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1、精品名师归纳总结第四章 圆与方程 学问点与习题 1、圆的定义： 平面内到肯定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。设 Mx,y为 A 上任意一点，就圆的集合可以写作：P = M | |MA| = r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2、圆的方程21标准方程xa2ybr2，圆心a, b，半径为 r。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00点 M x , y 与圆 xa 2 yb 2r 2 的位置关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 xa2 yb2 r 2 ，点在圆外 ;当 xa
2、2 yb 2 = r 2 ，点在圆上0000当 xa2 yb2 r 2 ，点在圆内 ;00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22一般方程x2y 2DxEyF0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x+D/22+y+E/22=D2+E2-4F/4 DE4 F0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22当 DE4F222当 DE 24F当 DE4F0 时，方程表示圆，此时圆心为0 时，表示一个点。0 时，方程不表示任何图形。D ,E22，半径为 r1 D 22E 24F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。
3、确定一个圆需要三个独立条件，假设利用圆的标准方程， 需求出 a， b， r。假设利用一般方程，需要求出D， E， F。直接法： 直接依据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系：22直线与圆的位置关系有相离，相切，相交 三种情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1设直线l : AxByC0 ，圆 C : xaybr2 ，圆心 C a, b到 l 的距离为 dAaBbC，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就有 drl与C相离 。 drl 与C相切 。 drl与C相交A2B
4、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 过圆外一点的切线 ：设点斜式方程，用 圆心到该直线距离 =半径 ，求解 k，假设求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可。假设求得两个相同的解，带入切线方程， 得到一条切线。 接下来验证过该点的斜率不存在的直线此时，该直线肯定为另一条切线3过 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 ： 圆 x-a2+y-b 2=r2 ， 圆 上 一 点 为 x0 ， y0 ， 就 过 此 点 的 切 线 方 程 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 0-ax-a+y-by-b= r20两圆的位置关系判定条件公切线条数可编辑资料 - - -
5、欢迎下载精品名师归纳总结外离1+ 24 条外切1+ 23 条相交| 1- 2| 1+ 22 条内切 | 1- 2|1 条可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结内含 | 1- 2|0 条2222 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和差 ，与圆心距 d之间的大小比较来确定。2222设圆 C1 : xa1yb1r， C:xayb2R两圆的位置关系常通过两圆半径的和差的肯定值，与圆心距 d之间的大小比较来确定。即几何法留意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上。已知两圆相切，两圆心与切点共线 5、.圆 C1： x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0圆 C2： x 2+y 2+D 2x+E
6、2 y+F 2=0联立圆 C1 的方程与圆 C2 的方程得到一个二元一次方程 假设两圆相交，就该二元一次方程表示：圆C1 与圆 C2 公共弦所在的直线方程。 假设两圆相切，就该二元一次方程表示：圆C1 与圆 C2 的公切线的方程。 假设两圆外离，就该二元一次方程表示的直线具有一个性质：从直线上任意一点向两个圆引切线， 得到的 切线长相等 反之，亦成立 6、已知始终线与圆相交，求弦的长度代数法：联立圆与直线的方程求出交点坐标 ，利用 两点间的距离公式 求弦长几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形勾股定理 7、已知两圆相交，求公共弦的长度代数法：联立两圆的方程求出交点坐标 。利用 两点间的距离
7、公式 求弦长几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形勾股定理 8、圆系与圆系方程(1) 圆系:具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。(2) 圆系方程：圆 C1： x2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0圆 C2： x2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0圆系方程： x 2+y2+D 1x+E1 y+F 1+ x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0假设圆 C1 与圆 C2 交于 P1、P2 点，那么，方程代表过P1、 P2 两点的圆的方程。假设圆 C1 与圆 C2 交于 P 点一个点，就方程代表过P 点的圆的方程。 9、直线与圆的方程的应用用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”：
8、第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题。其次步：通过代数运算，解决代数问题。第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 10、空间直角坐标系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、点 M 对应着唯独确定的有序实数组 x,y, z ， x 、 y 、 z 分别是 P、Q、R 在 x 、 y 、 z 轴上的坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、有序实数组x,y, z，对应着空间直角坐标系中的一点可编辑资料 - - -
