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1、题目： C参赛队员：队员1王建明 队员2程建良 队员3杨李指导教师： 教 练 组单位： 江西机电职业技术学院2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将
2、受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 江西机电职业技术学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 王建明 2. 程建良 3. 杨 李 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 王广明 日期： 2013 年 9 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛
3、区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：古塔变形问题摘要本文主要分析了古塔因为受自重、气温、风力、地震、飓风的影响产生倾斜、弯曲、扭曲等变形的问题。问题一通过将每层的点近似在一个平面上，Z坐标取各层高度的平均值，采用中心点到各点的距离总和最小分别求得各年各层中心点的坐标。各年各层中心点坐标见附录1.问题二塔的倾斜度通过三维拟合各层的中心点坐标，通过画出散点图，发现1986年与1996年第13层数据异常，我们去除那两点考虑，通过空间三维拟合得到一条直线，然后将直线投影到平面
4、上，直线与在平面上的投影的夹角就是古塔的倾斜角。通过MATLAB解得1986年倾斜角为；1996年倾斜角为；2009年倾斜角为；2011年倾斜角为。 问题二塔的弯曲程度通过各层各中心点的连线的和与塔顶到塔底两中心点的距离的比值来分析，用Lingo解得1986年弯曲度=1.003431；1996年弯曲度=1.003436；2009弯曲度=1.000023；2011年弯曲度=1.000023；问题二塔的扭曲程度根据古塔各年份之间每层边缘点的扭转情况，来分析整个塔的扭转情况。通过计算1986年第一层和1996年第一层与2009年第一层和2011第一层与1986年第一层和2011年第十三层各边缘点扭转
5、角的平均值均为0；可以发现古塔没有发生扭转。.问题三分析塔的变形趋势，塔的倾斜程度通过拟合四年的倾斜角度得出方程式，可知随着年数的增加，倾斜速率越来越快。塔的弯曲情况通过拟合四年的弯曲度得出方程式,可知古塔的弯曲会随着时间的推移而越来越弯曲。塔的扭曲变形趋势的分析通过问题二中对塔的扭曲问题的求解，发现古塔没有发生扭转，因此不考虑。关键词 MATLAB7.0 Lingo8.0 三维拟合 非线性拟合一 、问题重述由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护
6、措施。某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题：1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。3. 分析该塔的变形趋势。二、 问题分析古塔由于受自重、气温、风力.、地震、飓风等影响，古塔会产生诸如倾斜、弯曲、扭曲等变形，为了保护文物，需对古塔倾斜、弯曲、扭曲等进行分析，此题研究的是古塔的倾斜、弯曲、扭曲变形情况的问题。对于问题1，我们通过分析数据，发现古塔各层测
7、得数据高度相差很小，所以我们把每一层测得的数据近似为一个平面，中心点高度Z为各层所测高度的平均值。每层通过用中心坐标到各点的坐标总距离最小求得中心点（X，Y）坐标。对于问题2，塔的倾斜情况我们通过求出各年各层的中心点坐标，每一年的倾斜角我们通过空间拟合出各层中心点的坐标得到。特别说明，通过线性拟合发现1986、1996第13层的中心点坐标异常，所以空间拟合时我们去除1986、1996年第13层的坐标进行拟合，同时计算出倾斜角。对于问题2，塔的弯曲情况我们通过各中心点连线的和与塔顶到塔底两中心点的距离的比值来分析，比值越大，弯曲越明显。对于问题2，塔的扭曲情况，根据古塔各年份之间每层边缘点的扭转
