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1、*-2013年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）复数的模长为（）ABCD22（5分）已知集合A=x|0log4x1，B=x|x2，则AB=（）A（0，1）B（0，2C（1，2）D（1，23（5分）已知点A（1，3），B（4，1），则与向量同方向的单位向量为（）ABCD4（5分）下列关于公差d0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an+3nd是递增数列；其中真命题是（）Ap1，p2Bp3，p4Cp2，p3Dp1，p4
2、5（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为20，40），40，60），60，80），80，100）若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A45B50C55D606（5分）在ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，casinBcosC+csinBcosA=b，且ab，则B=（）ABCD7（5分）使得（3x+）n（nN+）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A4B5C6D78（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）ABCD9（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若OAB为直角三角形，则必有（）Ab=
3、a3BCD10（5分）已知三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，则球O的半径为（）ABCD11（5分）已知函数f（x）=x22（a+2）x+a2，g（x）=x2+2（a2）xa2+8设H1（x）=maxf（x），g（x），H2（x）=minf（x），g（x），（maxp，q）表示p，q中的较大值，minp，q表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则AB=（）A16B16C16a22a16D16a2+2a1612（5分）设函数f（x）满足x2f（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x0时，f（x）（）
4、A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 14（5分）已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1，a3是方程x25x+4=0的两个根，则S6= 15（5分）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cosABF=，则C的离心率e= 16（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数
5、据互不相同，则样本数据中的最大值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）设向量，（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值18（12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点（）求证：平面PAC平面PBC；（）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角CPBA的余弦值19（12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答（）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立用X表示张同学答对题的个数，求
6、X的分布列和数学期望20（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=2py（p0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1时，切线MA的斜率为（）求P的值；（）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）21（12分）已知函数f（x）=（1+x）e2x，g（x）=ax+1+2xcosx，当x0，1时，（I）求证：；（II）若f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22（10分）选修41：几何证明选讲如图，AB为
7、O直径，直线CD与O相切与E，AD垂直于CD于D，BC垂直于CD于C，EF垂直于F，连接AE，BE证明：（I）FEB=CEB；（II）EF2=ADBC23在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系圆C1，直线C2的极坐标方程分别为=4sin，cos（）=2（）求C1与C2交点的极坐标；（）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（tR为参数），求a，b的值24已知函数f（x）=|xa|，其中a1（1）当a=2时，求不等式f（x）4|x4|的解集；（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）2f（x）|2的解集x|1x2，求a的值2013年辽宁省高考数
8、学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）复数的模长为（）ABCD2【解答】解：复数，所以=故选B2（5分）已知集合A=x|0log4x1，B=x|x2，则AB=（）A（0，1）B（0，2C（1，2）D（1，2【解答】解：由A中的不等式变形得：log41log4xlog44，解得：1x4，即A=（1，4），B=（，2，AB=（1，2故选D3（5分）已知点A（1，3），B（4，1），则与向量同方向的单位向量为（）ABCD【解答】解：已知点A（1，3），B（4，1），=（4，1）（1，3）=（3
9、，4），|=5，则与向量同方向的单位向量为 =，故选A4（5分）下列关于公差d0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an+3nd是递增数列；其中真命题是（）Ap1，p2Bp3，p4Cp2，p3Dp1，p4【解答】解：对于公差d0的等差数列an，an+1an=d0，命题p1：数列an是递增数列成立，是真命题对于数列nan，第n+1项与第n项的差等于 （n+1）an+1nan=（n+1）d+an，不一定是正实数，故p2不正确，是假命题对于数列，第n+1项与第n项的差等于 =，不一定是正实数，故p3不正确，是假命题对于数列a