9、欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组 x, y, z 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结M x, y, z ， x 叫做点 M 的横坐标， y 叫做点 M 的纵坐标， z 叫做点 M 的竖坐标。 11、空间两点间的距离公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、空间中任意一点P1 x1 , y1, z1 到点P2 x2 , y2, z2 之间的距离公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名
10、师归纳总结P P12 x1x 22 y1y 222z1z 2一、挑选题 本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分在每题给出的四个选项中，只有哪一项符合题目要求的 1已知两圆的方程是A 相离C外切x2 y2 1 和 x2y26x 8y9 0，那么这两个圆的位置关系是B 相交D 内切解析： 将圆 x2 y2 6x8y 9 0，化为标准方程得 x3 2 y 42 16. 两圆的圆心距0 3 2 0 4 2 5，又 r 1 r 2 5， 两圆外切答案： C2过点 2,1的直线中，被圆A 3x y 5 0C x 3y 50x2 y2 2x4y 0 截得的最长弦所在的直线方程为B 3x y 7 0
11、 D x 3y 1 0解析： 依题意知，所求直线通过圆心1， 2，由直线的两点式方程得y2 x 1，即 3x y 50.答案： A1 22 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 假设直线 1 ax y 1 0 与圆 x2 y2 2x 0 相切，就 a 的值为 A 1， 1B 2， 2C 1D 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 圆 x2 y2 2x 0 的圆心 C1,0，半径为 1，依题意得 |1 a0 1|1，即|a 2|a 1 21，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平方整理得 a 1.答案： D4. 经过圆 x2 y2 10 上一点
12、M 2， 6的切线方程是 A x 6y 10 0B.6x 2y10 0C x 6y 10 0D 2x 6y 10 02 ，解析： 点 M 2， 6在圆 x2 y2 10 上， kOM 61 a 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结， 过点 M 的切线的斜率为 k 63故切线方程为 y 6 6x 2，3即 2x 6y10 0.答案： D5. 点 M 3， 3,1关于 xOz 平面的对称点是 A 3,3， 1B 3， 3， 1C 3， 3， 1D 3,3,1解析： 点 M3， 3,1关于 xOz 平面的对称点是 3,3,1 答案： D6. 假设点 A 是点 B1,2,3关于 x 轴
13、对称的点， 点 C 是点 D2， 2,5关于 y 轴对称的点， 就|AC| A 5B.13C 10D.10解析： 依题意得点 A1， 2， 3， C 2， 2， 5 |AC| 21 2 2 2 2 5 3 2 13.答案： B7. 假设直线y kx1 与圆 x2 y2 1 相交于 P、Q 两点，且 POQ 120其中 O 为坐标原点 ，就 k的值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.3B.2C.3或 3D.2和2解析： 由题意知，圆心 O0,0到直线 y kx 1的距离为 1，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 1， k 3.1k22答案： C可编辑资料 -
14、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结8与圆 O1： x2 y2 4x 4y 7 0 和圆 O2： x2 y2 4x 10y 13 0 都相切的直线条数是 A 4B 3C 2D 1解析： 两圆的方程配方得， O1： x 22 y 22 1， O2： x 22 y 52 16，圆心 O1 2,2， O22,5，半径 r 1 1， r2 4， |O1O2|2 2 2 5 2 2 5， r1 r2 5. |O1O2| r1 r2， 两圆外切，故有 3 条公切线 答案： B9直线 l 将圆 x2 y2 2x 4y0 平分，且与直线 x 2y 0 垂直，就直线l 的方程是 A 2x y 0B 2x y 2
15、0C x 2y 30D x 2y 3 0解析： 依题意知，直线 l 过圆心 1,2 ，斜率 k2， l 的方程为 y 2 2x1，即 2x y 0.答案： A10圆 x2y2 4m 2x2my4m2 4m 10 的圆心在直线 x y 4 0 上，那么圆的面积为 A 9 B C 2 D由 m 的值而定解析： x2 y2 4m2 x 2my 4m24m 1 0， x 2m 1 2 ym2 m2. 圆心 2m 1， m，半径 r |m|.依题意知 2m 1 m 40， m 1. 圆的面积 S 12 .答案： B11. 当点 P 在圆 x2 y2 1 上变动时，它与定点Q3,0 的连结线段 PQ 的中
16、点的轨迹方程是 A x 32y 24B x3 2 y2 1C 2 x 32 4y2 1D 2x 324y2 1解析： 设 Px1， y1， Q3,0，设线段 PQ 中点 M 的坐标为 x， y，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，就 x x1 32y1y 2 ， x1 2x 3， y1 2y.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又点 Px1， y1在圆 x2y21 上， 2x 32 4y2 1.故线段 PQ 中点的轨迹方程为2 x 324y2 1.答案： C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12. 曲线 y 14 x2与直线 y kx 2 4 有两个交点
17、，就实数k 的取值范畴是 A 0， 5 B 5 ， 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1C ，31212，353D 4124可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 如下图，曲线 y 1 4 x2变形为 x2 y 12 4y 1， 直线 yk x2 4 过定点 2,4， 当直线 l 与半圆相切时，有| 2k 4 1|5k2 1 2，解得 k 12.当直线 l 过点 2,1时， k 34因此， k 的取值范畴是 5 0.故方程表示圆心为 k， 2k5，半径为5|k1|的圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设圆心的坐标为 x，y ，就消去 k，得 2x y5 0.x k， y 2k 5，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 这些圆的圆心都在直线2x y 50 上2证明： 将原方程变形为2x 4y 10kx2 y2 10y 20 0， 上式对于任意k 1 恒成立，2x 4y 100，x2 y2 10y 20 0.x 1，解得y 3. 曲线 C 过定点 1， 3 3 圆 C 与 x 轴相切， 圆心 k， 2k 5到 x 轴的距离等于半径，即| 2k5| 5|k 1|.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两边平方，得 2k 52 5k 12， k 535.可编辑资料 - - - 欢迎下载