在地面上的木块与一劲度系数kNm200/的轻弹簧相连。现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动xm10 2 .时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了xm20 4 .的位移，求上述过程中拉力所做的功。解析：由题意作出Fx图象如图 3 所示，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功。即WJJ1206044020(.)类型题：弄清滑轮系统拉力做功的计算方法当牵引动滑轮两根细绳不平行时，但都是
39、恒力，此时若将此二力合成为一个恒力再计算这个恒力的功，则计算过程较复杂。但若等效为两个恒力功的代数和，将使计算过程变得非常简便。【例题】如图所示，恒定的拉力大小F=8N ，方向与水平线夹=60角，拉着绳头使物体沿水平面移动d=2m的过程中，拉力做了多少功？解析：如图所示，随着物体沿水平面前进d=2m ，绳头从 A点被拉到 B点，由此可见：拉 F所作用的物体（绳头）的位移S可由几何关系求得为mdS3230cos2.而力 F与位移 S间的夹角为30所以，这过程中拉F作用于绳头所做的功为JJFsW2423328cos解法二 如图 6-5 绳子张力大小为F，但张力对物体做功包括沿F 方向的张力所做的功
40、 W1和水平向右的张力所做的功W2，即2cos2cos221FsFsFsWWW解法三 如图 6-6 ，绳子对物体拉力的合力大小为2cos2F，此合力做的功为2cos22cos2cos22FssFWF 0.2 0.6 x/m F/N 40 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 39 页15 【例题】如图所示，在倾角为30的斜面上，一条轻绳的一端固定在斜面上，绳子跨过连在滑块上的定滑轮，绳子另一端受到一个方向总是竖直向上，大小恒为F=100N的拉力， 使物块沿斜面向上滑行1m(滑轮右边的绳子始终与斜面平行) 的过程中，拉力 F做
41、的功是 ( ) 100J 150J 200J 条件不足，无法确定解析：拉力 F做的功等效为图8 中 F1、F2两个恒力所做功的代数和。即W=F1S+F2Scos60，而 F1=F2=F=100N ，所以W=F S(1+cos60)=150J。即 B选项正确类型题：求某力的平均功率和瞬时功率【例题】质量为 m=0.5kg的物体从高处以水平的初速度V0=5m/s 抛出，在运动 t=2s内重力对物体做的功是多少？这2s 内重力对物体做功的平均功率是多少？2s 末，重力对物体做功的瞬时功率是多少？（g 取2/10sm）解析： t=2s 内，物体在竖直方向下落的高度20210212122gthm ，所以
42、有JmghWG10020105.0，平均功率50tWPW 。在 t=2s 末速度物体在竖直方向的分速度smgtVyt/20，所以 t=2s 末瞬时功率100ytmgVPW 。【例题】 （1994年上海）跳绳是一种健身运动。设某运动员的质量是50kg，他一分钟跳绳 180 次。假定在每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次所需时间的30F2F1 30F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 39 页16 2 / 5 ，则该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率是_W （g 取 10m/s2） 。解析：跳一次的时间是t0 = 60
43、/ 180 s = 1 / 3 s, 人跳离地面作竖直上抛，到最高点时间为 t = ss1 .0)521 (3121此过程克服重力做功W = 25)21(2gtmgW,跳绳时克服重力做功的平均功率31250tWPW = 75W 【例题】起重机的钢索将重物由地面吊到空中某个高度，其速度图象如图所示，则钢索拉力的功率随时间变化的图象可能是图中的哪一个？解析：在 0t1时间内，重物加速上升，设加速度为a1，则据牛顿第二定律可得钢索的拉力 F1=mg+ma1，速度 Vt=a1t ，所以拉力的功率为： P1=m(a1+g)a1t;, 在 t1t2时间内，重物匀速上升， 拉力 F2=mg ，速度为 V1=
