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1、.-2015年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1（2分）（2015潜江）3的绝对值是（）A3B3CD2（2分）（2015常州）要使分式有意义，则x的取值范围是（）Ax2Bx2Cx2Dx23（2分）（2015常州）下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）ABCD4（2分）（2015常州）如图，BCAE于点C，CDAB，B=40，则ECD的度数是（）A70B60C50D405（2分）（2015常州）如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（）AAO=ODBAOODCAO=OCD
2、AOAB6（2分）（2015常州）已知a=，b=，c=，则下列大小关系正确的是（）AabcBcbaCbacDacb7（2分）（2015常州）已知二次函数y=x2+（m1）x+1，当x1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）Am=1Bm=3Cm1Dm18（2分）（2015常州）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（）Acm2B8cm2Ccm2D16cm2二、填空题（每小题2分，共20分）9（2分）（2015常州）计算（1）0+21=10（2分）（2015常州）太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法
3、表示为11（2分）（2015常州）分解因式：2x22y2=12（2分）（2015常州）已知扇形的圆心角为120，弧长为6，则扇形的面积是13（2分）（2015常州）如图，在ABC中，DEBC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是14（2分）（2015常州）已知x=2是关于x的方程a（x+1）=a+x的解，则a的值是15（2分）（2015常州）二次函数y=x2+2x3图象的顶点坐标是16（2分）（2015常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90后直行
4、400m到达梅花阁C，则点C的坐标是17（2分）（2015常州）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想4=2+2； 12=5+7；6=3+3； 14=3+11=7+7；8=3+5； 16=3+13=5+11；10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；通过这组等式，你发现的规律是（请用文字语言表达）18（2分）（2015常州）如图，在O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，BAD=60，点C为弧BD的中点，则AC的长是三、解答题（共10小题，共84分）19（6分）（2015常州）先化简，再求值：（x+1）2x（2x），其中x=220（8分）（2015常州）解方程和
5、不等式组：（1）；（2）21（8分）（2015常州）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间22（8分）（2015常州）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序（1）求甲第一个出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率23（8分）（2015常州）如图，在ABCD中，BCD=120，分别延长D
6、C、BC到点E，F，使得BCE和CDF都是正三角形（1）求证：AE=AF；（2）求EAF的度数24（8分）（2015常州）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x3）之间的函数关系式；（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元问小张剩下的现金够不够乘出租车从光
7、明电影院返回光明中学？为什么？25（8分）（2015常州）如图，在四边形ABCD中，A=C=45，ADB=ABC=105（1）若AD=2，求AB；（2）若AB+CD=2+2，求AB26（10分）（2015常州）设是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为的“化方”（1）阅读填空如图，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积理由：连接AH，EHAE为直径，AHE=90，HAE+HEA=90DHAE，ADH=
8、EDH=90HAD+AHD=90AHD=HED，ADH，即DH2=ADDE又DE=DCDH2=，即正方形DFGH与矩形ABCD等积（2）操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形如图，请用尺规作图作出与ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的（填写图形名称），再转化为等积的正方形如图，ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算ABC面积作图）（4）拓展探究n边形（n3）的“化方”思路之一是：把n边形转化
9、为等积的n1边形，直至转化为等积的三角形，从而可以化方如图，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）27（10分）（2015常州）如图，一次函数y=x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合（1）写出点A的坐标；（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得OQB与APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由（3）若点M在直线l上，且POM=90，记OAP外接圆和OAM外接
10、圆的面积分别是S1、S2，求的值28（10分）（2015常州）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和PAB的面积；（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：PMN是等腰三角形；（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较PAQ与PBQ的大小，并说明理由2015年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共16分）1（2分）（2015潜江）3的绝对值是（）A3B3CD考点
11、：绝对值菁优网版权所有分析：根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出解答：解：|3|=（3）=3故选：A点评：考查绝对值的概念和求法绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是02（2分）（2015常州）要使分式有意义，则x的取值范围是（）Ax2Bx2Cx2Dx2考点：分式有意义的条件菁优网版权所有专题：计算题分析：根据分式有意义得到分母不为0，即可求出x的范围解答：解：要使分式有意义，须有x20，即x2，故选D点评：此题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件为：分母不为03（2分）（2015常州）下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行