10、n+3nd，第n+1项与第n项的差等于 an+1+3（n+1）dan3nd=4d0，故命题p4：数列an+3nd是递增数列成立，是真命题故选D5（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为20，40），40，60），60，80），80，100）若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A45B50C55D60【解答】解：成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）20=0.3，又低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50故选
11、：B6（5分）在ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，casinBcosC+csinBcosA=b，且ab，则B=（）ABCD【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，sinB0，sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，ab，AB，即B为锐角，则B=故选A7（5分）使得（3x+）n（nN+）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A4B5C6D7【解答】解：设（nN+）的展开式的通项为Tr+1，则：Tr+1=3nrxnr=3nr，令nr=0得：n=r，又nN+，当r=2时，n最小，即nmin=5故选B8（
12、5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）ABCD【解答】解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，判断210成立，执行，i=2+2=4；判断410成立，执行=，i=4+2=6；判断610成立，执行，i=6+2=8；判断810成立，执行，i=8+2=10；判断1010成立，执行，i=10+2=12；判断1210不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为故选A9（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若OAB为直角三角形，则必有（）Ab=a3BCD【解答】解：=（a，a3b），=（a，a3），且ab0若，则=ba3=0，a=0或b=
13、0，但是ab0，应舍去；若，则=b（a3b）=0，b0，b=a30；若，则=a2+a3（a3b）=0，得1+a4ab=0，即综上可知：OAB为直角三角形，则必有故选C10（5分）已知三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，则球O的半径为（）ABCD【解答】解：因为三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=，所以球的半径为：故选C11（5分）
14、已知函数f（x）=x22（a+2）x+a2，g（x）=x2+2（a2）xa2+8设H1（x）=maxf（x），g（x），H2（x）=minf（x），g（x），（maxp，q）表示p，q中的较大值，minp，q表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则AB=（）A16B16C16a22a16D16a2+2a16【解答】解：令h（x）=f（x）g（x）=x22（a+2）x+a2x2+2（a2）xa2+8=2x24ax+2a28=2（xa）28由2（xa）28=0，解得x=a2，此时f（x）=g（x）；由h（x）0，解得xa+2，或xa2，此时f（x）g（x）；由h
15、（x）0，解得a2xa+2，此时f（x）g（x）综上可知：（1）当xa2时，则H1（x）=maxf（x），g（x）=f（x）=x（a+2）24a4，H2（x）=minf（x），g（x）=g（x）=x（a2）24a+12，（2）当a2xa+2时，H1（x）=maxf（x），g（x）=g（x），H2（x）=minf（x），g（x）=f（x）；（3）当xa+2时，则H1（x）=maxf（x），g（x）=f（x），H2（x）=minf（x），g（x）=g（x），故A=g（a+2）=（a+2）（a2）24a+12=4a4，B=g（a2）=4a+12，AB=4a4（4a+12）=16故选：B12（5分）设
16、函数f（x）满足x2f（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x0时，f（x）（）A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值【解答】解：函数f（x）满足，令F（x）=x2f（x），则F（x）=，F（2）=4f（2）=由，得f（x）=，令（x）=ex2F（x），则（x）=ex2F（x）=（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，（x）的最小值为（2）=e22F（2）=0（x）0又x0，f（x）0f（x）在（0，+）单调递增f（x）既无极大值也无极小值故选D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的
17、体积是1616【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒，四棱柱的底面是边长为2的正方形，高也为4故其体积为：224224=1616，故答案为：161614（5分）已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1，a3是方程x25x+4=0的两个根，则S6=63【解答】解：解方程x25x+4=0，得x1=1，x2=4因为数列an是递增数列，且a1，a3是方程x25x+4=0的两个根，所以a1=1，a3=4设等比数列an的公比为q，则，所以q=2则故答案为6315（5分）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF
18、，若|AB|=10，|AF|=6，cosABF=，则C的离心率e=【解答】解：设椭圆的右焦点为F，连接AF、BFAB与FF互相平分，四边形AFBF为平行四边形，可得|AF|=|BF|=6ABF中，|AB|=10，|AF|=6，cosABF=，由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|22|AB|BF|cosABF，可得62=102+|BF|2210|BF|，解之得|BF|=8由此可得，2a=|BF|+|BF|=14，得a=7ABF中，|AF|2+|BF|2=100=|AB|2AFB=90，可得|OF|=|AB|=5，即c=5因此，椭圆C的离心率e=故答案为：16（5分）为了考察某校各班参加课外
19、小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为10【解答】解：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，平均数=（x1+x2+x3+x4+x5）5=7；方差s2=（x17）2+（x27）2+（x37）2+（x47）2+（x57）25=4从而有x1+x2+x3+x4+x5=35，（x17）2+（x27）2+（x37）2+（x47）2+（x57）2=20若样本数据中的最大值为11，不妨设x5=11，则式变为：（x17）2+（x27）2+（x37）2+（x47）2=4，由于样本数据互不相同，这
