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1、名师精编精品教案Chp.4频率特性分析基本要求1掌握频率特性的定义和代数表示法以及与传递函数、单位脉冲响应函数和微分方程之间的相互关系；掌握频率特性和频率响应的求法；掌握动刚度与动柔度的概念。2 掌握频率特性的Nyquist 图和 Bode图的组成原理，熟悉典型环节的Nyquist 图和 Bode图的特点及其绘制，掌握一般系统的Nyquist 图和 Bode 图的特点和绘制。3了解闭环频率特性与开环频率特性之间的关系。4掌握频域中性能指标的定义和求法；了解频域性能指标与系统性能的关系。5 解最小相位系统和非最小相位系统的概念。重点与难点本章重点1频率特性基本概念、代数表示法及其特点。2频率特性
2、的图示法的原理、典型环节的图示法及其特点和一般系统频率特性的两种图形的绘制。3 频域中的性能指标。本章难点1一般系统频率特性图的画法以及对图形的分析。2频域性能指标和时域性能指标之间的基本关系。1 概述一、频域法的特点：系统分析法：时域法、频域法仅数学语言表达不同：将t 转换为 ，不影响对系统本身物理过程的分析；时域法侧重于计算分析，频域法侧重于作图分析；工程上更喜欢频域法优点： a)系统无法用计算分析法建立传递函数时，可用频域法求出频率特性，进而导出其传递函数；b)验证原传递函数的正确性：计算法建立的传递函数，通过实验求出频率特性以验证；c)物理意义较直观。缺点：仅适用于线性定常系统工程上大
3、量使用频域法。二、基本概念：1、频率响应：定义：系统对正弦（或余弦）信号的稳态响应。输入： xi(t)=Xisint 输出：包括两部分：瞬态响应：非正弦函数，且t时，瞬态响应为零。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页名师精编精品教案稳态响应：与输入信号同频率的波形，仍为正弦波，但振幅和相位发生变化。fig4.1.1讨论： a)频率响应仅是时间响应的特例；b)频率响应反映系统的动态特性：输出随变化（非t）；c)为何选简谐信号为输入？原因：工程上绝大多数周期信号可用F 变换展开成叠加的离散谐波信号；非周期信号可用F 变换
4、展开成叠加的连续谐波信号。用正弦信号作输入合理。2、频率特性G(j ): （为幅频特性和相频特性的总称）定义：频域中，系统的输入量与输出量之比。讨论： G(j ) 是复数，可写成： G(j )=u( )+jv()= G(j ) ej ( )=A( )( )u( )：为 G(j ) 的实部实频特性；v( ) ：为 G(j ) 的虚部虚频特性。幅频特性 G(j ) ：输出量的振幅与输入量的振幅之比。G(j ) 反映输入在不同下，幅值衰减或增大的特性。G(j ) 是 G(j ) 模：相频特性 ( ) ：定义：输出量的相位与输入量的相位之差。( )= ()= t+ G()- ta)G() 反映频率特性
5、的幅角；b)符号： () 逆时针方向为正；系统 ( )一般为负。原因：系统输出一般滞后。结论：频率响应实际上可由频率特性描述，而频率特性可由幅频特性和相频特性表达。三、频率特性获取：1、L 逆变换：因为X0(s)=G(s)Xi(s)若 xi(t)=Xisint 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页名师精编精品教案（例）2、用 j替代 s：求出 G(s) 后，用 j替代 s 即可。（证明，例）3、实验方法：不能用计算方法建立系统数学模型时尤其适用。方法：改变输入信号频率，测出相应输出的幅值和相位画出 XO( )/ Xi
6、与曲线获幅频特性画出 ( ) 与曲线相频特性系统数学模型获取方法：p.89四、频率特性的特点：1、G(j ) 是 w(t) 的 F变换。因为 X0(s)=G(s)Xi(s) xi(t)= (t) Xi(s)=1 x0(t)=w(t)所以， X0(j )= G(j) 即 Fw(t)= G(j)结论：对系统频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。2、G(j ) 在频域内反映系统的动态特性。 G(j ) 是谐波输入下的时域中的稳态响应，而在频域中，系统随变化反映系统动态特性。3、频域分析比时域容易。a)分析系统结构及参数变化对系统的影响时更容易分析；b)易于稳定性分析；c)易于校正，使系统达
