《(数学三)微积分性质公式定理汇总整编.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(数学三)微积分性质公式定理汇总整编.doc（38页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、*-微积分第一章 函数、连续、极限一、函数：1.函数的性态：有界性区间内连续函数必有界，反之不然。 同区间内导数有界则原函数有界。 区间内有最大值（或最小值），则函数在区间内有上界（下届）。 方法：定义、结合极限、连续与导数来确定。单调性单调函数一定有反函数且单调性相同。 单调函数的复合函数仍然是单调函数。 单调函数的原函数和导数不一定仍为单调函数。 方法：利用导数符号分析。周期性f(x+T)=f(x) 以T为周期的可导函数，其导数以T为周期，但原函数不一定为周期函数。 以T为周期的连续函数： aa+Tfxdx=0Tf(x)dx=-T/2T/2fxdx 0nTfxdx=n0Tf(x)dx 方法
2、：定义，利用常见函数判断（三角函数）。奇偶性前提：定义域关于原点对称。 奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇偶=奇，偶偶=偶奇数个奇函数之积为奇函数，偶数个奇函数之积是偶函数奇奇复合为奇，偶偶复合为偶，奇偶复合为偶。求导后变换奇偶性。f(x)为偶 f(x)为奇，f(x)为奇f(x)为偶。若f(x)定义域关于原点对称，则：f(x)=f(x)-f(-x)+ f(x)+f(-x) 式中前者为奇，后者为偶。方法：定义2.相关：反函数单调函数一定有反函数，反函数与直接函数单调性相同，图像关于y=x对称求定义域分式中分母不为0，根式中负数不能开偶次方根，对数中底数大于0不等于1，真数大于0，arcsinx与arcc
3、osx中-1x1tanx，secx中xk+ ，cosx与cscx中xk求表达式换元法，分段函数分段求。二、极限1.数列的极限：定义给定数列Xn及常数a，若对于任意给定的正数0，总存在正整数N，使得当nN时，有|Xna|恒成立，则称常数a为数列Xn的极限，或者称数列Xn收敛于a，极为limnXn=a。性质唯一性：数列收敛则极限唯一。有界性：收敛数列一定有界。 保号性：如果limnXn=a，且a0（或a0），那么存在正整数N，当nN时，都有Xn0（或Xn0）。如果limnXn=a，limnYn=b，且ab，那么存在正整数N，当nN时，都有XnYn。 如果数列收敛于a，那么此数列的任意子数列都收敛于
4、a。求法利用通向表达式转化为函数进行计算，若limxf(x)=A，则limnf(n)=A。 若数列通项是n项和或积时，可利用积分定义，设f(x)在a,b上连续，则： limnk=1nfa+b-ankb-an=abf(x)dx limn1nk=1nf(kn)=01f(x)dx2.函数的极限：定义性质唯一性：有极限则极限唯一。局部有界性：XX0时f(x)A，则f(x)在X0的某去心邻域内有界。局部保号性：XX0时f(x)A，A0（或A0），则在x0的某去心邻域内f(x0（或f(x)0）。反之亦然。 求法化简：无穷小量等量代换，分子分母同时除以最高次的项，根式有理化 洛必达法则 导数的定义 利用两个
5、重要极限变形 幂指函数极限 limf(x)g(x)： limf(x)g(x)=limegxlnf(x)=elimgxlnf(x) 变量代换：题设x时，设t=1x 往往可以简化计算 带皮亚诺余项的泰勒公式展开： ex=1+x22!+x33!+o(x3)； ln1+x=x-12x2+13x3+o(x3) sinx=x-13!x3+15!x5+o(x5)； cosx=1-12!x2+14!x4+o(x4) 11-x=1+x+x2+x3+o(x3)； (1+x)=1+x+(-1)2!x2+-1(-2)3!x3+o(x3) 利用左右极限求极限：分段函数：绝对值函数，取整函数x，最大最小，符号函数sgn(
6、x)，且求分段点的极限时，要从左右极限入手当极限式中包含limxarctanx，limxarccotx，limxax时，要从x-，x+入手含参变量的极限应考虑参变量的范围求已知极限中的待定参数，函数值，导数及函数等： limfxg(x)=A，limfx=limg(x)=0 limfxgx=A，limgx=0limf(x)=03.无穷小量与无穷大量性质limfx=Afx=A+(x)，其中(x)是此极限过程下的无穷小量。 有限个无穷小量的和、积均为无穷小量 无穷小量有界量仍为无穷小量。比较同一变化中，(x)0，则对于lim(x)(x) 若为0，则称(x)是x的高阶无穷小，记作(x)o(x) 若为，