20、是不可能成立的；若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知式均成立，此时样本数据中的最大值为 10故答案为：10三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）设向量，（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值【解答】解：（1）由题意可得 =+sin2x=4sin2x，=cos2x+sin2x=1，由，可得 4sin2x=1，即sin2x=x0，sinx=，即x=（2）函数=（sinx，sinx）（cosx，sinx）=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin（2x）+ x0，2x，当2x=，sin（2x）+取得最大值为1+=18（12分）如图，AB是圆
21、的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点（）求证：平面PAC平面PBC；（）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角CPBA的余弦值【解答】（）证明：如图，由AB是圆的直径，得ACBC由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC又PAAC=A，PA平面APC，AC平面PAC，所以BC平面PAC因为BC平面PBC，所以平面PAC平面PBC；（）解：过C作CMAB于M，因为PA平面ABC，CM平面ABC，所以PACM，故CM平面PAB过M作MNPB于N，连接NC由三垂线定理得CNPB所以CNM为二面角CPBA的平面角在RtABC中，由AB=2，AC=1，得，在RtABP中，由AB=2，AP=
22、1，得因为RtBNMRtBAP，所以故MN=又在RtCNM中，故cos所以二面角CPBA的余弦值为19（12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答（）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望【解答】解：（I）设事件A=“张同学至少取到1道乙类题”则=张同学至少取到的全为甲类题P（A）=1P（）=1=（II）X的所有可能取值为0，1，2，3P （X=0）=P（X=1）=P（X=2）=+=P（X=3）
23、=X的分布列为 X0123P EX=20（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=2py（p0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1时，切线MA的斜率为（）求P的值；（）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）【解答】解：（）因为抛物线C1：x2=4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y=，且切线MA的斜率为，所以设A点坐标为（x，y），得，解得x=1，y=，点A的坐标为（1，），故切线MA的方程为y=（x+1）+因为点M（1，y0）在切线MA及抛物线C2上，于是y0=（2）+
24、=y0=解得p=2（）设N（x，y），A（x1，），B（x2，），x1x2，由N为线段AB中点知x=，y=切线MA，MB的方程为y=（xx1）+，；y=（xx2）+，由得MA，MB的交点M（x0，y0）的坐标满足x0=，y0=因为点M（x0，y0）在C2上，即x02=4y0，所以x1x2=由得x2=y，x0当x1=x2时，A，B丙点重合于原点O，A，B中点N为O，坐标满足x2=y因此中点N的轨迹方程为x2=y21（12分）已知函数f（x）=（1+x）e2x，g（x）=ax+1+2xcosx，当x0，1时，（I）求证：；（II）若f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围【解答】（I）证明：当x
25、0，1）时，（1+x）e2x1x（1+x）ex（1x）ex，令h（x）=（1+x）ex（1x）ex，则h（x）=x（exex）当x0，1）时，h（x）0，h（x）在0，1）上是增函数，h（x）h（0）=0，即f（x）1x当x0，1）时，ex1+x，令u（x）=ex1x，则u（x）=ex1当x0，1）时，u（x）0，u（x）在0，1）单调递增，u（x）u（0）=0，f（x）综上可知：（II）解：设G（x）=f（x）g（x）=令H（x）=，则H（x）=x2sinx，令K（x）=x2sinx，则K（x）=12cosx当x0，1）时，K（x）0，可得H（x）是0，1）上的减函数，H（x）H（0）=0，
26、故H（x）在0，1）单调递减，H（x）H（0）=2a+1+H（x）a+3当a3时，f（x）g（x）在0，1）上恒成立下面证明当a3时，f（x）g（x）在0，1）上不恒成立f（x）g（x）=x令v（x）=，则v（x）=当x0，1）时，v（x）0，故v（x）在0，1）上是减函数，v（x）（a+1+2cos1，a+3当a3时，a+30存在x0（0，1），使得v（x0）0，此时，f（x0）g（x0）即f（x）g（x）在0，1）不恒成立综上实数a的取值范围是（，3请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22（10分）选修41：几何证明选讲如图，AB为O直径，直线CD与O
27、相切与E，AD垂直于CD于D，BC垂直于CD于C，EF垂直于F，连接AE，BE证明：（I）FEB=CEB；（II）EF2=ADBC【解答】证明：（1）直线CD与O相切于E，CEB=EABAB为O的直径，AEB=90EAB+EBA=90EFAB，FEB+EBF=90FEB=EABCEB=EAB（2）BCCD，ECB=90=EFB，又CEB=FEB，EB公用CEBFEBCB=FB同理可得ADEAFE，AD=AF在RtAEB中，EFAB，EF2=AFFBEF2=ADCB23在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系圆C1，直线C2的极坐标方程分别为=4sin，cos（）=2（）求C1
28、与C2交点的极坐标；（）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（tR为参数），求a，b的值【解答】解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为 x2+（y2）2=4，x+y4=0，解得或，C1与C2交点的极坐标为（4，）（2，）（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ的直角坐标方程为xy+2=0，由参数方程可得y=x+1，解得a=1，b=224已知函数f（x）=|xa|，其中a1（1）当a=2时，求不等式f（x）4|x4|的解集；（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）2f（x）|2的解集x|1x2，求a的值【解答】解：（1）当a=2时，f（x）4|x4|可化为|x2|+|x4|4，当x2时，得2x+64，解得x1；当2x4时，得24，无解；当x4时，得2x64，解得x5；故不等式的解集为x|x5或x1（2）设h（x）=f（2x+a）2f（x），则h（x）= 由|h（x）|2得，又已知关于x的不等式|f（2x+a）2f（x）|2的解集x|1x2，所以，故a=3