8、情况，来分析整个塔的扭转情况。对于问题3，塔的变形趋势，我们对塔四年的倾斜程度、弯曲度作非线性拟合，通过拟合成函数，预测塔未来的倾斜、弯曲情况。对于塔的扭曲情况通过问题2的求解，发现古塔没有发生扭转，所以我们不考虑古塔的扭转趋势。三、 模型假设1、 假设每年每层测得的数据没有错误。2、 假设各层测得的数据在同一平面内。3、 假设各层测的的点的连线为多边形。4、假设古塔在各年份之间每层所测的点在同一平面内。（该假设针对塔的扭转程度的分析）5、假设中心点到各边缘点之间的总和最短。四、符号说明古塔各层的中心点轴坐标古塔各层的中心点轴坐标古塔各层的中心点轴坐标古塔各层所测点的轴坐标古塔各层所测点的轴坐
9、标古塔各层所测点的轴坐标古塔的层数倾斜角度弯曲程度系数边缘点扭转角的平均值五、模型的建立. 对于问题1： 设古塔中心坐标为 ，古塔各层各点坐标为（）,且有层。各层中心坐标求解如下：在1986年和1996年；当=112时： (=112)当=13时： （=13） 当=14时： （=14）. 在2009年和2011年；当=113时： （=1.13）当=14时： (=14) 对于问题2的塔的倾斜问题，我们对各层的中心点坐标通过三维空间拟合成直线，然后将直线投影在平面上，直线与平面上的投影的夹角就是它的倾斜角。分析如下：空间拟合直线与平面的夹角设为，为直线在平面上的投影，因为点在平面上，；因为为点的垂直
10、投影，所以；= = 对于问题2的塔的弯曲问题，设各层坐标为， =114；引入一个弯曲程度变量 （i=113）越大，说明弯曲越明显。对于问题2的塔的扭曲问题，我们先建立直线夹角模型如下： 根据给定的节点示意图如上，已知，,计算直线和的夹角信息。根据向量内积，得到计算结果公式为：在现实生活中，斜塔发生弯曲时，可能会发生扭曲变形，于是我们建立了如下模型。假设：在古塔同一层中，所取点在同一平面内，该平面为平面，第一个年份测量的中心点坐标为，第二年份测量的中心点坐标为；第一年份测量的边缘点坐标为，第二年份测量的边缘点坐标为，并且每一层边缘点有个，且所以计算两直线和夹角,先把直线平移到直线，计算模型如下：
11、引入变量： 得出点坐标为；当已知点 的坐标，根据向量内积得出两直线夹角为：计算出每一层个边缘点扭转角的平均值。然后分别计算出各年份之间每一层扭转角的平均值来确定古塔是否发生扭转。对于问题3古塔的变形趋势：首先分析一下倾斜的变化趋势根据计算出四年的倾斜角来进行非线性拟合，来分析塔的变形趋势， 1986年倾斜角=89.2484 ，1996年倾斜角=89.23812009年倾斜角=89.1520， 2011年倾斜角=89.1499所以我们以每年的年份与第一年份的差为自变量，倾斜角为应变量，得出以下表格：年份 1986 1996 2009 2011 89.2484 89.2381 89.1520 89
12、.1499 0 10 23 25拟合出方程：拟合图形如下：根据上面图像得知随着时间推移，倾斜程度越来越大且倾斜速度越来越快。对于古塔的弯曲变化趋势，我们同样通过拟合四年的弯曲度，（程序见附录5）得出方程式y=-0.0002x+1.004拟合图形如下：可知古塔弯曲随着时间的推移而越来越弯曲。问题3对于古塔的扭曲程度趋势，通过问题二扭曲情况的计算，发现古塔没有发生扭曲，所以我们不考虑扭曲变形趋势。六、模型的求解对于问题1，求古塔各层中心点坐标，利用各层中心点坐标到各层所测点的总距离最小，利用Lingo优化可求出各年各层中心点坐标(程序见附录2)；各年各层中心点坐标如下表：1986年1996年层中心
13、点坐标层中心点坐标x/my/mz/mx/my/mz/m1566.6644522.71191.7873751566.6646522.71161.7832566.7166522.66527.320252566.7175522.66437.3146253566.7682522.619712.755253566.7697522.618112.750754566.8094522.58317.078254566.8116522.580817.075125566.854522.543721.72055566.8568522.540821.7166566.8976522.504626.235136566.90
14、1522.501226.22957566.941522.489229.836877566.9448522.485329.832258566.9836522.474533.350888566.9879522.470133.345379567.0258522.459336.854879567.0306522.454336.8482510567.066522.445540.1721310567.0711522.440340.1676311567.1074522.407244.4408711567.1131522.401544.4353712567.1477522.368948.7118712567.
