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1、学习必备欢迎下载初中数学知识思想方法集锦第一章：数与式一、概念与定义1. 数的分类：实数2. 数的相关概念：相反数、倒数、负倒数、绝对值、绝对值的几何意义、平方根、算术平方根、立方根、科学计数法、有效数字、负指数、零指数、乘方、开方、数轴。3. 式的分类：代数式4式的相关概念 :同类项、单项式的次数、单项式系数、多项式的项、多项式的各项系数、多项式的次数、二次根式、同类二次根式、最简二次根式、约分、通分、因式分解、提取公因式。二、 法则、定律、性质、公式：单项式乘单项式的法则：单项式乘多项式的法则：多项式乘多项式的法则：分数、分式的乘法法则：分数、分式的除法法则：去括号法则：添括号法则：乘法的
2、分配律：7 个幂和乘方的法则：同底数幂的乘法法则：=同底数幂的除法法则：幂的乘方法则：=积的乘方法则：=商的乘方法则：(ab) n=anbn零次方：负指数： a-p=1ap9 个乘法公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页学习必备欢迎下载平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方和公式： (a+b)2=a2+2ab+b2完全平方差公式： (a-b)2=a2-2ab+b2三数平方和公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 完全立方和公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=
3、a3+b3+3ab(a+b)完全立方差公式：(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3=a3+b3-3ab(a-b)立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) 立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三数立方和公式 : a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) 二次根式的性质：=a ( 还原公式 ) 二次根式的乘法法则： ( 有隐含条件 ), （开方的积等于积的开方） ， (a 0,b 0)，( 积的开方等于开方的积 ) 二次根式的除法法则：( 有隐含条件 ), （开方的商等于商的开方） ，（a0 ,b0 ） ，( 商的开方
4、等于开方的商 ) ，三、解题方法1、分母有理化：，2、复合二次根式的化简：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 22 页学习必备欢迎下载3、绝对值的几何意义二次根式的乘法法则： ( 有隐含条件 ), （开方的积等于积的开方） ， (a 0,b 0)，( 积的开方等于开方的积 ) 二次根式的除法法则：( 有隐含条件 ), （开方的商等于商的开方） ，（a0 ,b0 ） ，( 商的开方等于开方的商 ) ， 已知： S =x-1, 求 Smin 已知： S =x-1+x+3, 求 Smin 已知： S =x-1+x+3+x-4 ,
5、求 Smin已知： S =x-1 +x+4+x-2 +x+7, 求 Smin已知： S =x-1 +x-6 +x+2+x+9+x-7 , 求 Smin已知： S = x-1+ x- +2x- 3 , 求 Smin4、因式分解方法：提公因式法： -3x2y-6xy2+9xya公式法：0.098-0.84x+1.8x2 1.2+7.5x2+6x 12- 十字交叉法： 3x2-4x+1 , 16x2+14x-15 , 11x2+42xy-8y2 , 双十字交叉法： 2x2+xy-y2-x+5y-6 , x2-xy-2y2-6x+6y+8 , 10 x2+xy-3y2+16x+3y+6 , 12x2+
6、22xy-14y2-x+43y-20 , 分组分解法： am-6bn-3an+2bm , -2x+ax-a+1 +yx2+4x+4-4y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页学习必备欢迎下载+-4a-4b+2ab+4 观察法：+x-3 -3abc ()()+10 拆项添项法：+4 -3+4 +3x-9 换元法： （x+y-2xy ） （x+y-2）+ ()()-12 待定系数法：-3+4 +4 主元法： 综合除法： 求根公式法：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
7、第 4 页，共 22 页学习必备欢迎下载5、一元多项式除法：已知 2x2-3x-2=0, 求 10 x3-9x2-19x+8 已知 2x2-4x+3=0, 求 14x4-26x3+7x2+23x+15第二章：方程（组）与不等式（组）一、概念与定义1 .一元一次方程的相关概念：方程、方程的解、解方程、一元一次方程、去分母、去括号、移项、一元一次方程的条件、一元一次方程的一般形式。2. 二元一次方程（组）的相关概念：二元一次方程 (组)、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、代入消元法、加减消元法、解二元一次方程组的步骤。3.一元一次不等式（组）的相关概念：一元一次不等式 (组)、一元一次不等式