7、到预期目标；d)易于抑制噪声，用频率特性易于设计出合适的通频带，抑制噪声。2 频率特性的 Nyquist 图（极坐标图）频率特性分析常用图示法：极坐标图（Nyquist ），对数坐标图（Bode）一、极坐标图的绘制： Nyquist图：当 由 0时， G(j )（矢量） 的端点在 G(j ) 复平面上所形成的轨迹。矢量：即为频率特性G(j ) 对=1 在实轴上投影：G(j ) 实部， u()=u( 1) 在虚轴上投影：G(j ) 虚部， v( )=v( 1)G(j 1)= u( 1)+ jv(1)模相角Nyquist图既表示实频和虚频特性，也反映幅频和相频特性。绘制步骤：由G(j ) 列出 G
8、(j ) 和 G(j ) 表达式；角 G(j ) 走向：逆正顺负在 0 ， 取不同值，代入G(j ) 、 G(j ) ，获得相应值；在相应于 G(j )射线上，截取G(j ) 值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页名师精编精品教案将 G(j ) 线段的终点连接起来，即获得G(j ) 的极坐标图。二、典型环节的Nyquist图：1、 比例环节：G(s)=K频率特性： G(j )=K G(j ) =K u( )=KG(j )=00 v( )=0轨迹：一条与实轴重合的直线。结论：比例环节的幅、相频率特性与无关；输出量的振
9、幅永远是输入量振幅的K倍，且相位永远相同。2、 积分环节：G(s)=1/s频率特性： G(j )=1/j G(j ) =1/ u( )=0G(j )=-900 v( )=-1/ 变化： =0 G(j ) =G(j )=-900=G(j ) =0 G(j )=-900轨迹：一条与负虚轴重合的直线，由无穷远点指向原点，相位总是-900结论：低频（ 0）时，输出振幅很大，高频（）时输出振幅为0；输出相位总是滞后输入900。3、 微分环节 G(s)=s频率特性： G(j )=j G(j ) = u( )=0G(j )=900 v( )= 变化： =0 G(j ) =0 G(j )=900=G(j )
10、=G(j )=900轨迹：与正虚轴重合的直线，由原点无穷远点指向无穷远点，相位总是900结论：低频（ 0）时，输出振幅为0，高频（ ）时输出振幅很大；输出相位总是超前输入900。4、 惯性环节：G(j )=-arctgT变化： =0 G(j ) =k G(j )=00=1/T G(j ) =0.707k G(j )=-450=G(j ) =0 G(j )=-900轨迹：四象限内的一半圆。（图 4.2.1 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页名师精编精品教案结论：低频端（ 0）时，输出振幅等于输入振幅，输出相位紧跟输
11、入相位，即此时信号全部通过；随 ，输出振幅越来越小（衰减），相位越来越滞后；高频端（ ）时输出振幅衰减至0，即高频信号被完全滤掉（实际上是一个低通滤波器）5、 一阶微分环节：G(s)=Ts+1G(j )=j T+1 u( )=1 v( )= TG(j )=arctg T变化： =0 G(j ) =1 G(j )=00=1/T G(j ) =1.414k G(j )=450=G(j ) =G(j )=900轨迹：始于正实轴点（1，j0 ），且平行于虚轴，在第一象限内的一条直线。结论：高、低频信号都能全部通过，频率越高，增益越大，相位越超前。6、振荡环节：变化： =0 （ =0）G(j ) =1
12、G(j )=00= n（=1）G(j ) =1/2 G(j )=-900 =（ =） G(j ) =0 G(j)=-1800轨迹：在三、四象限内的曲线。起点（1，j0 ），终点（ 0， j0 ）( 图 4.2.6)讨论： 取值不同， Nyquist 图形状不同；（图 4.2.7 ）值越大，曲线范围越小。固有频率 n：曲线与虚轴之交点，此时幅值G(j ) =1/2 谐振频率 r：使 G(j ) 出现峰值的频率。r d: 欠阻尼下，谐振频率总小于有阻尼固有频率。7、延时环节： G(s)=e-s =|G|ej ( )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