7、则称(x)是x的低阶无穷小。 若为1，则等价。若为常数C，则同阶。若lim(x)(x)k=C，则则称(x)是x的k阶无穷小等价无穷小 ex-1x ax-axlna (1+x)m-1mx 1-cosx12x2 x-sinx16x3 x-ln(1+x)12x2 乘除因子项可直接替换等价无穷小，加减项不可。无穷大量当n时，按照趋向无穷的速度越来越大排列的函数：lnn，naa0，ana0，n!，nn4.极限的运算四则运算若limfx=A，limgx=B，则： limfxg(x)=AB & limfxg(x)=AB limfxgx=AB(B0) & limf(x)g(x)=AB(A0)若limf存在但l
8、img不存在，则limfg和limfg可能存在也可能不存在。重要结果 limx(x)1x=1； limx0+(x)1x=0； limx0+xx=1； limnna=1，a1； limnnn=1 limfxg(x)=A，limfx=limg(x)=0 limfxgx=A，limgx=0limf(x)=05.两个重要极限： limx0sinxx=1 limx0(1+x)1x=e或limx(1+1x)x=e设(x)0，则 limsin(x)(x)=1。 设f(x)A，g(x)，则 limf(x)g(x)=lim1+(fx-1)1fx-1fx-1g(x)=elimfx-1g(x) （1式） 或limf
9、(x)g(x)=limegxlnfx=elimgxlnf(x)=elimgxfx-16.极限存在准则：单调有界准则单调不增或不减，且有上界或下界的数列Xn必有极限。夹逼准则如果数列XnYnZn满足YnXnZn（n=1，2）； limnYn=a，limnZn=a，则limnXn存在且等于a函数的极限存在准则类似。7.洛必达法则：定义注意只有00，的未定式才可使用。 尽量结合等价无穷小替换、变量替换简化运算。 非零因子项（乘或除项）的极限用四则运算法则先求出后再使用洛必达法则。三、函数的连续与间断1.连续的定义x0点处x0的某邻域，若limxx0f(x)=f(x0)，则f(x)在点x0处连续。左连
10、续与右连续。开区间连续对于任意x0(a,b)，f(x)在x0连续，则称f(x)在(a,b)内连续闭区间上连续f(x)在(a,b)连续，且 limxa+f(x)=fa，limxb-f(x)=f(b)半开半闭区间上连续应用判断抽象函数的连续性2.连续的条件同时满足f(x)在x0点有定义，limxx0f(x)存在，且limxx0f(x)=f(x0)f(x)在x0点连续f(x)在x0点既左连续，又右连续。3.间断点定义不满足连续三个条件的点分类第一类间断点第二类间断点可去间断点：左右极限存在且相等左右极限至少有一个不存在的点，分为无穷间断点、震荡间断点等。跳跃间断点：左右极限存在但不想等 判断求出可能
11、间断点的左右极限4.连续函数的性质：基本初等函数在其定义域内连续，初等函数在其有定义的区间内连续。连续函数的和差积商以及复合仍为连续函数。f(x)在a,b内连续，则axftdt(axb)，在a,b上可导，对axftdt在a,b上可应用最值、介值、零点定理。设f(x)在x0处连续，若limxx0f(x)x-x0=A，则f(x0)=0，且f(x0)=A连续函数在闭区间上的性质证明题构造F(x)后使用 有界性与最大最小值定理：闭区间内连续函数一定有界且一定能取到最大最小值。 介值定理：在a,b内f(a)=A，f(b)=B，CA,B，则(a,b)内至少有一点使得f()=C 闭区间上的连续函数可以取到其
12、区间上的任意有限个函数值的平均值。 零点定理：f(x)在a,b内连续且f(a)f(b)0，则(a,b)内至少有一点使得f()=0第二章 一元函数微分一、导数与微分1.导数的概念定义设函数y=f(x)在点x0的某个邻域U(x0)内有定义，并设x0xU(x0)。若极限limx0fx0+x-f(x0)x 存在，则称y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记为f(x0)，即f(x0)=limx0yx=limx0fx0+x-f(x0)x 。也可记作y=|x=x0，dydx|x=x0或df(x)dx|x=x0。左导数与右导数limx0-fx0+x-f(x0)x 或 li