8、(组)的解、一元一次不等式(组)的解集、解一元一次不等式 (组)、一元一次不等式组的解集的取法。4. 一元二次方程的相关概念：一元二次方程、一元二次方程的解、一元二次方程的一般形式、二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项、一元二次方程的条件、一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的求根公式、一元二次方程的根与系数的关系。二 、性质、公式、方法、步骤：1. 等式的性质：2. 不等式的性质：3. 解一元一次方程的步骤： 去分母、去括号、移项、合并、化系数为1、4.解一元一次不等式的步骤： 去分母、去括号、移项、合并、化系数为1、4. 解一元一次不等式组的步骤: 先分别解各个不等式，再取各个
9、不等式的公共解集。5 .一元一次不等式组的解集的取法: 大大取较大，小小取较小；大于小而小于大，不等号顺着划；大于大而小于小，解集无处找。6. 一元二次方程：一元二次方程的一般形式：(a0) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页学习必备欢迎下载二次项 :,二次项系数 : a ,一次项 : bx ,一次项系数 : b ,常数项 : c , 一元二次方程的根的判别式: 方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根； 一元二次方程的求根公式：x= 一元二次方程的根与系数的关系: ,; , ; ,=三、解题
10、方法1 .解一元一次方程：2 . 解一元一次不等式：3解一元一次不等式组：4 .解二(三)元一次方程组 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页学习必备欢迎下载5 .解一元二次方程： 2 3 7 5 2-7|x|+6=0 6 .解分式方程：（要注意验根）7 .一元二次方程题型训练： 关于 x 的方程（ 1-2k ）-2有实数根， 求 k 的取值范围； 若方程两根倒数和比两根倒数积小1， 求 k 的值；关于 x 的方程+的两个实数根的倒数和为3，关于 x 的方程（k-1 ）+3有实数根，且 k 为正整数，求的值若 a,
11、b为整数，且有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根，求 a+b 若三个方程 , , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 22 页学习必备欢迎下载中至少有一个方程有实数根，求a 的取值范围。若关 x 的方程和。问是否存在这样的 k 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的k 值，若不存在，说明理由。 当 a 为何值时，关于 x 的方程的根为正数？ 当 a 为何值时，关于 x 的方程的解为负数？ 当 m为何值时，关于 x 的方程有实数根 ? 若分式方程产生增根，求 m的值。
12、 若关 x 的方程有增根 x=1，求 k 的值。 方程的全体实数根之积为多少？ 关 x 的方程 , 其 a 为实数，那么方程最大实数根为多少？若方程二根为，求 ()() 的值一元二次方程有二实数根，且互为相反数，那么a、b、c 分别满足什么条件？如果三边为 a，b，c，判别方程 4a-4(b+c)x+a=0 的根的情况。一元二次方程的一根为另一根的2 倍，求 k 的值。一元二次方程的一根为 2+,求整数 m,n的一边长为 5，另外两边长恰是方程2-12x+m=0 的二根，那么 m的取值范围是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8
13、页，共 22 页学习必备欢迎下载4231若 3-x=1 ，求的值。若有两个因式 x+1 和 x+2，求 a+b (21)若 a 是一个无理数，且a、b 满足 ab+a-b=1, 求 b (22)若 a，且 a- -，求的值(23)若 x=，求代数式的值。(24)若 ab，且 5+2017a+9=0 ，9+2017b+5=0, 求(25)如果，求 k (26)若 a、b、c、d 为正整数，且 abcd，求 a、b、c、d 的值。(27)若 x,y,z，且 xyz=1，求(x+1)(y+1)(z+1) 的最小值。(28)分解因式：第三章：几何知识一、平行线1.平行线的定义：同一平面内，两条永不相交
14、的直线叫做平行线。2.平行线的性质：两条直线平行，同位角相等。两条直线平行，内错角相等。两条直线平行，同旁内角互补。3.平行线的判定：同位角相等，两条直线平行。内错角相等，两条直线平行。同旁内角互补，两条直线平行。二、全等三角形OPAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 22 页学习必备欢迎下载DABPCABA 、123456 1. 一个公式：多边形的对角线的条数 =2两个集合：角的平分线：角的平分线的性质 ：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分 线的判定：（角的内部）到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。线段的
15、中垂线： 线段的中垂线性质：线段的中垂线上的点到线段两端的距离相等。线段的中垂线判定：到线段两端的距离相等的点在线段的中垂线上。3三种关系：三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。三角形的三角关系：三角形的三个内角之和为1800。多边形的内角之和为180(n-2). 三角形的三个外角之和为3600。多边形的外角之和为3600。三角形的任何一个外角都等于与它不相邻的两个内角的和。三角形的任何一个外角都大于与它不相邻的每一个内角。三角形的边角关系：大边对大角，等边对等角，小边对小角。大角对大边，等角对等边，小角对小边。4四个定义：对顶角定义。（对顶角的性质定理：对顶角相等
