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1、2. 三角形常用面积公式(1)S= ah(h表示三角形长为a的边上的高）.(2)S= ah= acsin B= bcsin A= absin C.(3)S= r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径）.3. 余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即 或1212121212122222cos,abcbcA2222cos ,bcacaB2222cos,cbaabC222cos,2bcaAbc222cos,2acbBac222cos.2abcCab典例分析典例分析题型一题型一 正弦定理和余弦定理的应用正弦定理和余弦定理的应用分析 已知两边和其中一边的
2、对角的解三角形问题，可运用正弦定理来求解，但应注意解的情况.或借助余弦定理，先求出边c后，再求出角C与角A.4. 勾股定理是余弦定理的特殊情况在余弦定理表达式中分别令A、B、C为90,则上述关系式分别化为： , , .222abc222bca222cab【例1】在ABC中，已知a= ,b= ,B=45，求A、C和c.32解 方法一:B=4590,且bcb,角A为最大角.由余弦定理有cosA= A=120，sin A= ,再根据正弦定理，有sin C= 2221,22bcabc 32,sinsinacAC535 3sin.7214cAa题型二题型二 三角形的面积问题三角形的面积问题分析 三角形外
3、接圆的直径是和正弦定理联系在一起的，已经知道了A=60,只要再能求出边a,问题就解决了，结合已知条件求边a是解决问题的关键.【例2】在ABC中，A=60,b=1,其面积为 ,则ABC外接圆的直径是 .3解 由题意知， = bcsin A,所以c=4.由余弦定理知：a=再由正弦定理2R=即ABC外接圆的直径是 .12ABCS222cos13,bcbcA132 39.sin332aA2 393举一反三举一反三学后反思 要注意正弦定理的统一形式：(其中R为三角形外接圆的半径），这个定理还可以写成abc=sin Asin Bsin C,或 等形式.2sinsinsinabcRABC2 sin,2 si
4、n,2 sinaRAbRBcRC2. （2009北京）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,B= ,cos A= ,b= .(1)求sin C的值；（2）求ABC的面积.3453解析 （1）角A、B、C为ABC的内角，且B= ，cos A= ,(2)由（1）知 .又B= ,b= ,在ABC中，由正弦定理得 .于是ABC的面积S=12absin C= .3452323,sin,sinsincos35321341334 3sin2252510CAACAAA334 3sin,sin510AC33sin6sin5bAaB1634 3369 33251050题型三题型三 判断三角形的形状判断三
5、角形的形状【例3】在ABC中,acos A+bcos B=ccos C,试判断三角形的形状.分析 判定三角形的类型，一般是从题设条件出发，依正弦定理、余弦定理和面积公式，运用三角函数式或代数式的恒等变形导出角或边的某种特殊关系，从而判定三角形的类型.解 方法一:由正弦定理，设 =k0，a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C,代入已知条件得ksin Acos A+ksin Bcos B=ksin Ccos C,即sin Acos A+sin Bcos B=sin Ccos C.根据二倍角公式得sin 2A+sin 2B=sin 2C,sin(A+B)+(A-B)+sin(A+B)-
6、(A-B)=2sin Ccos C,2sin(A+B)cos(A-B)=2sin Ccos C.A+B+C=A+B=-C,sin(A+B)=sin C0,cos(A-B)=cos C,cos(A-B)+cos(A+B)=0,2cos Acos B=0cos A=0或cos B=0,即A=90或B=90,ABC是直角三角形.sinsinsinabcABC方法二:由余弦定理知cosA= cosB= cosC=代入已知条件得a +b +c =0,通分得展开整理得 即 或 .根据勾股定理知ABC是直角三角形.222,2bcabc222,2abcab222,2acbac2222bcabc2222acba
7、c2222abcab2222222222220,abcabacbccab2224222,abcabc 222abc222bac学后反思 （1）判断三角形的形状，主要有两条思路：一是化角为边，二是化边为角.（2）若等式两边是关于三角形的边或内角正弦函数齐次式，则可以根据正弦定理互相转化.如asin A+bsin B=csin C222abc222sinsinsin.ABC举一反三举一反三答案：C3. ABC中， ,判断三角形的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形22tantanaBbA解析：由正弦定理得 ,sin Acos A=sin Bc
8、os B,即sin 2A=sin 2B.又因为A,B(0,),所以A=B或A+B=90.22sintansintanABBA题型四题型四 正、余弦定理的综合应用正、余弦定理的综合应用【例4】(12分)ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且（1）求角A的大小；（2）若a= ,求bc的最大值；（3）求 的值.2220.bcabc3sin 30aCbc分析（1）由 的结构形式，可联想余弦定理，求出cos A,进而求出A的值.（2）由a= 及 ,可求出关于b,c的关系式，利用不等式即可求出bc的最大值.(3)由正弦定理可实现将边化角的功能，从而达到化简求值的目的.2220bcabc32220