13、- -第 5 页，共 11 页名师精编精品教案|G(j )|=1 G(j )=- ( 图 4.2.9)三、 Nyquist图的一般形式：传递函数：式中， k=b0/a0, 分母次数n，分子次数m ，1、 0 型系统（ v=0）:当=0 G(j ) =k G(j )=00 =G(j ) =0 G(j )=(m-n) 900在低端，轨迹始于正实轴，高端时，轨迹趋于原点（由哪个象限趋于原点？）2、型系统（v=1）：当=0 G(j ) =G(j )=-900 =G(j ) =0 G(j )=(m-n) 900低端，轨迹的渐近线与负虚轴平行，高端时，轨迹趋于原点3、型系统（v=2）：当=0 G(j )
14、=G(j )=-1800 =G(j ) =0 G(j )=(m-n) 900低端，轨迹的渐近线与负实轴平行，高端时，轨迹趋于原点可见，无论0、型系统，低端幅值都很大，高端都趋于0控制系统总是具有低通滤波的性能。四、例题：1、 已知系统的传递函数，试绘制其Nyquist图。 （图 4.3.1 ） 2 、已知系统的传递函数，试绘制其Nyquist图。 （图4.3.2 ）3、 已知系统的传递函数， 试绘制其Nyquist图。 （图 4.3.3 ）3 Bode 图（对数坐标图）将幅、相频率特性分开画：对数幅频特性，对数相频特性，统称Bode 图。一、坐标构成：1、 对数幅频特性图：横坐标：对数分度：l
15、g 1/ 2, 标示： lg 单位： rad/s 或 s-1纵坐标：线性分度，20lg| G |, 单位：分贝（dB）2、 对数相频特性图：纵坐标： G(j ) 的相位 G() ，单位：度精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页名师精编精品教案横坐标：同对数幅频特性图3、 优点：简化计算：将串联环节的幅值乘除法简化为对数域的加、减法。简化作图过程： 对环节的幅值Bode图，先用渐近线表示，再修正曲线，可获得较精确的幅值Bode图。叠加：叠加法将各环节幅值Bode 图进行累加，获得整个系统的Bode图。便于对系统的性能进行
16、观察和分析：横坐标用lg 1/ 2作分度，扩展了低频区，缩小了高频区。（系统主要性能表现在低频区）二、典型环节的Bode 图：1、 比例环节： G(j )=K |G(j)|=K 20lg|G(j)|=20lgK 对数幅频特性曲线：一条水平线，分贝数20lgK K 值大小使曲线上下移动。 G(j )=arctg(0/k)=0o与 0o线重合，与K值无关。 （图 4.4.2 ）2、 积分环节 20lg|G(j)|=-20lg线性关系=1 （lg =0） 20lg|G(j)|=0dB=10（lg =1） 20lg|G(j)|=-20dB曲线通过（ 1，0）、（ 10， -20）斜率 :-20dB/d
17、ec 令 y=20lg|G(j)| ，x= lg ，则 y=-20 x与无关过（ 0， 90o）平行于横轴的直线。若则 20lg|G(j)|= 20lgk-20lg相当于 y=b-20 x3、 微分环节 G(j )= j|G(j )|= 20lg|G(j)|= 20lg为一条斜率20dB/dec 的直线=1 （lg =0） 20lg|G(j)|=0dB 直线通过（ 1，0）与无关4、 惯性环节：幅频特性：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页名师精编精品教案讨论： a) 非线性，用渐近线表示。b) T（低频渐近线）：2
18、0lg|G(j )| 20lg T-20lg T=0一条与 0dB线完全重合的直线，止于（T，0）c)T（高频渐近线）：20lg|G(j)| 20lg T-20lg 截距 20lg T，斜率 -20dB/dec,始于（ T，0）d)转角频率 T：低频渐近线与高频渐近线的交点e)低通滤波特性：低频输出较精确反映输入。高频输出很快衰减。f)误差：渐近线与精确对数曲线的差值e()低频：高频：修正曲线：最大误差在 T处， e( T)=-3dB相频特性：=0 G()=0o=TG( )=-45o=G()=-90o曲线对称于点（T，-45o），低频段，输出与输入的相位相同，高频段，输出相位滞后于输入90o。
