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1、一、自然坐标系一、自然坐标系问题的提出：问题的提出： 在直角坐标系中，加速度公式无法看在直角坐标系中，加速度公式无法看出哪一部分是由出哪一部分是由速度大小变化速度大小变化产生的加速产生的加速度，哪一部分是由度，哪一部分是由速度方向变化速度方向变化产生的加产生的加速度，所以引入自然坐标系来描写。速度，所以引入自然坐标系来描写。1.自然坐标系自然坐标系 自然坐标系是建立在物体运动的轨自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的，有两个坐标轴，迹上的，有两个坐标轴，切向坐标切向坐标和和法法向坐标向坐标。2切向加速度、法向加速度切向加速度、法向加速度/一、自然坐标系一、自然坐标系讨论下列几种运动情况：讨论下列
2、几种运动情况：1.0 , 0naa匀速直线运动；匀速直线运动；2.0 , naCa匀变速直线运动；匀变速直线运动；3.Caan , 0匀速率圆周运动；匀速率圆周运动；4.0 , 0naa变速曲线运动；变速曲线运动；2切向加速度、法向加速度切向加速度、法向加速度/二、二、a 、an解：解：v例：手球运动员以初速度例：手球运动员以初速度v0与水平方向成与水平方向成0 角抛出一球，如图所示。当球到达角抛出一球，如图所示。当球到达M点处，点处，与水平线夹角为与水平线夹角为，求，求(1)球在球在M点速度的大点速度的大小；小；(2)球在球在M点处的切向加速度和法向加速点处的切向加速度和法向加速度大小；度大
3、小；(3)M点处的曲率半径。点处的曲率半径。vgana想一想：何处曲想一想：何处曲率半径最大？何率半径最大？何处最小？处最小？二二. 圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述oxy A：tB：t+ t 设质点在设质点在oxy平面内绕平面内绕o点、沿半径为点、沿半径为R的轨道作圆的轨道作圆周运动，如图。以周运动，如图。以ox轴为参轴为参考方向，则质点的考方向，则质点的角位置为角位置为 角位移为角位移为 规定反时针为正规定反时针为正平均角速度为平均角速度为t角速度为角速度为tt0limtdd角加速度角加速度为为22ddddtt为何不用为何不用矢量？矢量？角角 速速 度度 的的 单位：单位： 弧度弧度/
4、秒秒(rad s-1) ；角加速度的单位：角加速度的单位： 弧度弧度/平方秒平方秒(rad s-2) 。讨论：讨论： (1) 角加速度角加速度 对运动的影响：对运动的影响： 等于零，质点作匀速圆周运动；等于零，质点作匀速圆周运动； 不等于零但为常数，质点作匀变速圆周不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动；运动； 随时间变化，质点作一般的圆周运动。随时间变化，质点作一般的圆周运动。)(22/02022000ttt (2) 质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度、质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度、角位移与角加速度的关系式为角位移与角加速度的关系式为)(22/02022000 xxavvattvx
5、xatvv与匀变速直线运动的几个关系式与匀变速直线运动的几个关系式比较知：比较知：两者数学形式完全相同两者数学形式完全相同,说明用角量描述说明用角量描述,可把可把平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题。ROx三、三、 线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系 圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。 + 0 0+t+ tBtA 图示图示 一质点作圆周运动：一质点作圆周运动：在在 t 时间内，质点的角位时间内，质
6、点的角位移为移为 ，则，则A、B间的有向间的有向线段与弧将满足下面的关系线段与弧将满足下面的关系ABABtt00limlim两边同除以两边同除以 t，得到速度与角速度之间的关系：，得到速度与角速度之间的关系：Rv 将上式两端对时间求导，得到切向加速度与将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速度之间的关系：角加速度之间的关系：Rat将速度与角速度的关系代入法向加速度的定将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，得到法向加速度与角速度之间的关系：义式，得到法向加速度与角速度之间的关系：Rvan22R法向加速度也叫向心加速度。法向加速度也叫向心加速度。例题例题 计算地球自转时地面上各点的速度和
7、加速度。计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。解：解：地球自转周期地球自转周期T=24 60 60 s，角速度大小为：，角速度大小为：T26060242151027. 7s 如图，地面上纬度为如图，地面上纬度为 的的P点，在与赤道平行的点，在与赤道平行的平面内作圆周运动平面内作圆周运动,其轨道其轨道的半径为的半径为cosRr R 赤道赤道rp rvcosRcos1073. 61027. 765)/(cos1065. 42smran2cos2Rcos1073. 6)1027. 7(625P点速度的大小为点速度的大小为P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为点只有运动平面上的向心加速度，其大小为
8、方向：与过方向：与过P点运动平面上半径为点运动平面上半径为R的圆相切。的圆相切。)/(cos1037. 322smP点加速度的方向在运动平面上由点加速度的方向在运动平面上由P指向地轴。指向地轴。 例如例如:已知北京、上海和广州三地的纬度分别已知北京、上海和广州三地的纬度分别是北纬是北纬39 57 、31 12 和和 23 00 ，则，则三地的三地的v 和和 an分别为：分别为：北京：北京：),/(356smv )/(1058. 222sman上海：上海：),/(398smv )/(1089. 222sman广州：广州：),/(428smv )/(1010. 322smanRo 在在t 时刻，质
9、点运动到位时刻，质点运动到位置置 s 处。处。s s解解：先作图如右，先作图如右，t = 0 时，时，质点位于质点位于s = 0 的的p点处。点处。nP （1） t 时刻质点的总加速度的大小；时刻质点的总加速度的大小； （2） t 为何值时，总加速度的大小为为何值时，总加速度的大小为b ； （3）当总加速度大小为）当总加速度大小为b 时，质点沿圆周运行时，质点沿圆周运行了多少圈。了多少圈。例题例题 一质点沿半径为一质点沿半径为R的圆周按规律的圆周按规律 运动，运动，v0、b都是正的常量。求：都是正的常量。求：2/20bttvsnaa22naaa （2）令）令a = b ，即，即bRbRbtva220)()(Ros （1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:tvddRv222ddtsbRbtv20)(RbRbtv220)()(n（3）当当a = b 时，时，t = v0/b ，由此可求得质点历经，由此可求得质点历经 的弧长为的弧长为 /220bttvs它与圆周长之比即为圈数：它与圆周长之比即为圈数：Rsn2Rosbvt/0bv /220Rbv420n得得