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1、 第五章第五章 留数理论留数理论第第5.1节节 留数及其计算留数及其计算第第5.2节节 留数定理及其推广留数定理及其推广第第5.3节节 应用于积分计算应用于积分计算第第5.4节节 辐角原理和儒歇定理辐角原理和儒歇定理注解注解2、即f(z)在孤立奇点z0的留数等于其洛朗级数展式中 01zz 的系数。注解3、如果z0是f(z)的可去奇点，那么. 0),(Res0zf留数的求法方法一：前述方法二：设z0为f的一阶极点，则方法三： 其中P(z)及Q(z)在 解析，且 .),(Res10zf),()(lim),(Res000zfzzzfzz,)()()(zQzPzf0zz 0()0,P z00()0,(
2、)0Q zQ z).( / )( )()()()(lim )()(lim),(Res00000000zQzPzQzQzPzzzfzzzfzzzz留数的求法方法四：。设z0是f(z)的一个m阶极点(m1)。则在 z0附近有其中， 在 z0解析，且 ，则因此),()(1)(0zzzzfk)(z0)(0z ,)()(10nnnzzz00(1)(1)001101()( )Res( ,)lim(1)!(1)!()( )1lim.(1)!kkkzzkkkzzzzf zkkdzzf zkdz2.在无穷远点的留数在无穷远点的留数 设函数 f (z)在圆环域 R|z|内解析, C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭
3、曲线, 则积分Czzfid)(211Res ( ),( )d2Cf zf zzi 的值与C无关, 称其为f (z)在点的留数, 记作111Res ( ),( )d( )d22CCf zf zzf zzCii f (z)在圆环域 R|z|内解析： nnnf zc z 理解为圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线。C 这就是说, f (z)在点的留数等于它在点的去心邻域R|z|+内洛朗展开式中 z1 的系数变号.Res ( ),f z注：当 为可去奇点时，不一定为零.( )Laurenf zz在1+ 内展开为级数：2211111111111zzzzzzzz1),( sRe1Czf1Res ( ), 1f
4、 zC 1( ),1f zz例如为可去奇点。1( ),f zz再如为可去奇点,第5.2节 留数定理及其推广定理5.1（留数定理）设D是由复合闭路 所围的有界多连通域。设f(z)在D内除去有孤立奇点 外解析，并且连续到C，则：nzzz,.,21),(Res2)(1knkCzfidzzf这里沿C的积分按关于区域D的正向取的。01CCCmC留数定理的基本思想留数定理的证明 ：证明：以D内每一个孤立奇点zk为心，作圆Ck，使以它为边界的闭圆盘上每一点都在D内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点。从D中除去以这些Ck为边界的闭圆盘的一个区域G，其边界是C以及Ck，在G及其边界所组成的闭区域上，f(z
5、)解析。因此根据柯西定理，,)()(1nkCCkdzzfdzzf这里沿C的积分按关于区域D的正向取的，沿Ck的积分按反时针方向取的。根据留数的定义，得定理的结论成立。留数定理的证明 ：注解1、留数定理在两个从定义上看，完全不同，也不相干的概念之间架起一个桥梁，是非常重要的。注解2、具体计算一定要注意前面的系数.2 i. 0d)(21d)(21),(Res),(Res1CCnkkzzfizzfizzfzf定理定理5.2 如果 f (z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末 f (z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.证：除点外, 设f (z)的有限个奇点为zk(k=1,2,.,n).
6、且C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,.,n)包含在它内部的正向简单闭曲线, 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有注：定理5.2给出了扩充复平面内只有有限个孤立奇点时的关系，是一个方程，说明此类问题实际计算时可以转化求解；所以方法五 成立.例 5.94223415) 1()2(zdzzzz计算24446()2(0,3)()kiziek解：内有 个极点： 二阶 ，三阶5204 322112Res( ,)2Res ( )012Res02(12) (1)kkif zifz ziizzz ，发现在|z|4有五个孤立起点，故可以将问题转化为求无穷远点的留数2.推广的留数定理1 NjDt1,2,j
7、N若孤立起点在边界上时，可以将留数定理进行推广：设D是由复合闭路 所围成的有界多连通域， ，f(z)在D内解析，在 连续，在 有关于D的 阶极点（ ），则01nLLLL1,NttLjtjn1,2,jN1Re ( ,)NjjLjfs f t其中，L取关于D的正向， 是 处关于域D的张角jtj2.推广的留数定理定理5.3(路见可定理）设D是由复合闭路 所围成的有界多连通域， ，设函数 f(z)在 内解析,在 连续， f(z)在 分别有关于D的 阶极点j=1,2,N)，则01nLLLL11, ,mNzzD ttL1 ,mDzz11 ,; ,mNDzzttjtjn111Re ( ,)Re ( , )2mNkjLkjfs f zs f ti其中 为 处关于D的张度，L取关于D的正向，积分在每个 处在高阶奇异积分（重极点时）或柯西主值（单极点时）意义下理解。2jjjtjt24 结束语结束语