9、bcabc解 (1)cosA= 1A=120.2(2)由a= ,得 .3又 2bc(当且仅当c=b时取等号）,3-bc2bc(当且仅当c=b时取等号），.4即当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为1.6(3)由正弦定理，得 .7 .122221,222bcabcbcbc 3223.bcbc22bc2 ,sinsinsinabcRABC3 13cossinsin 302 sinsin 30sinsin 302222 sin2 sinsinsinsin 60sinCCaCRACACbcRBRCBCCC33cossin144.233cossin22CCCC学后反思 (1)在三角形中求角，往往选择先求
10、该角的余弦值，然后利用余弦函数在（0，）上的单调性求角.(2)正、余弦定理均能实现边角转化，在解题时一定要注意根据条件的形式，选择转化方式.举一反三举一反三4. 在ABC中，A、B、C所对的边长分别为a、b、c.设a、b、c满足条件 和 ,求A和tan B的值.222bcbca132cb解析：由余弦定理cosA= ,因此A=60.在ABC中，C=180-A-B=120-B.由已知条件，应用正弦定理,得解得cot B=2,从而tan B= .2221222bcabcbcbcsin 1201sinsin120 coscos120 sin313cot,2sinsinsin22BcCBBBbBBB12
11、易错警示易错警示【例】在ABC中，若C=3B,求 的取值范围.cb错解 sin 120sin 2sinsin3sin2 coscos2 sinsinsinsinsinsinBBBcCBBBBBbBBBBB22232sincos12sinsin2sin12sinsin2sinsinsinBBBBBBBBBB323sin4sin34sin.sinBBBB220sin1,134sin3,03.cBBb 错解分析 上面解答忽视了隐含条件B的范围. C=3B,A=-4B0,即0B ,00，0B ,0 .又 13-4 3，1 0),由四边形内角和为360，得3x+7x+4x+10 x=360,x=15,即
12、A=45,B=105,C=60,D=150.连接BD，在BCD中，由余弦定理，得 .此时， ,BCD为直角三角形，且BDC=30，ADB=150-30=120.在ABD中， ,22202222cos603,3BDaaaaaBDa2221,2CDBCBDBCCD且ABBDsin ADBsin A题型二题型二 构造三角形模型解应用题构造三角形模型解应用题分析 “最快截住”是指“机器人从点B沿直线运动时和足球在直线AD上的点C处相遇”，此时CD=2BC，将问题归结到ABC中，用余弦定理解决.【例2】(12分)一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正
13、以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动.如图所示，已知AB= dm,AD=17 dm,BAC=45.若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？4 200sin3 sin1203 2sinsin452BDADBaABaA学后反思 本题中机器人在从点B开始运动时必须选择一个方向，在这个方向上沿直线运动恰好与足球在直线AD上的点C相遇，这样才能达到“最快截住”的目的，否则就不是“最快截住”.这样就可以把问题归结到一个三角形中，用正、余弦定理来解决问题.解 设该机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，设BC=x dm,由题意知，CD=2x dm,AC=AD-CD=(17-
14、2x) dm.在ABC中，由余弦定理得， -2ABACcos A，即 -2 (17-2x)cos 45.解得 =5 dm, = dm，AC=17-2x=7 dm或- dm(不合题意，舍去).所以该机器人最快可在线段AD上离点A 7 dm的点C处截住足球.222BCABAC2224 2172xx1x2x3732334 2举一反三举一反三2. 如图，甲船以每小时30 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10 海里.问
15、：乙船每小时航行多少海里？22解析：方法一：如图，连接 ，由已知 , .又 =180-120=60, 是等边三角形，由已知, =20, =105-60=45,在 1中，由余弦定理得2210 2A B 122030 210 2,60A A 1222A AA B122A A B122A A B221210 2.A BA A11AB112B AB112B AB1 2AB30 2因此，乙船的速度为 60= （海里/小时）.方法二:如图，连接 ,由已知 =20, =105,cos 105=cos(45+60)=cos 45cos 60-sin 45sin 60=sin 105=sin(45+60)=si
16、n45cos 60+cos45sin 60=在 中，由余弦定理，得22121111122cos45B BABABAB221222010 22 20 10 2200,10 2.2B B 10 22021A B11AB122030 210 2,60A A 112B A A2 13,42 13,421 1A AB222211122111222212cos1052 132010 22 20 10 24100 42 3 ,10 13 .A BABA AABA AA B 30 2由正弦定理得 ,即 =60-45=15,cos 15=sin 105= 在 中，由已知由余弦定理得乙船的速度为 （海里/小时）.
