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1、問題：以下哪些是多面體？哪些是正多面體呢？n的意義nn代表一個正多面體每個頂點上的邊數正六面體n=3正八面體n=4想想看：mF = ?nm代表一個正多面體每塊面上的邊數正六面體m=4正八面體m=3F=6F=8mF=24=2EE=12E=12mF=24=2E想想看：nV = ?nn代表一個正多面體每個頂點上的邊數正六面體n=3正八面體n=4V=8V=6nV=24 =2EE=12E=12nV=24=2En一般而言，對任意正多面體，有以下結果：nmF = 2E 及 nV = 2E一個幾何定理n定理：正多面體只有五種證明：正多面體只有五種n假設m代表一正多面體每塊面上的邊數n n代表它的每個頂點上的邊
2、數n考慮以下公式：mEFEmF22nEVEnV22(1)(2)n將(1)、(2)式代入歐拉公式，得：2222EmEnEEFV，得：左右兩邊同時除以 E2Emn12111Emnmnnm1222(3)nmmnmnnm220022由於4224nmmn)2)(2(4nm只可能是：及)2()2()2)(2(4nmnmm-2n-21112132131mn3334353345把不同的m, n值代回(1)、(2)、(3)，得：mnEF多面體名稱多面體名稱3364正四面體34128正八面體353020正二十面體43126正六面體533012正十二面體結論n正多面體只有以下五種：mEFmnnmmnE2222及43) 6 ( 26318) 3)(3 () 3 ( 2) 3 ( 2) 3)(3 ( 2, 3FEnm當mEFmnnmmnE2222及203)30( 230130) 5)(3 () 5 ( 2) 3 ( 2) 5)(3 ( 2, 5, 3FEnm當