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1、大学微积分入门大学微积分入门ppt课件课件abxyo? A曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.一、问题的提出)(xfy 怎怎样样的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积积分分区区间间,ba也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎怎样样的的取取法法，和和S总趋于总趋于确确定定的的极极限限I，在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积分上限积分上限积分下限积分下
2、限积分和积分和注意：注意：（1） 积积分分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关， badxxf)( badttf)( baduuf)(（3 3）当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分存存在在时时，而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关.称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积. 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理1 1定理定理2 2 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上有有界界，称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积. .且且 只只 有有 有有 限限 个个 第第 一一 类类 的的间间 断断 点点 ， 则则)
3、(xf在在三、存在定理区间区间,ba上可积上可积. ., 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 四、定积分的几何意义几何意义：几何意义：积取负号积取负号轴下方的面轴下方的面在在轴上方的面积取正号；轴上方的面积取正号；在在数和数和之间的各部分面积的代之间的各部分面积的代直线直线的图形及两条的图形及两条轴、函数轴、函数它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)( 例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.102dxx 解解将将1 , 0n等分，分
4、点为等分，分点为nixi ，(ni, 2 , 1 )小小区区间间,1iixx 的的长长度度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn0 xn dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 五、定积分 的性质证证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()(
5、badxxf)( badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1 babadxxfkdxxkf)()( (k为为常常数数).证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性质性质2 2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba,例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdx
6、xf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则假假设设bca 性质性质3 3dxba 1dxba ab .则则0)( dxxfba. . )(ba 证证, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf性质性质4 4性质性质5 5如果在区间如果在区间,ba上上0)( xf，例例 1 1 比比较较积积分分值值dxex 20和和dxx 20的的大大小小.解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf,
7、0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 可以直接作出答案可以直接作出答案性质性质5 5的推论：的推论：证证),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于于是是 dxxfba )( dxxgba )(.则则dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 证证, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dxxfb
8、a )(.说明：说明： 可积性是显然的可积性是显然的.|)(xf|在在区区间间,ba上上的的性质性质5 5的推论：的推论：（2）设设M及及m分分别别是是函函数数证证,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）则则 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性质性质6 6曲边梯形的面积曲边梯形的面积 夹在两个矩形之间夹在两个矩形之间解解,sin)(xxxf 22cossincos (tan )( )0 xxx
9、x xxfxxx2,4x)(xf在在2,4 上上单单调调下下降降,例例2 不计算定积分不计算定积分 估计估计 的大小的大小dxxx 24sin2424222(),(),42,2442sin22,441sin2.22Mfmfbaxdxxxdxx如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，证证Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性质性质7 7（Th5.1 Th5.1 定积分第一
10、中值定理）定积分第一中值定理）积分中值公式积分中值公式使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在在区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab )( f使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积等等于于同同一一底底边边而而高高为为)( f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。Th5.2(Th5.2(推广的积分第一中值定理）推广的积分第一中值定理） 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续，并并且且设设x为为,ba上上的
11、的一一点点， xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(记记.)()( xadttfx积分上限函数积分上限函数 如如果果上上限限x在在区区间间,ba上上任任意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函数数，六、积分上限函数及其导数abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有导导数数，且且它它的的导导数数是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa xx 证证dttfxxxxa )(
