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1、第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学知识归纳1几何体与多面体的概念(1)如果我们只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，则这个空间部分叫做一个空间几何体(2)多面体定义：由若干个平面多边形所围成的几何体叫做多面体2棱柱及其分类(1)定义：有两个面互相平行，其余各面都是 ，并且每相邻两个四边形的公共边都，由这些面所围成的多面体叫做棱柱四边形互相平行第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学(2)特殊的四棱柱3棱锥及其分类(1)定义：有一个面是多边形，其余各面是的三角形由这些面所围成的几何体叫做棱锥有一个公共顶点第九章第九章 立体几
2、何立体几何人教A版数学(2)正棱锥如果棱锥的底面是正多边形，顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形这些等腰三角形的高叫做棱锥的斜高棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学4棱台的概念及性质(1)定义：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台(2)正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台正棱台的性质：各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高，斜高都相等两底面以及平行于底面的截面是相似
3、多边形；两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形；正棱台的上、下底面中心的连线是棱台的一条高第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学5圆柱、圆锥、圆台(1)概念分别以矩形的一边、直角三角形一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学(2)圆柱的结构特征平行于底面的截面都是圆；过轴的截面(轴截面)是全等的矩形除了这两条重要特征外，还应掌握下面的一些重要属性所有的轴截面是以两底面直径和两条母线为边的全等矩形，若该矩形为正方形，则
4、圆柱叫等边圆柱用平行于轴的平面去截圆柱，所得的截面是以底面圆的弦和两条母线为边的矩形也就是说过圆柱任意两条母线的截面一定是一个矩形，在这所有的截面矩形中，以轴截面面积最大第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学(3)圆锥的结构特征由圆锥的定义我们不难得到：平行于底面的截面都是圆；过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形(4)圆台的结构特征平行于底面的截面都是圆；过轴的截面是全等的等腰梯形第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学6球的概念(1)定义：半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫球体，简称球(2)球的截面性质用一个平面去截球，截面是圆面球心到截面的距离d与球
5、的半径R及截面的半径r，有下面的关系：(如图)第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学1当d0时，截面过球心，此时截面积最大，此圆叫球的大圆或球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆2不过球心的截面截得的圆叫球的小圆7组合体由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学8平行投影(1)平行投影的有关概念把物体在一束 光线照射下形成的投影叫做平行投影平行投影的投影线是相互平行的图形的平行投影：如果图形F上的所有点在平面内关于直线l的平行投影构成图形F，则F叫做图形F在内关于直线l的平行投影平面叫做投影面，l叫做投影线平行第九章第九章 立体几何立体几
6、何人教A版数学(2)平行投影的性质当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质：直线或线段的平行投影仍是直线或线段；平行直线的平行投影是平行或重合的直线；平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学9直观图(1)直观图：用来表示空间几何体的平面图形，叫做空间几何体的直观图(2)斜二侧画法的规则是：在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴，使xOz90，且yOz90.画直观图时，把Ox、Oy、Oz画成对应的轴Ox、Oy、Oz，使xOy4
7、5(或135)，xOz90.xOy所确定的平面表示水平平面第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴，y轴、z轴的线段并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴或在y轴上的线段，长度为原来的一半画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学10中心投影把光从一点向外散射形成的投影叫做中心投影，如图一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在平面上的中心投
8、影中心投影的投射线相交于一点11三视图(1)正投影的性质在物体的平行投影中，如果投影线正对着投影面，(即投影线与投影面垂直)则称这样的平行投影为正投影，否则叫做斜投影容易知道，正投影除具有平行投影的性质外，还有如下性质：第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学垂直于投影面的直线或线段的正投影是点垂直于投影面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分(2)三视图通常，总是选择三个两两互相垂直的平面作为投影面一个投影面水平放置，叫做水平投影面，光线从几何体的上面向下面正投影，投射到这个平面内的图形叫做俯视图一个投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影面；光线从几何体的前面向后面正投影，投射到这个平
9、面内的图形叫做正视图第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投影面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，光线从几何体的左面向右面正投影，投射到这个平面内的图形叫做侧视图将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间几何体的三视图第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学一、多面体及旋转体沿表面或侧面最短路程问题，一般用侧(或表)面展开图解决二、三视图的画法(1)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线，尺寸线用细实线标出(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、
10、正上方观察几何体画出的轮廓线画三视图的基本要求是：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高三、组合体的直观图多面体与旋转体的组合体画图时，应优先考虑多面体的对角面，注意旋转体轴截面与多面体几何量之间的联系第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学例1以下命题：以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；一个平面截圆锥、得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数为()A0B1C2D3第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学解析：应以直角三角形的一条直角边为轴旋转才可以得到圆锥；以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转可得到圆