13、mx0+fx0+x-f(x0)x导数与极限的联系 f(x0)= limxx0fx-f(x0)x-x0 若f(x0)存在，limxx0g(x)=limxx0h(x)=x0，则（在下列极限存在时） limxx0fg(x)-f(x0)g(x)-x0=f x0，(g(x)x0) limxx0fg(x)-f(x0)x-x0=f x0limxx0g(x)-x0x-x0，设limxx0g(x)-x0x-x0存在。 limxx0fg(x)-fh(x)x-x0=f x0limxx0g(x)-h(x)x-x0，设limxx0g(x)-h(x)x-x0存在。 设f(x)在x0处连续，则 limxx0fxx-x0=A
14、fx0=0，f x0=A limxx0fx(x-x0)k=Ak1fx0=0，f x0=0 limxx0fx(x-x0)k=A00kmn!，n=mmm-1m-2m-n+1xm-n，n0，fx0极小f2n(x0)0，fx0极大f2n+1x00，x0，fx0是拐点 2.函数的凹凸性和拐点凹凸性凹弧：fx1+x22fx1+f(x2)2 f(x)0拐点凹弧与凸弧的分界点。拐点处f(x)=0或f(x)不存在 求法：f(x)在x0两侧邻近符号相反，增减性改变，f(x0)=0且f(x0)0的点。3.曲线的渐近线水平渐近线limxf(x)=C，则y=C为y=f(x)的水平渐近线铅直渐近线limxx0f(x)=，
15、则x=x0为y=f(x)的铅直渐近线斜渐近线limxf(x)x=a0，limxfx-ax=b，则y=ax+b为曲线的斜渐近线4.导数的经济应用边际求导弹性三、中值定理及不等式的证明1.微分中值定理费马定理设函数y=f(x)在点x0的某个邻域U(x0)内有定义，并在x0处可导，如果对任意的xU(x0)，有f(x)f(x0)（或f(x)f(x0)），那么f(x0)=0。罗尔定理如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)可导，且f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点(ab)，使得f()=0。拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在
16、(a,b)内至少有一点(ab)，使得f(a)-f(b)= f()(b-a)。 拉格朗日中值定理等价表达：存在（01），使得f(a)-f(b)= fa+(b-a)(b-a)柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)可导，且对任意x(a,b)，F(x)0，那么在(a,b)内至少有一点，使得fb-f(a)Fb-F(a)=f ()F()泰勒中值定理f(x)=fnx0n!(x-x0)n+fn+1(n+1)!(x-x0)n+12.证明 P55-68第三章 一元函数积分学一、不定积分1.不定积分的概念f(x)的原函数为F(x)+C对于区间a,b上任一连续函数f(x)，有原
17、函数fxdx=axf(t)dt+C2.关于原函数的结论若f(x)在a,b上不连续，则F(x)= axf(t)dt即使存在，甚至可导，也不一定是f(x)在a,b上的原函数。若f(x)在a,b上有第一类间断点，由于导函数没有第一类间断点可知f(x)一定没有原函数，即在a,b上不定积分fxdx不存在。f(x)为奇函数 f(x)的任意原函数F(x)为偶函数f(x)为偶函数f (x)的原函数中只有一个为奇函数，即0xf(t)dt。f(x)的任意原函数F(x)为周期函数f(x)为周期函数f(x)是以T为周期的周期函数且0Tf(x)dx=0f(x)的任意原函数是以T为周期的周期函数。3.基本性质 f xdx
18、=fx+C 或 dfx=fx+C ddxfxdx=f(x) 或 dfxdx=f(x)dx4.积分公式 dxx=ln|x|+C axdx=axlna+C secxdx=lnsecx+tanx+C cscxdx=lncscx-cotx+C 1a2+x2dx=1aarctanxa+C (a0) 1a2-x2dx=arcsinxa+C (a0) 1x2-a2dx=12alnx-ax+a+C (a0) 1a2-x2dx=12alna+xa-x+C (a0) 1x2-a2dx=lnx+x2-a2+C (a0) 1x2+a2dx=lnx+x2+a2+C (a0) a2-x2dx=x2a2-x2+a22arc