12、”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）ABCD考点：轴对称图形菁优网版权所有分析：根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案解答：解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误故选：B点评：本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合4（2分）（2015常州）如图，BCAE于点C，CDAB，B=40，则ECD的度数是（）A70B60C50D40考点：平行线的性质；垂线菁优网版权所有专题：计算题分析：由BC与AE垂直，得到三角
13、形ABC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余，求出A的度数，再利用两直线平行同位角相等即可求出ECD的度数解答：解：BCAE，ACB=90，在RtABC中，B=40，A=90B=50，CDAB，ECD=A=50，故选C点评：此题考查了平行线的性质，以及垂线，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键5（2分）（2015常州）如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（）AAO=ODBAOODCAO=OCDAOAB考点：平行四边形的性质菁优网版权所有分析：根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可解答：解：对角线不一定相等，A错误；对角线不一定互相垂直，B
14、错误；对角线互相平分，C正确；对角线与边不一定垂直，D错误故选：C点评：本题考查度数平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键6（2分）（2015常州）已知a=，b=，c=，则下列大小关系正确的是（）AabcBcbaCbacDacb考点：实数大小比较菁优网版权所有专题：计算题分析：将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可解答：解：a=，b=，c=，且，即abc，故选A点评：此题考查了实数比较大小，将a，b，c进行适当的变形是解本题的关键7（2分）（2015常州）已知二次函数y=x2+（m1）x+1，当x1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A
15、m=1Bm=3Cm1Dm1考点：二次函数的性质菁优网版权所有分析：根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解解答：解：抛物线的对称轴为直线x=，当x1时，y的值随x值的增大而增大，1，解得m1故选D点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键8（2分）（2015常州）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（）Acm2B8cm2Ccm2D16cm2考点：翻折变换（折叠问题）菁优网版权所有分析：当ACAB时，重叠三角形面积最小，此时ABC是等腰直角三角形，面积为
16、8cm2解答：解：如图，当ACAB时，三角形面积最小，BAC=90ACB=45AB=AC=4cm，SABC=44=8cm2故选：B点评：本题考查了折叠的性质，发现当ACAB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键二、填空题（每小题2分，共20分）9（2分）（2015常州）计算（1）0+21=1考点：负整数指数幂；零指数幂菁优网版权所有分析：分别根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果解答：解：（1）0+21=1+=1故答案为：1点评：本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂的运算负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于110（2分）（2015常州）太
17、阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为6.96105考点：科学记数法表示较大的数菁优网版权所有专题：应用题分析：科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数本题中696 000有6位整数，n=61=5解答：解：696 000=6.96105点评：此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值11（2分）（2015常州）分解因式：2x22y2=2（x+y）（xy）考点：提公因式法与公式法的综合运用菁优网版权所有分析：先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求
18、得答案解答：解：2x22y2=2（x2y2）=2（x+y）（xy）故答案为：2（x+y）（xy）点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底12（2分）（2015常州）已知扇形的圆心角为120，弧长为6，则扇形的面积是27考点：扇形面积的计算菁优网版权所有分析：利用弧长公式即可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积解答：解：设扇形的半径为r则=6，解得r=9，扇形的面积=27故答案为：27点评：此题主要考查了扇形面积求法，用到的知识点为：扇形的弧长公式l=；扇形的面积公式S=13（2分）（2015常州）如图，在ABC中，DE
19、BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是6考点：相似三角形的判定与性质菁优网版权所有分析：由平行可得对应线段成比例，即AD：AB=DE：BC，再把数值代入可求得BC解答：解：DEBC，AD：DB=1：2，DE=2，解得BC=6故答案为：6点评：本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键14（2分）（2015常州）已知x=2是关于x的方程a（x+1）=a+x的解，则a的值是考点：一元一次方程的解菁优网版权所有专题：计算题分析：把x=2代入方程计算即可求出a的值解答：解：把x=2代入方程得：3a=a+2，解得：a=故答案为：点评：此题考查了一元一次
20、方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值15（2分）（2015常州）二次函数y=x2+2x3图象的顶点坐标是（1，2）考点：二次函数的性质菁优网版权所有分析：此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标解答：解：y=x2+2x3=（x22x+1）2=（x1）22，故顶点的坐标是（1，2）故答案为（1，2）点评：本题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标有两种方法公式法，配方法16（2分）（2015常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA
