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1、第 1 页 共 7 页初中阶段因式分解的常用方法（例题详解）因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、 二“公”、 三“分”、 四“变”的步骤。 即首
2、先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法 . 因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：一、提公因式法 . 如多项式),(cbamcmbmam其中 m叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式二、运用公式法 . 运用公式法，即用)(,)(2),)(223322222babababababababababa写出结果三、分组分解法 . （一）分组后能直接
3、提公因式例 1、分解因式：bnbmanam分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式 =)()(bnbmanam=)()(nmbnma每组之间还有公因式！=)(banm思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。例 2、分解因式：bxbyayax5102解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式 =
4、)5()102(bxbyayax原式 =)510()2(byaybxax=)5()5(2yxbyxa=)2(5)2(baybax=)2)(5(bayx=)5)(2(yxba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页第 2 页 共 7 页练习：分解因式1、bcacaba22、1yxxy（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式：ayaxyx22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式 =)()(22ayaxyx=)()(yxayxyx=)(ayxyx例
5、 4、分解因式：2222cbaba解：原式 =222)2(cbaba=22)(cba=)(cbacba注意这两个例题的区别！练习：分解因式3、yyxx39224、yzzyx2222综合练习：（1）3223yxyyxx（2）baaxbxbxax22（3）181696222aayxyx（4）abbaba4912622（5）92234aaa（6）ybxbyaxa222244（7）222yyzxzxyx（8）122222abbbaa（9）)1)(1()2(mmyy（10）)2()(abbcaca（11）abcbaccabcba2)()()(222（12）abccba3333四、十字相乘法 . （一）二
6、次项系数为1 的二次三项式直接利用公式)()(2qxpxpqxqpx进行分解。特点： （1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。例 5、分解因式：652xx分析：将6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由 于6=2 3=(-2) (-3)=1 6=(-1) (-6) ， 从 中 可 以 发 现 只 有2 3 的 分 解 适 合 ， 即2+3=5 。1 2 解：652xx=32)32(2xx1 3 =)3)(2(xx12+13=5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页第
7、 3 页 共 7 页用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例 6、分解因式：672xx解：原式 =)6)(1()6()1(2xx1 -1 =)6)(1(xx1 -6 （-1） +（-6）= -7 练习 5、分解因式 (1)24142xx(2)36152aa(3)542xx练习 6、分解因式 (1)22xx(2)1522yy(3)24102xx（二）二次项系数不为1 的二次三项式cbxax2条件： （1）21aaa1a1c（2）21ccc2a2c（3）1221cacab1221cacab分解结果：cbxax2=)(2211cxacxa例 7、
8、分解因式：101132xx分析：1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11 解：101132xx=)53)(2(xx练习 7、分解因式： （1）6752xx（2）2732xx（3）317102xx（4）101162yy（三）二次项系数为1 的齐次多项式例 8、分解因式：221288baba分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：221288baba=)16(8)16(82bbabba=)16)(8(baba练习 8、分解因式 (1)2223yxyx(2)2286nmnm(3)226baba（四
9、）二次项系数不为1 的齐次多项式例 9、22672yxyx例 10、2322xyyx1 -2y 把xy看作一个整体1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式 =)32)(2(yxyx解：原式 =)2)(1(xyxy练习 9、分解因式： （1）224715yxyx（2）8622axxa综合练习10、 （1）17836xx（2）22151112yxyx（3）10)(3)(2yxyx（4）344)(2baba（5）222265xyxyx（6）2634422nmnmnm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
10、 - - - -第 3 页，共 7 页第 4 页 共 7 页（7）3424422yxyxyx（8）2222)(10)(23)(5bababa（9）10364422yyxxyx（10）2222)(2)(11)(12yxyxyx思考：分解因式：abcxcbaabcx)(2222五、主元法 . 例 11、分解因式：2910322yxyxyx5 -2 解法一：以x为主元2 -1 解：原式 =)2910()13(22yyyxx(-5)+(-4)= -9 =)12)(25()13(2yyyxx1 -(5y-2) =)12()25(yxyx1 (2y-1) =)12)(25(yxyx-(5y-2)+(2y-