19、sinxa+C (a0) x2a2dx=x2x2a2+a22lnx+x2a2+C常用的变量代换 三角带换：a2-x2，可令x=asint，t(-2,2) a2+x2，可令x=atant，t(-2,2) -a2+x2，可令x=asect，t0,2(,32) 根式代换：nax+b 或nax+bcx+d，直接令此根式为t 包含kax+b，lax+b 时，令此根式为t=nax+b（n为各根指数的最小公倍数） 倒代换：当被积函数分母的最高次幂高于分子的最高次幂时，可考虑令x=1t5.第一换元法（凑微分法）6.第二换元法7.分段函数的积分根据不同区间上的函数表达式分段分别积分，再利用原函数在分段点的连续性
20、（可导一定连续），粘合起来，即将各段上的任意常数Ci统一成一个任意常数C。二、定积分1.存在条件必要条件abf(x)dx存在的必要条件是f(x)在a,b上有界。充分条件abf(x)dx存在的充分条件是f(x)在a,b上连续，或仅有有限个间断点且有界。2.几何意义若f(x)0，定积分abf(x)dx (ab)表示曲线y=f(x)，两条直线x=a，x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。一般地，定积分abf(x)dx表示曲线y=f(x)，两条直线x=a，x=b所围图形面积的代数和（x轴方面积为正，下方面积为负）3.定积分性质线性性可加性不等式 若f(x) 0，xa,b，则abf(x)dx0；若f(x)
21、不恒为零，则abf(x)dx0 若f(x) g(x)，xa,b，ab，则abf(x)dxabg(x)dx，不可反推 若a1+，p1，特别地1+dxxp=1p-1，p1+，p1 若a1，则a+dxxlnpx=ln1-pap-1，p1+， p1，特别地e+dxxlnpx=1p-1，p1+， p1 0+xe-kxdx=1k2，k0+，k0 ，一般地0+xne-kxdx，k0收敛，k0发散。 abdx(x-a)q=(b-a)1-qq-1，q1+， q1四、定积分的几何应用微元法的应用1.面积直角坐标系由曲线y=f(x)，y=g(x) f(x)g(x)，直线x=a，x=b所围图形的面积为 S=abgx-
22、fxdx. 由曲线x=u(y)，x=v(y) u(y)v(y)，直线y=c，y=d所围图形的面积为 S=cdvy-uydy.极坐标系由曲线r=r()，及射线=，=所谓围平面图形的面积为 S=12r2()d. 由曲线r=r1()，r=r2() r1()r2()及射线所围图形的面积为 S=12r22-r12d.2.体积由连续曲线y=f(x)，直线x=a，x=b所围成的曲边梯形 绕x轴旋转一周所得旋转体 Vx=abf2(x)dx (ab) 绕y轴旋转一周所得旋转体 Vy=2abx f(x)dx (f(x)0，0ab)由连续曲线x=u(y)，直线y=c，y=d所围成的平面图形 绕y轴旋转一周所得旋转体
23、 Vy=cdu2ydy c0，0，当点Px,y满足 0(x-x0)2+(y-y0)2且Px,yD时，有fx,y-A limx，y(x0，y0)fx,y=Afx,y=A+x,y，其中limx，y(x0，y0)x,y=0二元函数的连续（多元函数同样适用）若limxx0yy0fx,y=f(x0,y0)，则称二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续。如果f(x,y)在区域D上每一点都连续，则称f(x,y)在区域D上连续。有界闭区域上二元连续函数的性质（多元函数同样适用）最大值和最小值定理在有界闭区域D上的二元连续函数，必取到最大值和最小值。介值定理在有界闭区域D上的二元连续函数，必取到介于最大值和