21、方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是（400，800）考点：勾股定理的应用；坐标确定位置；全等三角形的应用菁优网版权所有分析：根据题意结合全等三角形的判定与性质得出AODACB（SAS），进而得出C，A，D也在一条直线上，求出CD的长即可得出C点坐标解答：解：连接AC，由题意可得：AB=300m，BC=400m，在AOD和ACB中，AODACB（SAS），CAB=OAD，B、O在一条直线上，C，A，D也在一条直线上，AC=AO=500m，则CD=AC=AD=800m，C点坐标为：（400，800）故答案为：（400，800）点评：此题主要考
22、查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，得出C，A，D也在一条直线上是解题关键17（2分）（2015常州）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想4=2+2； 12=5+7；6=3+3； 14=3+11=7+7；8=3+5； 16=3+13=5+11；10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；通过这组等式，你发现的规律是所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和（请用文字语言表达）考点：规律型：数字的变化类菁优网版权所有分析：根据以上等式得出规律进行解答即可解答：解：此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和，故答案为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数
23、之和点评：此题考查规律问题，关键是根据几个等式寻找规律再用文字表达即可18（2分）（2015常州）如图，在O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，BAD=60，点C为弧BD的中点，则AC的长是考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理菁优网版权所有分析：过C作CEAB于E，CFAD于F，得出E=CFD=CFA=90，推出=，求出BAC=DAC，BC=CD，求出CE=CF，根据圆内接四边形性质求出D=CBE，证CBECDF，推出BE=DF，证AECAFC，推出AE=AF，设BE=DF=x，得出5=x+3+x，求出x，解直角三角形求出即可解答：解：过C作CEAB
24、于E，CFAD于F，则E=CFD=CFA=90，点C为弧BD的中点，=，BAC=DAC，BC=CD，CEAB，CFAD，CE=CF，A、B、C、D四点共圆，D=CBE，在CBE和CDF中CBECDF，BE=DF，在AEC和AFC中AECAFC，AE=AF，设BE=DF=x，AB=3，AD=5，AE=AF=x+3，5=x+3+x，解得：x=1，即AE=4，AC=，故答案为：点评：本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中三、解答题（共10小题，共84分）19（6分）（2015常州）先化简
25、，再求值：（x+1）2x（2x），其中x=2考点：整式的混合运算化简求值菁优网版权所有专题：计算题分析：原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值解答：解：原式=x2+2x+12x+x2=2x2+1，当x=2时，原式=8+1=9点评：此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键20（8分）（2015常州）解方程和不等式组：（1）；（2）考点：解分式方程；解一元一次不等式组菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）
26、分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可求出解集解答：解：（1）去分母得：x=6x2+1，解得：x=，经检验x=是分式方程的解；（2），由得：x2，由得：x3，则不等式组的解集为2x3点评：此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键21（8分）（2015常州）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均
27、时间考点：频数（率）分布直方图；扇形统计图；加权平均数菁优网版权所有分析：（1）利用0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20%，即可求出样本容量；（2）利用样本容量乘以1.5小时的百分数，即可求出1.5小时的人数，画图即可；（3）计算出该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间即可解答：解：（1）由题意可得：0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20%，本次调查共抽样了500名学生； （2）1.5小时的人数为：5002.4=120（人）如图所示：（3）根据题意得：，即该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间约1小时点评：此题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，根据统计图得出正确信
28、息是解题关键22（8分）（2015常州）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序（1）求甲第一个出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率考点：列表法与树状图法菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲第一个出场的情况数，即可求出所求的概率；（2）找出甲比乙先出场的情况数，即可求出所求的概率解答：解：（1）画树状图如下：所有等可能的情况有6种，其中甲第一个出场的情况有2种，则P（甲第一个出场）=；（2）甲比乙先出场的情况有3种，则P（甲比乙先出场）=点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所
29、求情况数与总情况数之比23（8分）（2015常州）如图，在ABCD中，BCD=120，分别延长DC、BC到点E，F，使得BCE和CDF都是正三角形（1）求证：AE=AF；（2）求EAF的度数考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质菁优网版权所有分析：（1）由平行四边形的性质得出BAD=BCD=120，ABC=ADC，AB=CD，BC=AD，由等边三角形的性质得出BE=BC，DF=CD，EBC=CDF=60，证出ABE=FDA，AB=DF，BE=AD，根据SAS证明ABEFDA，得出对应边相等即可；（2）由全等三角形的性质得出AEB=FAD，求出AEB+BAE=60，得出