44、a1t1，所以拉力的功率为： P2=mga1t1。在 t2t3时间内，重物减速上升，设加速度大小为a2，则据牛顿第二定律可得钢索的拉力 F2=mg-ma2，速度 V2=a1t1，所以拉力的功率为： P1=m(g-a2)a1t1。综上所述，只有 B选项正确类型题：机车起动问题【例题】汽车以恒定功率P由静止出发，沿平直路面行驶，最大速度为v，则下列判断正确的是（ C ）A汽车先做匀加速运动，最后做匀速运动B汽车先做加速度越来越大的加速运动，最后做匀速运动C 汽车先做加速度越来越小的加速运动，最后做匀速运动D 汽车先做加速运动，再做减速运动，最后做匀速运动【例题】汽车发动机额定功率为60 kW ，汽
45、车质量为 5. 0103 kg，汽车在水平路面行驶时，受到的阻力大小是车重的0.1 倍，试求：汽车保持额定功率从静止出发后能达到的最大速度是多少？P P C D t t1 t2 0t3 t1 t2 0t3 t v t1 t2 0t3 t P P A B t1 t2 0t3 t1 t2 0t3 t 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 39 页17 解析：汽车以恒定功率起动时，它的牵引力F将随速度 V的变化而变化，其加速度 a 也随之变化，由此可得汽车速度达到最大时，a=0，kmgPVVFPkmgfFmm=12 m/s 小结：
46、机车的速度达到最大时，一定是机车的加速度为零。弄清了这一点，利用平衡条件就很容易求出机车的最大速度。【例题】 质量为 2t 的农用汽车，发动机额定功率为30kW ，汽车在水平路面行驶时能达到的最大时速为54km/h。若汽车以额定功率从静止开始加速，当其速度达到v=36km/h时的瞬时加速度是多大？解析：汽车在水平路面行驶达到最大速度时牵引力F等于阻力 f ，即 Pm=f vm，而速度为 v 时的牵引力 F=Pm/v ，再利用 F-f=ma，可以求得这时的a=0.50m/s2【例题】汽车发动机额定功率为60 kW ，汽车质量为 5. 0103 kg，汽车在水平路面行驶时，受到的阻力大小是车重的0
47、.1 倍，试求：若汽车从静止开始，以0.5 m/s2的加速度匀加速运动，则这一加速度能维持多长时间？解析：要维持汽车加速度不变，就要维持其牵引力不变，汽车功率将随V增大而增大，当 P达到额定功率 P额后，不能再增加，即汽车就不可能再保持匀加速运动了。所以，汽车达到最大速度之前已经历了两个过程：匀加速和变加速，匀加速过程能维持到汽车功率增加到P额的时刻，设匀加速能达到最大速度为V1，则此时s16:11tmakmgFFVPatV代入数据可得额。小结：机车匀加速度运动能维持多长时间，一定是机车功率达到额定功率的时间。弄清了这一点，利用牛顿第二定律和运动学公式就很容易求出机车匀加速度运动能维持的时间。
48、【例题】质量 4t 的机车，发动机的最大输出功率为100kW ，运动阻力恒为N1023，试求；（1） 当机车由静止开始以0.5m/s2的加速度沿水平轨道做匀加速直线运动的过程中，能达到的最大速度和达到该最大速度所需的时间。（2）若机车保持额定功率不变行驶，能达到的最大速度以及速度为10m/s 时机车的加速度。解析： （1）Vm=25m/s t=50s （2）smum/502/2sma【例题】额定功率为80kW的汽车，在平直的公路上行驶的最大速度是20m/s，汽车的质量是 2t ，如果汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度的大小是2m/s2，运动过程中阻力不变。求：（1）汽车受到的阻力多大？（2
49、）3s 末汽车的瞬时功率多大？（3）汽车维持匀加速运动的时间是多少？解析： （1）当汽车达最大速度时，加速度为零，牵引力的大小等于阻力的大小，即2010803mvPf额N = 3104 N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 39 页18 （2）设汽车做匀加速运动时，需要的牵引力为F1，有 F1 f = ma ，所以 F1 = f + ma =（210210433）N = 3108N 3s 末汽车的瞬时速度为 v3= 6m/s，所以汽车在 3s 末的瞬时功率为 P3= F1v3= 61083W = 48kW （3）汽车做匀
50、加速运动时，牵引力恒定，随着车速的增大，汽车的输出功率增大，当输出功率等于额定功率时的速度是汽车做匀加速运动的最大速度，设为v1，有33111081080FPv额m/s= 10m/s ，根据运动学公式，汽车维持匀加速运动的时间为2101avts = 5s 【例题】电动机通过一绳子吊起质量为8 kg 的物体，绳的拉力不能超过120 N，电动机的功率不能超过1200 W ，要将此物体由静止起用最快的方式吊高90 m （已知此物体在被吊高接近90 m 时，已开始以最大速度匀速上升）所需时间为多少？解析：此题可以用机车起动类问题的思路，即将物体吊高分为两个过程处理：第一过程是以绳所能承受的最大拉力拉物