24、最小值之间的任何数。 求法 求简单二元函数的极限，判断二元函数的极限不存在利用一元函数其极限的方法如四则运算、无穷小代换、重要极限、有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量，夹逼准则。作变量代换，化二元函数的极限为一元函数的极限。一般地，若limxx0yy0fx,y=A，则limxx0fx,y0=A且limyy0fx0,y=A，反之不然2.偏导数与全微分偏导数的定义设二元函数z=f(x,y)在(x0,y0)的某邻域内有定义，若极限limx0fx0+x ,y0-f(x0,y0)x存在，则称此极限值为z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数，记为f x(x0,y0)或f(x0,y0)x。对y的偏导
25、数同理。全微分若函数z=f(x,y)在(x0,y0)处的全增量可表示为z=fx0+x ,y0+y-fx0,y0=Ax+By+o()，其中A，B与x，y无关，=x2+y2，则称函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，Ax+By称为z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分，记为dz|(x0,y0)，即dz|(x0,y0)=Ax+By。对自变量x与y约定x=dx，y=dy，故全微分又可以写成dz=Adx+Bdy。f(x,y)在(x0,y0)处可微的充要条件lim0z-f xx0，y0x+f yx0，y0y=0，其中=x2+y2函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的几个概念的关系两个一阶
26、偏导数在该点连续函数在该点可微，反之不然。 函数在该点连续，反之不然。 两个一阶偏导数在该点不连续，函数在该点也可能可微。 函数在该点可微两个一阶偏导数存在，反之不然。 函数在该点连续，反之不然。 函数在该点连续 & 两个一阶偏导数存在 不能互相推出。 高阶偏导数求法只需要求在一点处的偏导数时，可利用结果 f xx0，y0=df(x，y0)dx|x=x0， f yx0，y0=df(x0，y)dy|y=y03.复合函数求导法则基本原则：有几个中间变量求出来就有几项，每项先对中间变量求偏导再乘以中间变量对自变量的偏导数。求二阶偏导时仍需要分别对中间变量求偏导。中间变量为二元函数设u=x,y和v=(
27、x,y)在点(x,y)处偏导数存在，函数z=f(u,v)在对应点(u.v)具有连续偏导数，则复合函数z=fx,y,(x,y)在点(x,y)处偏导数存在，且zx=zuux+zvvx，zy=zuuy+zvvy。中间变量为一元函数设z=f(u,v)有连续偏导数，一元函数u=t和v=t都可导，则dzdt=zududt+zvdvdt，这里dzdt称为z对t的全导数。多维设z=f(u,v,w)有连续偏导数，u=x,y，v=x,y，w=w(x,y)偏导数存在，则 zx=fuux+fvvx+fwwx，zy=fuuy+fvvy+fwwy多元函数为常数的条件 设函数z=f(x,y)在区域D上满足fx0，fy0，则
28、f(x,y)在区域D上为常数。 设函数z=f(x,y)定义在全平面上，若fx0，则f(x,y)=(y)；若fy0，则f(x,y)=(x)。若函数z=f(x,y)的两个混合偏导数2zxy，2zyx在区域D内连续，则在区域D内2zxy=2zyx抽象函数的偏导数与全微分画出复合关系的链导图，若对某一变量求偏导数，要看有几条路径从因变量到此变量，则求导后就有几项的和，每一条路径有几步，对应该条路径的项就是几项的乘积。 运用合适的符号简化表达式的表示，如z=f(x+y，xy)，则zx=f 1+yf 2，需注意的是，f 1，f 2的复合关系仍同f一样。4.隐函数的求导公式由方程确定的隐函数设函数F(x,y
29、,z)在点P(x0,y0,z0)的某邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0,z0)0，Fz=( x0,y0,z0)0，则方程F(x,y,z)0在点(x0,y0,z0)的某邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y)，它满足z0=f(x0,y0)，并有zx=-FxFz，zy=-FyFz。【当Fx=( x0,y0,z0)0，Fy=( x0,y0,z0)0时，可分别确定隐函数x=f(y,z)，y=f(x,z)】由方程组确定的隐函数设方程组Fx,y,u,v=0Gx,y,u,v=0确定了隐函数u=u(x,y)，v=v(x,y)，则通过等式两边对x求偏导，注意到u,v是x的函数，有Fx+Fuux+Fvvx=0Gx+Gu