12、)()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x.)()( xadttfx dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由积分中值定理得由积分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x计算下列导数计算下列导数xtxtxtdtetdxddtedxddtedxdcos1211222)3()2() 1 ( 如如果果)(tf连连续续，)(xa、)(xb可可导导，则则dttfxFxbxa )()()()(的的导导数数)(xF 为为补充补充 )()()()(xaxa
13、fxbxbf 证证 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttfdxdxF例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理） 如如果果)(xf在在,
14、ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一个个原原函函数数. .定理的重要意义：定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系间的联系.定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）如如果果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数, 已已
15、知知)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数，CxxF )()(,bax 证证七 牛顿莱布尼茨公式令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明： baxF)( 一个连续函数在区间一个连续函数在区间,ba上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间,ba上的增量上的增量.注意注意当当ba 时，时，)()()(aFbFdxx
16、fba 仍成立仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.例例4 4 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例5 5 设设 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上规规定定当当1 x时时，5)( xf, 102152dxxdx原原式式. 6 xyo12例例6 6 求求 .,max222 dxxx解解由图形可知由图形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.2
17、11 xyo2xy xy 122 , )()(, ,)(xfxFbaCxf且设则有1. 微积分基本公式xxfbad)(积分中值定理)(abF)()(aFbF微分中值定理)(abf牛顿 莱布尼茨公式定理定理 假假设设（1 1）)(xf在在,ba上上连连续续；（3 3）当）当t在区间在区间, 上变化时，上变化时，)(tx 的值的值在在,ba上变化，且上变化，且a )( 、b )( ， 则则 有有dtttfdxxfba )()()(. .八、换元公式证证设设)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数，),()()(aFbFdxxfba ),()(tFt dtdxdxdFt )()()(txf ),
18、()(ttf ),()()()( dtttf)(t 是是)()(ttf 的的一一个个原原函函数数.a )( 、b )( ,)()( )()( FF ),()(aFbF )()()(aFbFdxxfba )()( .)()(dtttf 注注意意 当当 时时，换换元元公公式式仍仍成成立立.应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）（2）250cossin.xxdx例例1 1 计算计算.ln43eexxdx例例2 2 计算计算例例1 1 计算计算.sincos205 xdxx222550060cossincos( cos )cos11(0).666xxdxxdxx 解凑微分是第一类换元积分法，
19、特点是不要明显地换元，也就不要更换积分的上下限。例例2 2 计算计算解解原式原式)2143(2ln2lnlnln434343eeeeeexxxdxxdx.ln43eexxdx例例3 3 计算计算解解23xdx三角代换和根式代换例例4 4 计算计算解解12122.11dxxx令令,sintx 1x,2 t21x6 t,costdtdx 原式原式22222666coscotsincossin(cotcot)(03)326tdtdttttt 明显换元证证,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中令中令tx , 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)
20、(xf为偶函数，则为偶函数，则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf为奇函数，则为奇函数，则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 在在 0)(adxxf中令中令tx ,奇函数奇函数例例6 6 计算计算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积总结：总结： 1、定积分公式、定积分公式2、定积分计
21、算方法（直接代入，凑微分，、定积分计算方法（直接代入，凑微分，根式代换，三角代换）根式代换，三角代换）3、根式和三角代换为明显的代换，所以换、根式和三角代换为明显的代换，所以换元要换上下限元要换上下限4、 介绍了积分上限函数介绍了积分上限函数5、积分上限函数是原函数、积分上限函数是原函数6、计算上限函数的导数、计算上限函数的导数例例 7 7 若若)(xf在在1 , 0上连续，证明上连续，证明 （1） 2200)(cos)(sindxxfdxxf; （2） 00)(sin2)(sindxxfdxxxf. 由此计算由此计算 02cos1sindxxxx. 证证（1）设）设tx 2,dtdx 0 x
22、,2 t2 x, 0 t 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxftx 2（2）tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft 由此计算由此计算 00)(sin2)(sindxxfdxxxf 02cos1sindxxxx设设 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)
23、arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf 设函数设函数)(xu、)(xv在区间在区间 ba,上具有连续上具有连续导数，则有导数，则有 bababavduuvudv. .定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv九、分部积分公式例例 计算计算解解.ln1exdx例例2 2 计算计算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx62
24、1 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 则则例例3 3 计算计算解解dxxex10例例4 4 计算计算dxxx10cos例例5 5 计算计算解解edxxx12ln定定义义 1 1 设设函函数数)(xf在在区区间间), a上上连连续续，取取ab ，如如果果极极限限 babdxxf)(lim存存在在，则则称称此此极极限限为为函函数数)(xf在在无无穷穷区区间间), a上上的的广广义义积积分分，记记作作 adxxf)(. . adxxf)( babdxxf)(lim当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分
