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1、*-2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）理 科 数 学第卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合A=1, 2, 3, 4, 5，B=(x,y)| xA, yA, x-yA，则B中所含元素的个数为（ ）A. 3B. 6C. 8D. 102.将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A. 12种B. 10种C. 9种D. 8种 3.下面是关于复数的四个命题中，真命题为（ ） P1: |z|=2，P2: z2=2i，
2、P3: z的共轭复数为1+i， P4: z的虚部为-1 .A. P2，P3B. P1，P2C. P2，P4D. P3，P44.设F1，F2是椭圆E: 的左右焦点，P为直线上的一点，是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（ ）A.B.C.D.5.已知an为等比数列，a4 + a7 = 2，a5 a6 = 8，则a1 + a10 =（ ）A. 7B. 5C. -5D. -76.如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N2）和实数a1， a2，aN，输入A、B，则（ ）A. A+B为a1， a2，aN的和B.为a1， a2，aN的算术平均数C. A和B分别是a1， a2，aN中最大的数和最小的数D.
3、 A和B分别是a1， a2，aN中最小的数和最大的数7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A. 6B. 9C. 12D. 188.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=，则C的实轴长为（ ）A.B. C. 4D. 89.已知，函数在单调递减，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 10.已知函数，则的图像大致为（ ）1y1yyyxyoy1y1yyyxyoy1y1yyyxyoy1y1yyyxyoyA.B.C.D.11.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1
4、的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）A.B. C. D. 12.设点P在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知向量，夹角为45，且，则 .14.设x，y满足约束条件，则的取值范围为 .15.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3元件1 元件2 元件3正常工作，则部件正常工作. 设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从
5、正态分布N(1000，502)，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .16. 数列满足，则的前60项和为 .三、解答题：（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题12分）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，.（）求A；（）若a=2，ABC的面积为，求b，c.18.（本小题12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.（）若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，nN）的函数解析式；（）花店记录了100天
6、玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频 数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；CBADC1A1B1（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.19. （本小题12分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱AA1的中点，DC1BD.（）证明：DC1BC；（）求二面角A1-BD-C1的大小.20.（本小题满分12分）设抛物线的焦点为F，准线为l，A为C上的一点，已知
7、以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.（）若BFD=90，ABD面积为，求p的值及圆F的方程；（）若A、B、F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n的距离的比值.21.（本小题12分）已知函数.（）求的解析式及单调区间；（）若，求的最大值.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.22. （本小题10分）【选修4-1：几何证明选讲】 如图，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交于ABC的外接圆于F，G两点，若CF / AB，证明：（）CD =