11、台；它们的底面为圆面，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，可得到一个圆锥和圆台应选A.答案：A第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学例2如图所示，正四棱台ABCDABCD的高是17cm，两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台的侧棱长和斜高第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学棱长为a的正四面体ABCD的四个顶点均在一个球面上，则此球的半径R_.第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学例3已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的
12、等腰三角形求(1)该几何体的体积V；(2)该几何体的侧面积S.第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学点评：要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观图第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学(文)(2010安徽宣城一中)某空间几何体的三视图如图所示，其正(主)视图与侧(左)视图都是边长为2的正三角形，俯视图的轮廓为正方形，则此空间几何体的体积是()第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学答案：A 第九章第九章 立体几何立体几何人教
13、A版数学(理)(2010广东)如图1，ABC为正三角形，AABBCC，CC平面ABC且3AA BBCCAB，则多面体ABCABC的正视图(也称主视图)是()图1 第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学解析：正视图是从正前方向后投影，由条件知AABBCC，CC平面ABC，故其正投影是三条平行的线段，且都与AB的投影垂直，CC应为虚线，其长度比为AA BB CC1 2 3，其投影保持这个长度不变，故选D.答案：D第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学例4已知四棱锥PABCD的直观图及三视图如图所示(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)若E是侧棱PC的中点，求证：PA平面BDE；(3)若E是
14、侧棱PC上的动点，不论点E在什么位置，是否都有BDAE？证明你的结论第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学解析：(1)由该四棱锥的直观图和三视图可知，该四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC底面ABCD，且PC2，VPABCD S四边形ABCDPC .(2)连接AC交BD于F，如图所示，则F为AC的中点，又E为PC的中点，PAEF，又PA 平面BDE，EF平面BDE，PA平面BDE.第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学(3)不论点E在什么位置，都有BDAE.证明：连接AC，四边形ABCD是正方形，BDAC.PC底面ABCD，且BD平面ABCD，BDPC.又ACPCC，BD
15、平面PAC，不论点E在什么位置，都有AE平面PAC.不论点E在什么位置，都有BDAE.第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学一、选择题1如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A B C D第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学答案D解析正方体的正视、侧视、俯视图都为正方形；圆锥的正视、侧视、俯视图依次为：三角形、三角形、圆；三棱台的正视、侧视、俯视图依次为：梯形、梯形、三角形；正四棱锥的正视、侧视、俯视图依次为：三角形、三角形、正方形第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学答案C 第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数
16、学解析由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单的组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的下底面与圆柱的底面重合S表面积S上部圆锥侧面积S下部圆柱侧面积S圆柱底面积第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学(理)(2010福建厦门市)一个组合体的三视图如图，则其体积为()A12 B16 C20 D28答案C 第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学解析由空间几何体的三视图可知，该几何体为圆锥和圆柱的组合体，所以其体积为V22422320，故选C.第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学3(文)(2010湖南文，13)如下图中的三个直角三角形是一个体积20cm3的几何体的三视图
17、，则h_ cm.答案4二、填空题第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学(理)(2010山东省实验中学)已知三棱锥PABC的各顶点都在一个半径为R的球面上，球心O在AB上，PO底面ABC，AC R，则三棱锥的体积与球的体积之比是_第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学4一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形，如图所示，则该多面体的体积为_答案48cm3第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学解析结合三视图可知该几何体为直三棱柱，其直观图如图所示，底面三角形的高为4cm，底边长为6cm，棱柱的高
18、为4cm，其体积为：V 64448(cm3)第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学答案B 第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学答案B 第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学3(2010天津理，12)一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积为_第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学4(文)(2010合肥市)已知某一几何体的正(主)视图与侧(左)视图如图，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有()A BC D答案D第九章第九章 立体几何立体
19、几何人教A版数学解析底下一层为正四棱柱，上面两层为圆柱时为；底下为圆柱、上两层为正四棱柱时为；最上一层为圆柱、下两层为正四棱柱时为；底层为正四棱柱，中间为圆柱、上层为直三棱柱时为，故选D.第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学5(2010沈阳市)如图所示，某几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是边长为1的正方形，且体积为 .则该几何体的俯视图可以是()答案C第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学6(2010东营质检)用单位正方体搭几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则符合条件的几何体体积的最小值与最大值分别是()A9,13 B7,16 C10,15 D10,16第九章第九章 立体几何立体几何人教A版数学答案D解析由俯视图知底层有七个小正方体，结合主视图知，最左边一列，最多都是三层，最少只有一行是三层，故左边一列最多9个、最少5个；中间一列最多都是二层有6个，最少只有一行二层，共4个；右边一列只一层一行，故最多96116个，最少54110个