15、1537522.362848.7073713566.9919522.995552.8342913566.9981522.989352.83塔尖567.2511522.243855.12325塔尖567.2582522.236755.119752009年2011年层中心点坐标层中心点坐标x/my/mz/mx/my/mz/m1566.7088522.70251.76451566.7089522.70241.763252566.7489522.66657.3092566.7491522.66627.29053566.7884522.631312.732253566.7887522.631612.72
16、6874566.82522.60317.069754566.8204522.602617.0525566.854522.572821.709385566.8547522.572221.703886566.9384522.516926.2116566.9391522.516226.20457566.9692522.495329.824637566.97522.494529.8178567.0191522.462233.339888567.0199522.461333.336629567.0688522.428636.843759567.0697522.427736.8222510567.1255
17、22.376840.1611210567.1261522.375740.1441311567.1683522.339244.4326311567.1694522.338144.4248812567.2114522.301848.6997512567.2127522.300548.6838713567.2601522.258452.8183813567.2614522.256952.81312塔尖567.3359522.214755.091塔尖567.3374522.213455.087对于问题二塔的倾斜问题，我们利用MATLAB7.0对各年各层的中心点进行三维拟合并求出倾斜角，程序见附录319
18、86空间拟合直线图利用MTALAB7.0解得 1996年空间拟合直线图利用MTALAB7.0解得 2009年空间拟合直线图利用MTALAB7.0解得 2011年空间拟合直线图利用MTALAB7.0解得 对于问题二塔的弯曲问题，通过各中心点连线的和与塔顶到塔底两中心点的距离的比值来分析，比值越大，弯曲越明显。利用Lingo8.0解得古塔各年的弯曲度。程序见附录4.1986年得出弯曲度 =1.003431；1996年得出弯曲度 =1.003436；2009斜塔弯曲度 =1.000023；2011年斜塔弯曲度 =1.000023；对于问题二塔的扭曲问题，通过计算出每一层个边缘点扭转角的平均值。比较了
19、1986年第一层和1996年第一层和2011第一层与1986年第一层和2011年第十三层各边缘点扭转角的平均值均为0；可以发现古塔没有发生扭转。运算结果如下：结果为dd =3.4976e-006 +1.8925e-006i；所以得出斜塔第一层从1986年到1996没有发生扭转；结果为dd =0.0403 + 0.0612i所以得出斜塔第一层从2009年到2011没有发生扭转；结果为dd=81.5526 +52.4808i所以得出斜塔第一层从1986年到斜塔2011年第十三层没有发生扭转；所以整个斜塔没有发生扭转。（程序见附录7）七、模型评价 对于问题一、我们将各层所测的点近似在一个平面上，高度
20、Z坐标通过求各层高度的平均值得到。本文通过采用中心点坐标到各点的距离之和最小得出各年各层中心点坐标。为了方便计算，我们忽略了沉降的因素，但是此方法适用于各年各层中心点的求解，对于问题二、古塔的倾斜情况我们通过对各年各层的中心点进行空间三维拟合成直线，然后将直线投影到平面上，直线与平面上的投影的夹角即为倾斜角。此方法考虑到了三维空间，所求倾斜角的精度较高。古塔的弯曲情况我们通过各中心点连线的和与塔顶到塔底两中心点的距离的比值来分析，比值越大，弯曲越明显。此方法便于理解，而且计算不太复杂。八、参考文献1洪毅，林建良.数学模型.北京：高等教育出版社，2011.2胡良剑，孙晓君.MATLAB数学实验.
21、西安：高等教育出版社 ，2010.3谢金星，薛毅.优化建模与LINDO/LINGO软件.北京：清华大学出版社，2009.4韩中庚.数学建模方法及其应用.北京：高等教育出版社，2007.5万福永，潘建瑜. 数学实验教程.科学出版社，2006.九、附录附录1：1986年1996年层中心点坐标层中心点坐标x/my/mz/mx/my/mz/m1566.6644522.71191.7873751566.6646522.71161.7832566.7166522.66527.320252566.7175522.66437.3146253566.7682522.619712.755253566.769752
22、2.618112.750754566.8094522.58317.078254566.8116522.580817.075125566.854522.543721.72055566.8568522.540821.7166566.8976522.504626.235136566.901522.501226.22957566.941522.489229.836877566.9448522.485329.832258566.9836522.474533.350888566.9879522.470133.345379567.0258522.459336.854879567.0306522.454336
23、.8482510567.066522.445540.1721310567.0711522.440340.1676311567.1074522.407244.4408711567.1131522.401544.4353712567.1477522.368948.7118712567.1537522.362848.7073713566.9919522.995552.8342913566.9981522.989352.83塔尖567.2511522.243855.12325塔尖567.2582522.236755.119752009年2011年层中心点坐标层中心点坐标x/my/mz/mx/my/mz
24、/m1566.7088522.70251.76451566.7089522.70241.763252566.7489522.66657.3092566.7491522.66627.29053566.7884522.631312.732253566.7887522.631612.726874566.82522.60317.069754566.8204522.602617.0525566.854522.572821.709385566.8547522.572221.703886566.9384522.516926.2116566.9391522.516226.20457566.9692522.49
25、5329.824637566.97522.494529.8178567.0191522.462233.339888567.0199522.461333.336629567.0688522.428636.843759567.0697522.427736.8222510567.125522.376840.1611210567.1261522.375740.1441311567.1683522.339244.4326311567.1694522.338144.4248812567.2114522.301848.6997512567.2127522.300548.6838713567.2601522.