16、。 ）垂直定义。角的平分线定义。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 22 页学习必备欢迎下载线段的中点定义。5五个全等判定：SSS公理：三边分别对应相等的两个三角形全等。SAS公理：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等。ASA 公理：两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等。AAS 推论：两角及其其中一角的对边分别对应相等的两个三角形全等。HL 公理：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。6六个公理：直线公理：经过两点能够画并且只能画一条直线。线段公理：两点之间线段最短。垂线公理：过一点能够画并且只能画一条
17、直线与已知直线垂直。垂线段公理：垂线段最短。平行公理：经过直线外一点有并且只有一条直线与已知直线平行。平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行。B 、特等殊三角形1. 等腰三角形：等腰三角形的 定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。等腰三角形的 性质：等腰三角形的两个底角相等。 （简称：等边对等角。 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页学习必备欢迎下载三线合一：等腰三角形的底边上的中线、 底边上的高、 顶角的平分线三条线段互相重合。 （简称：三线合一。）等腰三角形的 判定：根据定义判定。有两个角相等的
18、三角形是等腰三角形。（简称：等角对等边。 ）2.等边三角形：等边三角形的 定义：三边相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形的 性质：等边三角形的三个角都相等，并且都等于60 度。等边三角形具有等腰三角形的所有性质。等边三角形的 判定：根据定义判定。有两个角是 60 度的三角形是等边三角形。有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形。3. 直角三角形：直角三角形的 定义：有一个角是 90度的三角形叫做直角三角形。直角三角形的 性质：直角三角形的两个锐角和为90 度。30 度角所对的直角边定等于斜边的一半。等于斜边的一半的直角边所对的角为30度。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。直角三角形的
19、 判定：根据定义判定。有两个角的和为90 度的三角形是直角三角形。如果一边上的中线等于这一边的一半，那么这一边所对的角就等于90 度。勾股定理及其逆定理：勾股定理：在中，如果C=，那么; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页学习必备欢迎下载ODACBOABCDODABCOCABD逆定理：在中，如果,那么C=；三、特殊四边形1. 平行四边形：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的性质：平行四边形的对边平行；对边相等；对角相等；对角线互相平分；平行四边形的判定： （将性质反过来） 两组对
20、边分别平行的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；2. 矩形：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形的性质：具有平行四边形的性质；四个角都是直角；对角线相等；矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形。对角线互相平分且相等的四边形是矩形。3. 菱形菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的性质：具有平行四边形的性质；菱形的四边都相等；菱形的对角线互相垂直；菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形
21、是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。4. 正方形：正方形的定义：有一组邻边相等的矩形叫做正方形。有一个角是直角的菱形叫做正方形。正方形的性质：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页学习必备欢迎下载ABCDEABCDEF具有矩形的性质；具有菱形的性质；正方形的判定： 有一组邻边相等的矩形是正方形。有一个角是直角的菱形是正方形。 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。5.中位线定理： 三角形的中位线定理：三角形的两边的中点连线段叫做三角形的中位线。三角形的中位线平行于底边并且
22、等于底边的一半。 梯形的中位线定理：梯形两腰中点的连线段叫做梯形的中位线。梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半。临江仙截长补短应差和， 三线合一较活。中位线下中点托， 平移线段等，中线倍长多。梯形当中两高作，倍角翻折也可。角有平分距离多，形转六十度，方形对称活。四、相似三角形1.相似多边形的定义：两个多边形的各边分别对应成比例，每个内角分别对应相等，那么这两个多边形相似。2. 相似三角形的定义：两个三角形的三边分别对应成比例，三个内角分别对应相等，那么这两个三角形相似。3. 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。4. 相似三角形的判定：三边对应成比例的两个三角形相似；（