19、5、 振荡环节：讨论： a) 非线性，用渐近线表示。b) n( 0)（低频渐近线）：20lg|G(j )|=0为 0dB 渐近线，止于（n，0）c) n( 大大于 1) （高频渐近线）：20lg|G(j)| -40lg =-40lg +40lg n为一直线，斜率-40dB/dec, 始于（ n， 0）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页名师精编精品教案d) 转角频率 n：低频渐近线与高频渐近线的交点e) 低通滤波特性：低频输出较精确反映输入。高频输出很快衰减。f) 修正曲线： 01 时系统会振荡， 主要表现在 n附近
20、， 越小，振荡越大。 （图 4.4.10 ）g) 谐振频率 r：rn 越小 , r越接近 n谐振峰值：随变化 （图 4.4.11 ）在 Mr处误差最大，h) 截止频率 b：在幅频特性上，当幅值由零频值A(0) 下降到 0.707 A(0) 时所对应的频率。（图 4.6.1 ）带宽： 0b，带宽越宽，系统快速性越好。相频特性：=0 =0 G()=0o=n=1 G()=-90o=G()=-180o曲线对称于点（n，-90o），低频段，输出与输入的相位相同，高频段，输出相位滞后于输入180o。四、多环节Bode图绘制：复杂系统 Bode图可由各环节Bode图叠加。1、 关于对数幅频特性：找出各环节转
21、角频率T：积分和微分环节：T=1惯性和导前环节：T=1/T振荡环节： T=n用渐近线分别作出各环节的对数幅频特性图：积分和微分环节：在T作斜率 -20dB/dec （积分）或 +20dB/dec （微分）惯性、导前、振荡环节：在（T，0）左边作与0dB 重合直线，在 （ T， 0 ） 右 边 作 ，-20dB/dec （惯性）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页名师精编精品教案 +20dB/dec （导前） -40dB/dec（振荡）按误差修正曲线对各渐近线进行修正，得出各环节精确曲线；按T由小到大顺序，将各段曲线叠
22、加，获得整个系统对数幅频特性曲线；若系统有比例环节K，则将曲线上提升（K1）或下降低（K1 20lgKdB2、 关于对数相频特性：分别作各环节的对数相频特性曲线：积分：过 -90o水平线微分：过 +90o水平线惯性：在0-90o变化，对称于（T， -45o）导前：在090o变化，对称于（T，+45o）振荡：在0180o变化，对称于（T，-90o）将各环节对数相频特性曲线叠加，得系统的对数相频特性曲线；若系统有延时环节，则相频特性上须加上- 。3、 例题：化成标准形式：频率特性：（fig.4.4.15 ） 4 最小相位系统和非最小相位系统1、 最小相位传递函数：若系统 G(s)在s 复平面上右半
23、部既无极点又无零点，则 G(s)称为最小相位传递函数。例：二者的对数幅频特性相同，但对数相频特性不同。（图 4.7.2）讨论：最小相位系统相角变化范围最小；最小相位系统满足 时，相角为-90o(m-n)。非最小相位系统在高频时相角滞后大，启动迟缓，反映速度差。非最小相位系统产生原因：a)由系统中的非最小相位环节产生；b)由系统中不稳定的局部闭环产生；c)由非最小相位系统的延时环节产生。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页名师精编精品教案2、延时环节对系统的影响：G(s)=e s20lg| e s|s=j=20lg| e j |=0对系统的对数幅频特性无影响。将 G(s)=e s幂级数展开，会使系统G(s)传递函数的分子出现正根而变成非最小相位系统。e j =-=-57.3 （度），使系统相位滞后增大，对启动不利。2、 延时时间常数 的求取：对数幅频特性曲线在高频段的斜率，就是系统中延时环节的时间常数，即由高频段斜率确定。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页