17、11121112212 13202sinsin,4210 13ABA A BB A AA B12145A A B122B A B2 13,4122B A B2210 2,A B 22212212221222cos15B BA BA BA BA B2222 13101310 22 101310 2200,4 1210 2,B B10 26030 220【例3】(12分)某观测站C在A城的南偏西20的方向.由A城出发的一条公路，走向是南偏东40，在C处测得公路上B处有一人距C为31千米，正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达A城？分析 本
18、题为解斜三角形的应用问题，要求这人要走多少路可到达A城，也就是要求AD的长，在ADC中，已知CD=21千米，CAD=60，只需再求出一个量即可.解 设ACD=,CDB=,在CDB中，由余弦定理得： ,4则sin = ,5而sin =sin(-60)=sin cos 60-cos sin 60= ,.7在ADC中，由正弦定理得 2222222021311cos22 20 217BDCDCBBD CD 4 374 31315 372271421ADsin 60sin AD= =15(千米)115 32121sin14sin 6032答：这个人再走15千米就可到达A城12学后反思 测量距离问题的解题
19、思路是把所要求的问题转化到三角形中，然后利用正弦定理、余弦定理求解.常见错误：（1）读不懂题意，从而不能准确作图、建模；（2）算法不简练，算式不工整，计算不准确；（3）有单位时漏单位或不作答.3. （2009辽宁）如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点与D点的仰角均为60，AC=0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01 km， 1.414, 2.449）.26举一反三举一反三解析：在ACD中，DAC=30，ADC=6
20、0-DAC=30，CD=AC=0.1.又BCD=180-60-60=60,CB是CAD底边AD的中垂线，BD=BA，即B、D间的距离与A、B间的距离相等.在ABC中 ,因此,BD= 0.33（km）.B、D的距离约为0.33 km.ABACACsin 603 26,ABsin BCAsin ABCsin 1520即3 2620题型三题型三 三角形与函数的综合问题三角形与函数的综合问题【例3】在ABC中，若AB=AC，则cos A+cos B+cos C的取值范围为( )A. B. C. D. 30,231,231,230,2分析 易用余弦定理把原式化成“边”的形式，又AB=AC，即b=c,B=
21、C,则可把cos A+cos B+cos C转化为以 为自变量的二次函数.ab解 由于AB=AC,所以b=c,B=C,由余弦定理得cosA+cosB+cosC= 由于b+ca,即2ba,所以0 2,于是1 .故选B.ab22222222113211,22222bcaacbaaabcacbbb 213122ab32举一反三举一反三学后反思 解决三角形中的有关问题时，主要通过正弦定理和余弦定理进行边角互化，但也要注意一些隐含条件的利用.例如，在三角形中，两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,大边对大角,最大内角的取值范围是 ,),最小内角的取值范围是(0, 等.333. 在ABC中，已知内角A=
22、 ，边BC= ,设内角B=x,周长为y.（1）求函数y=f(x)的解析式和定义域；（2）求y的最大值.32 3解析：(1)ABC的内角和A+B+C=,由A= ,B0,C0得0B .应用正弦定理知 .y=AB+BC+AC,y=4sin x+ (0 x ).3232sin4sinsin3BCABCxA2 3sinsin4sin ,sinsin3BCACBxxA24sin2 33x23(2)y=4(sin x+ cos x+ sin x)+ = ,当x+ = ,即x= 时，y取得最大值 .32122 354 3sin2 36666xx6236 3考点演练考点演练解析: 由AD=3DB，可知D为OB中
23、点.设圆的半径为R，则OD= ，CDAB，CD= .在直角三角形COD中， ，所以 .2R32R31sin,cos222221 cos1tan2sin3答案: 1310. (2009深圳模拟)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CDAB于点D，且AD=3DB，设COD=，则 = .2tan211. (2008上海)如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC，小区的两个出入口设置在点A及点C处.小区里有两条笔直的小路AD、DC,且拐弯处的转角为120.已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长(精确到1米).解析： 方法
24、一：设该扇形的半径为r米，由题意得CD=500(米)，DA=300(米)，CDO=60.在CDO中， ，即 解得r= 445(米).22022cos60CDODCD ODOC22215003002 5003002rrr 490011方法二：连接AC，作OHAC,交AC于H.由题意得CD=500(米),AD=300(米)，CDA=120,ACD中， AC=700(米)，cosCAD= .在RtHAO中，AH=350(米)，cosHAO= , 445(米).22202222cos12015003002 500 3007002ACCDADCD AD 22211214ACADCDAC AD1114AH
25、4 900OAcos HAO1112. (2009海南、宁夏)为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量.A、B、M、N在同一个铅垂平面内（如图）.飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离.请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤.解析： 方法一：需要测量的数据有：点A到点M，N的俯角 ;点B到M,N的俯角 ;A，B间的距离d（如图）.第一步：计算AM.由正弦定理得第二步：计算AN.由正弦定理得第三步：计算MN.由余弦定理,得 .11, 22,212dsin AMsin221dsin ANsin22112cosMNAMANAMAN方法二： 需要测量的数据有：点A到点M，N的俯角 ;点B到M，N的俯角 ;点A,B的距离d（如图所示）.第一步：计算BM.由正弦定理得第二步：计算BN.由正弦定理得第三步：计算MN.由余弦定理得11, 22,112dsin BMsin121dsin BNsin22222cosMNBMBNBMBN