8、BC；（）BCDGBD.23.（本小题10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 已知曲线C1的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是 = 2. 正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.（）点A，B，C，D的直角坐标；（）设P为C1上任意一点，求|PA|2 + |PB|2 + |PC|2 + |PD|2的取值范围.24.（本小题10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数f (x) = |x + a| + |x-2|.（）当a =-3时，求不等式f (x) 3的解集；（）若f (x) | x-4 |的
9、解集包含1, 2，求a的取值范围.2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）理 科 数 学【参考答案】一、选择题：1【答案：D】解析：要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是x，小的是y，共种选法.2【答案：A】解析：只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共有种安排方案.3【答案：C】解析：经计算，复数的共轭复数为，的虚部为，综上可知P2，P4正确.4【答案：C】解析：由题意可得，是底角为30的等腰三角形可得，即， 所以.5【答案：D】解析：，或，成等比数列，.6【答案：C】解析：由程序框图判断xA得A应为a1，a2，aN中最大的数，由xB得B应为a1，a2，aN中最小的数.7【答
10、案：B】解析：由三视图可知，此几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形（俯视图），高为3的三棱锥，故其体积为.8【答案：C】解析：抛物线的准线方程是x=4，所以点A在上，将点A代入得，所以实轴长为.9【答案：A】解析：由得，.10【答案：B】解析：易知对恒成立，当且仅当时，取等号，故的值域是(-, 0). 所以其图像为B.11【答案：A】解析：易知点S到平面ABC的距离是点O到平面ABC的距离的2倍.显然O-ABC是棱长为1的正四面体，其高为，故，.12【答案：B】解析：因为与互为反函数，所以曲线与曲线关于直线y=x对称，故要求|PQ|的最小值转化为求与直线y=x平行且与曲线相切的直线间的距离，
11、设切点为A，则A点到直线y=x距离的最小值的2倍就是|PQ|的最小值. 则，即，故切点A的坐标为，因此，切点A点到直线y=x距离为，所以.二、填空题：13【答案：】解析：由已知得 ABCO，解得.14【答案：】解析：画出可行域，易知当直线经过点时，Z取最小值-3；当直线经过点时，Z取最大值3. 故的取值范围为.15【答案：】解析：由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为，所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.16【答案：1830】解析：由得，由得, 由得, .由得, ，所以.三、解答题：17解析：（）由及正弦定理可得 ， ，.（）， ，解得.18解析：（）当n16时，
12、y=16(10-5)=80，当n15时，y=5n-5(16-n)=10n-80，得.（）（）X可能取60，70，80. P(X=60)=0.1，P(X=70)=0.2，P(X=80)=0.7，X的分布列为：X607080P0.10.20.7X的数学期望E(X) =600.1+700.2+800.7=76，X的方差D(X) =(60-76)20.1+(70-76)20.2+(80-76)20.7=44.（）若花店计划一天购进17枝玫瑰花，X的分布列为X55657585P0.10.20.160.54X的数学期望E(X) =550.1+650.2+750.16+850.54=76.4，因为76.47
13、6，所以应购进17枝玫瑰花.CBADC1A1B119解析：（） 证明：设，直三棱柱， ，. 又，平面. 平面，.（）由 ()知，又已知，. 在中，. ，.法一：取的中点，则易证平面，连结，则，已知，平面，是二面角平面角. 在中，. 即二面角的大小为.法二：以点为坐标原点，为轴，为轴,为轴,建立空间直角坐标系.则. ，,设平面的法向量为，则，不妨令，得，故可取.同理,可求得平面的一个法向量. 设与的夹角为，则 , . 由图可知，二面角的大小为锐角，故二面角的大小为.20解析：（） 由对称性可知，为等腰直角三角形，斜边上的高为，斜边长. 点到准线的距离. 由得， ， . 圆的方程为.（） 由对称性
14、，不妨设点在第一象限，由已知得线段是圆的在直径，代入抛物线得.直线的斜率为.直线的方程为. 由 得,. 由得, .故直线与抛物线的切点坐标为，直线的方程为. 所以坐标原点到，的距离的比值为.21解析：（） ，令x=1得，f (x)=1，再由，令得. 所以的解析式为，易知是R上的增函数，且.所以，所以函数的增区间为，减区间为.（） 若恒成立，即 恒成立，.(1)当时，恒成立，为R上的增函数，且当时， ，不合题意；(2)当时，恒成立，则，；(3)当时，为增函数，由得，故，当时，取最小值. 依题意有，即，令，则， ，所以当时，取最大值. 故当时，取最大值. 综上，若，则 的最大值为.22解析：（） D，E分别为ABC边AB，AC的中点，DE/BC. CF/AB，DF/BC，CF/BD且CF=BD，又D为AB的中点，CF/AD且CF=AD，CD=AF. CF/AB，BC=AF，CD=BC.（）由（）知，BC/GF，GB=CF=BD，BGD=BDG=DBC=BDC，BCDGBD.23解析：（）依题意，点A，B，C，D的极坐标分别为.所以点A，B，C，D的直角坐标分别为、.（） 设，则 .所以的取值范围为.24解析：（） 当时，不等式或或或. 所以当时，不等式的解集为或.（）的解集包含，即对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，所以，即. 故的取值范围为.