25、分发发散散. .第四节 广义积分一、无穷限的广义积分类似地，设函数类似地，设函数)(xf在区间在区间,(b 上连续，取上连续，取ba ，如果极限，如果极限 baadxxf)(lim存在，则称此极存在，则称此极限为函数限为函数)(xf在无穷区间在无穷区间,(b 上的广义积上的广义积分，记作分，记作 bdxxf)(. . bdxxf)( baadxxf)(lim当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. . 设设函函数数)(xf在在区区间间),( 上上连连续续, ,如如果果广广义义积积分分 0)(dxxf和和 0)(dxxf
26、都都收收敛敛，则则称称上上述述两两广广义义积积分分之之和和为为函函数数)(xf在在无无穷穷区区间间),( 上上的的广广义义积积分分，记记作作 dxxf)(. . dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim极极限限存存在在称称广广义义积积分分收收敛敛；否否则则称称广广义义积积分分发发散散. .例例1 1 计算广义积分计算广义积分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx211sinxdx21cosx100cos2cos1coslimxx)()(lim)()()()(aFxFaFFxFdxxfxaa简记为例例1 1 计算广义积分计算
27、广义积分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 证证, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因此当因此当1 p时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为11 p；当当1 p时广义积分发散时广义积分发散.回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题 badxxfA)(第五节、定积分应用曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续
28、曲曲 线线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy 1、几何上的应用面积ab xyo)(xfy iinixfA )(lim10 badxxf)(.)( badxxfxdxx dA面积元素面积元素一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲则xxfAd)(dxxfAbad)(边梯形面积为 A ,Oxbay)(xfy xxdxyb xa)(2xfy )(1xfy OxxxdxxfxfAbad)()(21xxfxfAd)()(d21右图所示图形，面积元素
29、为xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(12xxxx x xxfxfAbad)()(21ybxa)(2xfy )(1xfy Ocxxfxfcad )()(21xxxdxxfxfbcd )()(12yyyAdcd)()(Oxy)(yx)(yxdcyyydxxfxfAd| )()(|d21有时也会选 y 为积分变量yyyAd| )()(|d例例 1 1 计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解（1）作图）作图（2）求出两
30、曲线的交点）求出两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(（3） 选选 为积分变量为积分变量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx （4）代公式）代公式 badxxfxfA)()(12解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4, 2 ydyyydA 242.1842 dAAxy22 4 xy解题步骤：解题步骤：(2) 求出交点；(3) 选择合适的积分变量，确定积分区间，计算。(1) 画出草图；ab例例3. 求椭圆12222byax解解: 利用对称性 , xyAdd所围图形的面积 . 有axy
31、A0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当 a = b 时得圆面积公式xxxdxyO aaxxb02d14二、立体体积二、立体体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), ,)(baxA在则对应于小区间d,xxx的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(xabxxxd)(xA上连续,1. 已知平行截面面积函数的立体体积已知平行截面面积函数的立体体积例例1. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,并与底面交成 角,222Ryx解解: 如图所示取坐标系,
32、则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .ORxyx)(22xR )tan(22xR ORx),(yxyR思考思考: 可否选择 y 作积分变量 ?此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积 ?)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22)(22yRx)tan(y 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立
33、体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台旋转体的体积Oxy)(yx当考虑连续曲线段2)(xf轴旋转一周围成的立体体积时, 有轴绕xbxaxfy)()(xdbaV当考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddcVycdxyabxyabO)(xfy x2. 旋转体的体积旋转体的体积一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax xdxx xyo旋转体的体积为
34、旋转体的体积为dxxfVba2)( )(xfy 类似地，如果旋转体是由连续曲线类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx 、直线、直线cy 、dy 及及y轴所围轴所围成的曲边梯形绕成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，轴旋转一周而成的立体，体积为体积为xyo)(yx cddyy2)( dcVab)(xfy )(xgy )()(22xgxfxdbaV0)()(xgxf)()(22yyyddcV0)()(xyx)(yx)(yxcdayxb例例1. 计算由椭圆12222byax所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解解: 利用直角坐标方程)(22axaxaaby则xxaabad)(220222(利用对称性)3222312xxaab0a234abOaV02xy d2x例例. 132xy与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.(1994 考研)解解: 利用对称性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋转体体积为V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd) 1(2202215448在第一象限 xxd)4(322122x12yBCAO3求曲线解解2xy 2yx 12220()() )xVxxdx