30、FAD+BAE=60，即可得出EAF的度数解答：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，BAD=BCD=120，ABC=ADC，AB=CD，BC=AD，BCE和CDF都是正三角形，BE=BC，DF=CD，EBC=CDF=60，ABE=FDA，AB=DF，BE=AD，在ABE和FDA中，ABEFDA（SAS），AE=AF；（2）解：ABEFDA，AEB=FAD，ABE=60+60=120，AEB+BAE=60，FAD+BAE=60，EAF=12060=60点评：本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关
31、键24（8分）（2015常州）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x3）之间的函数关系式；（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？考点：一次函数的应用菁优网版权所有分析：（1）根据题意，不超过
32、3公里计费为m元，由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，可由此得出m，由出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费当x3时，由收费与路程之间的关系就可以求出结论；（2）分别计算小张所剩钱数和返程所需钱数，即可得出结论解答：解：（1）由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，付费9元，m=9，从市图书馆乘出租车去光明电影院，路程5公里，付费12.6元，（53）n+9=12.6，解得：n=1.8车费y（元）与路程x（公里）（x3）之间的函数关系式为：y=1.8（x3）+9=1.8x+3.6（x3）（2）小张剩下坐车的钱数为：751525912.6=13.4（元），乘出租车
33、从光明电影院返回光明中学的费用：1.87+3.6=16.2（元）13.416.2，故小张剩下的现金不够乘出租车从光明电影院返回光明中学点评：本题考查了分段函数，一次函数的解析式，由一次含数的解析式求自变量和函数值，解答时求出函数的解析式是关键25（8分）（2015常州）如图，在四边形ABCD中，A=C=45，ADB=ABC=105（1）若AD=2，求AB；（2）若AB+CD=2+2，求AB考点：勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形菁优网版权所有分析：（1）在四边形ABCD中，由A=C=45，ADB=ABC=105，得BDF=ADCADB=165105=60，ADE与BCF为等腰直角
34、三角形，求得AE，利用锐角三角函数得BE，得AB；（2）设DE=x，利用（1）的某些结论，特殊角的三角函数和勾股定理，表示AB，CD，得结果解答：解：（1）过A点作DEAB，过点B作BFCD，A=C=45，ADB=ABC=105，ADC=360ACABC=3604545105=165，BDF=ADCADB=165105=60，ADE与BCF为等腰直角三角形，AD=2，AE=DE=，ABC=105，ABD=1054530=30，BE=，AB=；（2）设DE=x，则AE=x，BE=，BD=2x，BDF=60，DBF=30，DF=x，BF=，CF=，AB=AE+BE=，CD=DF+CF=x，AB+C
35、D=2+2，AB=+1点评：本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有30角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线DE、BF，构造直角三角形，求出相应角的度数26（10分）（2015常州）设是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为的“化方”（1）阅读填空如图，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积理由：连接AH，EHAE为直径，AHE=90，HAE+HEA=90DHAE，ADH=EDH=9
36、0HAD+AHD=90AHD=HED，ADHHDE，即DH2=ADDE又DE=DCDH2=ADDC，即正方形DFGH与矩形ABCD等积（2）操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形如图，请用尺规作图作出与ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的矩形（填写图形名称），再转化为等积的正方形如图，ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算ABC面积作图）（4）拓展探究n边形（n3）的“化方”思路之一是：把n
37、边形转化为等积的n1边形，直至转化为等积的三角形，从而可以化方如图，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）考点：相似形综合题菁优网版权所有分析：（1）首先根据相似三角形的判定方法，可得ADHHDE；然后根据等量代换，可得DH2=ADDC，据此判断即可（2）首先把平行四边形ABCD转化为等积的矩形ADMN，然后延长AD到E，使DE=DM，以AE为直径作半圆延长MD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABMN等积，所以正方形DFGH与平行四边形ABCD等积，据此解答
38、即可（3）首先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将ABC转化为等积的矩形MBCD；然后延长MD到E，使DE=DC，以ME为直径作半圆延长CD交半圆于点H，则DH即为与ABC等积的正方形的一条边（4）首先根据AGEH，判断出AG=2EH，然后根据CF=2DF，可得CFEH=DFAG，据此判断出SCEF=SADF，SCDI=SAEI，所以SBCE=S四边形ABCD，即BCE与四边形ABCD等积，据此解答即可解答：解：（1）如图，连接AH，EH，AE为直径，AHE=90，HAE+HEA=90DHAE，ADH=EDH=90，HAD+AHD=90，AHD=HED，ADHHDE，即DH
39、2=ADDE又DE=DC，DH2=ADDC，即正方形DFGH与矩形ABCD等积（2）如图，延长AD到E，使DE=DM，连接AH，EH，矩形ADMN的长和宽分别等于平行四边形ABCD的底和高，矩形ADMN的面积等于平行四边形ABCD的面积，AE为直径，AHE=90，HAE+HEA=90DHAE，ADH=EDH=90，HAD+AHD=90，AHD=HED，ADHHDE，即DH2=ADDE又DE=DM，DH2=ADDM，即正方形DFGH与矩形ABMN等积，正方形DFGH与平行四边形ABCD等积（3）如图，延长MD到E，使DE=DC，连接MH，EH，矩形MDBC的长等于ABC的底，矩形MDBC的宽等于ABC的高的一半，矩形MDBC的面积等于ABC的面积，ME为直径，MHE=90，HME+HEM=90DHME，MDH=EDH=90，HMD+MHD=90，MHD=HED，MDHHDE，即DH2=MDDE又DE=DC，DH2=MDDC，DH即为与ABC等积的正方形的一条边（4）如图，延长BA、CD交于点F，作AGCF于点G，EHCF于点H，BCE与四边形ABCD等积，理由如下：AGEH，AG=2EH，又CF=2DF，CFEH=DFAG，SCEF=SADF，SCDI=