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1、-2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编：导数 一、选择题 （2013年高考课标卷（文）已知函数,下列结论中错误的是（）AR,B函数的图像是中心对称图形C若是的极小值点,则在区间上单调递减D若是的极值点,则【答案】C （2013年高考大纲卷（文）已知曲线（）ABCD【答案】D （2013年高考湖北卷（文）已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B （2013年高考福建卷（文）设函数的定义域为,是的极大值点,以下结论一定正确的是（）AB是的极小值点 C是的极小值点D是的极小值点【答案】D （2013年高考安徽（文）已知函数有两个极值点,若,则关于的方程的不同实根个数为（）
2、A3B4C5D6【答案】A （2013年高考浙江卷（文）已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f(x)的图像如右图所示,则该函数的图像是DCBA 【答案】B 二、填空题 （2013年高考广东卷（文）若曲线在点处的切线平行于轴,则_.【答案】 （2013年高考江西卷（文）若曲线(R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则=_.【答案】2 三、解答题 （2013年高考浙江卷（文）已知aR,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax()若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程;()若|a|1,求f(x)在闭区间0,|2a|上的最小值.【答案】解:()当时,
3、所以,所以在处的切线方程是:; ()因为 当时,时,递增,时,递减,所以当 时,且,时,递增,时,递减,所以最小值是; 当时,且,在时,时,递减,时,递增,所以最小值是; 综上所述:当时,函数最小值是;当时,函数最小值是; （2013年高考重庆卷（文）(本小题满分12分,()小问5分,()小问7分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为米,高为米,体积为立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000元(为圆周率).()将表示成的函数,并求该函数的定义域;zhangwlx(
4、)讨论函数的单调性,并确定和为何值时该蓄水池的体积最大.zhangwlx【答案】 （2013年高考陕西卷（文）已知函数. () 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; () 证明: 曲线y = f (x) 与曲线有唯一公共点. () 设ab, 比较与的大小, 并说明理由. 【答案】解:() f (x)的反函数,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=. .过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 () 证明曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点,过程如下. 因此, 所以,曲线y=f(x)与曲线只有唯一公共点(0,1).(证毕) () 设 令. ,且 . 所以 （2013年
5、高考大纲卷（文）已知函数(I)求;(II)若【答案】()当时, . 令,得,.当时,在是增函数; 当时,在是减函数; 当时,在是增函数; ()由得,. 当,时, , 所以在是增函数,于是当时,. 综上,a的取值范围是. （2013年高考辽宁卷（文）(I)证明:当 (II)若不等式取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.【答案】 （2013年高考四川卷（文）已知函数,其中是实数.设,为该函数图象上的两点,且.()指出函数的单调区间;()若函数的图象在点处的切线互相垂直,且,证明:;()若函
6、数的图象在点处的切线重合,求的取值范围.【答案】解:()函数的单调减区间为,单调增区间为, ()由导数的几何意义知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为, 故当点处的切线互相垂直时,有, 当x, , 所以存在,使得. 由于函数在区间和上均单调,所以当时曲线与直线有且只有两个不同交点. 综上可知,如果曲线与直线有且只有两个不同交点,那么的取值范围是. （2013年高考课标卷（文）(本小题满分共12分)已知函数,曲线在点处切线方程为.()求的值;()讨论的单调性,并求的极大值.【答案】 (II) 由(I)知, 令 从而当0. 故. 当. （2013年高考天津卷（文）设, 已知函数 () 证明在区
7、间(-1,1)内单调递减, 在区间(1, + )内单调递增; () 设曲线在点处的切线相互平行, 且 证明. 【答案】 （2013年高考福建卷（文）已知函数(,为自然对数的底数).(1)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;(2)求函数的极值;(3)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.【答案】解:()由,得. 又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得. (), 当时,为上的增函数,所以函数无极值. 当时,令,得,. ,;,. 所以在上单调递减,在上单调递增, 故在处取得极小值,且极小值为,无极大值. 综上,当时,函数无极小值; 当,在处取得极小值,无极大值. ()当时, 令, 则直线
8、:与曲线没有公共点, 等价于方程在上没有实数解. 假设,此时, 又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故. 又时,知方程在上没有实数解. 所以的最大值为. 解法二: ()()同解法一. ()当时,. 直线:与曲线没有公共点, 等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程: (*) 在上没有实数解. 当时,方程(*)可化为,在上没有实数解. 当时,方程(*)化为. 令,则有. 令,得, 当变化时,的变化情况如下表:当时,同时当趋于时,趋于, 从而的取值范围为. 所以当时,方程(*)无实数解, 解得的取值范围是. 综上,得的最大值为. （2013年
9、高考湖南（文）已知函数f(x)=.()求f(x)的单调区间;()证明:当f(x1)=f(x2)(x1x2)时,x1+x20时f(x) f(-x)即可. . . （2013年高考广东卷（文）设函数 .(1) 当时,求函数的单调区间;(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值,【答案】(1)当时 ,在上单调递增. (2)当时,其开口向上,对称轴 ,且过 -kk k(i)当,即时,在上单调递增, 从而当时, 取得最小值 , 当时, 取得最大值. (ii)当,即时,令 解得:,注意到, (注:可用韦达定理判断,从而;或者由对称结合图像判断) 的最小值, 的最大值 综上所述,当时,的最小值,最大值 解法2
10、(2)当时,对,都有,故 故,而 , 所以 , (1)解法3:因为,; 当时,即时,在上单调递增,此时无最小值和最大值; 当时,即时,令,解得或;令,解得或;令,解得; 因为, 作的最值表如下:极大值极小值则,; 因为 ; ,所以; 因为 ; ; 所以; 综上所述,所以,. （2013年高考山东卷（文）已知函数()设,求的单调区间() 设,且对于任意,.试比较与的大小【答案】 当时函数的单调递减区间是 （2013年高考湖北卷（文）设,已知函数.()当时,讨论函数的单调性;()当时,称为、关于的加权平均数.(i)判断, ,是否成等比数列,并证明;(ii)、的几何平均数记为G. 称为、的调和平均数,记为H. 若,求的取值范围. 【答案】()的定义域为, . 当时,函数在,上单调递增; 当时,函数在,上单调递减. ()(i)计算得,. 故, 即 . 所以成等比数列. 因,即. 由得. (ii)由(i)知,.故由,得 . 当时,. 这时,的取值范围为; 当时,从而,由在上单调递增与式, 得,即的取值范围为; 当时,从而,由在上单调递减与式, 得,即的取值范围为.