11、1)= -(3y-1) 解法二：以y为主元1 -1 解：原式 =)2()93(1022xxxyy1 2 =)2()93(1022xxyxy-1+2=1 =)2)(1()93(102xxyxy2 (x-1) =)2(5)1(2xyxy5 -(x+2) =)25)(12(xyxy5(x-1)-2(x+2)=(3 x-9) 练习 11、分解因式 (1)56422yxyx(2)67222yxyxyx(3)613622yxyxyx(4)36355622bababa六、双十字相乘法。定义：双十字相乘法用于对FEyDxCyBxyAx22型多项式的分解因式。条件： （1）21aaA，21ccC，21ffF（2
12、）Bcaca1221，Efcfc1221，Dfafa1221即：1a1c1f2a2c2fBcaca1221，Efcfc1221，Dfafa1221则FEyDxCyBxyAx22)(222111fcxafycxa例 12、分解因式（ 1）2910322yxyxyx（2）613622yxyxyx解： （1）2910322yxyxyx应用双十字相乘法：xy52xy21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页第 5 页 共 7 页xyxyxy352，yyy945，xxx2原式 =)12)(25(yxyx（ 2）613622yxyx
13、yx应用双十字相乘法：xy23xy32xyxyxy23，yyy1394，xxx32原式 =)23)(32(yxyx练习 12、分解因式（ 1）67222yxyxyx（2）22227376zyzxzyxyx七、换元法。例 13、分解因式（ 1）2005)12005(200522xx（2）2)6)(3)(2)(1(xxxxx解： （1）设 2005=a，则原式 =axaax)1(22=)(1(axax=)2005)(12005(xx（2）型如eabcd的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式 =222)65)(67(xxxxx设Axx652，则xAxx2672原式 =2)2(xAxA=
14、222xAxA=2)(xA=22)66(xx练习 13、分解因式（ 1）)(4)(22222yxxyyxyx（2）90)384)(23(22xxxx（3）222222)3(4)5()1(aaa例 14、分解因式（ 1）262234xxxx观察：此多项式的特点是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称” 。这种多项式属于“等距离多项式” 。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式 =)1162(222xxxxx=6)1()1(2222xxxxx设txx1，则21222txx原式 =6)2222ttx （=10222ttx=2522ttx=215222x
15、xxxx=21522xxxxxx=1225222xxxx=)2)(12()1(2xxx（2）144234xxxx解：原式 =2221414xxxxx=1141222xxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页第 6 页 共 7 页设yxx1，则21222yxx原式 =3422yyx=312yyx=)31)(11(2xxxxx=13122xxxx练习 14、 （1）673676234xxxx（2）)(2122234xxxxx八、添项、拆项、配方法。例 15、分解因式（ 1）4323xx解法 1拆项。解法 2添项。原式
16、=33123xx原式 =444323xxxx=) 1)(1(3)1)(1(2xxxxx=)44()43(2xxxx=)331)(1(2xxxx=)1(4)4)(1(xxxx=)44)(1(2xxx=)44)(1(2xxx=2)2)(1(xx=2)2)(1(xx（ 2）3369xxx解：原式 =)1()1()1(369xxx=)1()1)(1()1)(1(333363xxxxxx=)111)(1(3363xxxx=)32)(1)(1(362xxxxx练习 15、分解因式（ 1）893xx（2）4224) 1()1() 1(xxx（3）1724xx（4）22412aaxxx（5）444)(yxyx
17、（ 6）444222222222cbacbcaba九、待定系数法。例 16、分解因式613622yxyxyx分析：原式的前 3 项226yxyx可以分为)2)(3(yxyx， 则原多项式必定可分为)2)(3(nyxmyx解：设613622yxyxyx=)2)(3(nyxmyx)2)(3(nyxmyx=mnymnxnmyxyx)23()(622613622yxyxyx=mnymnxnmyxyx)23()(622对比左右两边相同项的系数可得613231mnmnnm，解得32nm原式 =)32)(23(yxyx例 17、 （1）当m为何值时，多项式6522ymxyx能分解因式，并分解此多项式。（2）
18、如果823bxaxx有两个因式为1x和2x，求ba的值。（1）分析：前两项可以分解为)(yxyx，故此多项式分解的形式必为)(byxayx解：设6522ymxyx=)(byxayx则6522ymxyx=abyabxbayx)()(22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页第 7 页 共 7 页比较对应的系数可得：65ababmba，解得：132mba或132mba当1m时，原多项式可以分解；当1m时，原式 =)3)(2(yxyx；当1m时，原式 =)3)(2(yxyx（2）分析：823bxaxx是一个三次式， 所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如cx的一次二项式。解：设823bxaxx=)(2)(1(cxxx则823bxaxx=cxcxcx2)32()3(2382323ccbca，解得4147cba，ba=21 练习 17、 （1）分解因式2910322yxyxyx（2）分解因式6752322yxyxyx（3）已知：pyxyxyx1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式。4）k为何值时，253222yxkyxyx能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页