26、258452.8183813567.2614522.256952.81312塔尖567.3359522.214755.091塔尖567.3374522.213455.087附录2：各年各层中心点坐标程序（部分）2011年1层model:sets: point/1.8/:x,y,z;endsetsmin=sum(point(i):(x(i)-a)2+(y(i)-b)2)(1/2);c=sum(point(i):z(i)/8);data:x,y,z=561.4783521.41761.775563.9093518.08961.801567.9983517.40271.772571.3814519.
27、87061.755572.0143523.98061.764569.5163527.33861.723565.4063527.98861.758562.1114525.52261.758;enddataendLocal optimal solution found at iteration: 59 Objective value: 43.41496 Variable Value Reduced Cost A 566.7089 0.000000 B 522.7024 0.000000 C 1.763250 0.000000 X( 1) 561.4783 0.000000 X( 2) 563.90
28、93 0.000000 X( 3) 567.9983 0.000000 X( 4) 571.3814 0.000000 X( 5) 572.0143 0.000000 X( 6) 569.5163 0.000000 X( 7) 565.4063 0.000000 X( 8) 562.1114 0.000000 Y( 1) 521.4176 0.000000 Y( 2) 518.0896 0.000000 Y( 3) 517.4027 0.000000 Y( 4) 519.8706 0.000000 Y( 5) 523.9806 0.000000 Y( 6) 527.3386 0.000000
29、Y( 7) 527.9886 0.000000 Y( 8) 525.5226 0.000000 Z( 1) 1.775000 0.000000 Z( 2) 1.801000 0.000000 Z( 3) 1.772000 0.000000 Z( 4) 1.755000 0.000000 Z( 5) 1.764000 0.000000 Z( 6) 1.723000 0.000000 Z( 7) 1.758000 0.000000 Z( 8) 1.758000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 43.41496 -1.000000 2 0.000
30、000 0.0000002层model:sets: point/1.8/:x,y,z;endsetsmin=sum(point(i):(x(i)-a)2+(y(i)-b)2)(1/2);c=sum(point(i):z(i)/8);data:x,y,z=561.7465521.40717.308564.101518.21827.319568.0173517.55927.291571.2432519.95847.278571.8124523.90547.292569.4068527.15377.262565.4627527.77437.285562.3237525.37597.289;endda
31、taendLocal optimal solution found at iteration: 62 Objective value: 41.72902 Variable Value Reduced Cost A 566.7491 -0.8429990E-07 B 522.6662 -0.3015278E-07 C 7.290500 0.000000 X( 1) 561.7465 0.000000 X( 2) 564.1010 0.000000 X( 3) 568.0173 0.000000 X( 4) 571.2432 0.000000 X( 5) 571.8124 0.000000 X(
32、6) 569.4068 0.000000 X( 7) 565.4627 0.000000 X( 8) 562.3237 0.000000 Y( 1) 521.4071 0.000000 Y( 2) 518.2182 0.000000 Y( 3) 517.5592 0.000000 Y( 4) 519.9584 0.000000 Y( 5) 523.9054 0.000000 Y( 6) 527.1537 0.000000 Y( 7) 527.7743 0.000000 Y( 8) 525.3759 0.000000 Z( 1) 7.308000 0.000000 Z( 2) 7.319000 0.000000 Z( 3) 7.291000 0.000000 Z( 4) 7.278000 0.000000 Z( 5) 7.292000 0.000000 Z( 6) 7.262000 0.000000 Z( 7) 7.285000 0.000000