23、SSS ）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（SAS ）两个角对应相等的两个三角形相似；(AA) 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似；(HL)5.平行线等分线段定理：一组平行线截两条直线，如果在第一条直线上截得的线段线段，那么在第二条直线上截得的线段也相等。6.平行线分线段成比例定理：一组平行线截两条直线，截得的线段对应成比例。7.相似三角形预备定理的引理：一条直线截三角形的两边（或其延长线），且平行于第三边，那么截得的三角形与原三角形的三边对应成比例。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页学习必
24、备欢迎下载8. 相似三角形预备定理：一条直线截三角形的两边（或其延长线），且平行于第三边，那么截得的三角形与原三角形相似。AFEDCBAFEDCBAABCDEBCDE9.合比性质：如果, 那么, 分比性质：如果, 那么, 等比性质：如果, 那么; 五、圆1.概念与定义：圆、圆心、半径、直径、弦、弦心距、弧、优弧、劣弧、半圆、圆周角、圆心角、弦切角、垂径、相交弦、切线、切线长、割线、连心线、内切、外切、内含、外离、相交、公切线。2.点与圆的位置关系：点 p 在圆外 d r ; 点 p 在圆上 d= r ; 点 p 在圆内 d r ;3.直线与圆的位置关系：直线 L 与圆相离 d r 直线 L 与
25、圆相切 d= r ; 直线 L 与圆相交 d r ;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页学习必备欢迎下载4.圆与圆的位置关系： 两圆外离 d R+r 两圆外切 d= R+r 两圆相交d R+r 两圆内切 d= R-r 两圆内含d R-r5.圆中的相关定理：（记忆方法 12345，0） 一条切线：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。切线的判定定理：经过圆的半径的外端，且垂直于这条半径的直线是该圆的切线。 两个角： 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，并且都等于弧所对的圆心角的一半。弦切角定
26、理：弦切角等于弦切角所夹的弧所对的圆周角。弦切角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。OCOPOABAPABCB 三条线段：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。相交弦定理：圆的两条弦相交于 P点，那么这个交点 P分两条弦所成的两条线段的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的一条切线和一条割线，那么该切线长是该割线上圆外这一点到圆上两点的线段的比例中项。，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页学习必备欢迎下载切割线定理的推论
27、（割线定理） ：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线上圆上两点的线段乘积相等。ACBPOBOAODPPOBPACDCBA 四款条件（垂径定理） ：垂径定理：垂直于弦的直径必平分弦，且平分弦所对的两条弧。垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径，必垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。垂径定理组（两直两分） ：两直：1.直径 ，2.垂直。 两分：3. 平分弦，4.平分弧 。在四款条件中，有任何两款成立，那么其余两款也成立。 五组量关系：在同圆或等圆中，两条弧（劣弧） 、两条弧所对的圆心角、圆周角、弦和弦心距，这五组量中，如果有一组量相等，其余的各组量都相等。6.,0 即另外几个补充： 四点共圆，对
28、角互补。对角互补，四点共圆。正弦定理：A 在一个三角形中，三边与其对角的正弦成正比，其比值恰好等于其外接圆的直径。B 三角形的面积等于两边及其夹角正弦乘积的一半。= =2R = absinC = acsinB = bcsinA 余弦定理： 三角形任何一边的平方都等于另外两边的平方和与这两边及其夹角余弦乘积的2 倍的差。=+-2bccosA; =+-2accosB; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页学习必备欢迎下载ABCDEBDACCABDGABCDEF=+-2abcosC; cosA=cosB=cosC=HOB
29、OBODOCADCACDFEABCAB三角形内角平分线定理：三角形内角平分线内分对边所成两条线段与夹这角两边对应成比例。如果，那么三角形外角平分线定理：三角形外角平分线外分对边所成两条线段与夹这角两边对应成比例。如果，那么射影定理：直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项。=AD DB ; =AD AB ; =BD AB ; 塞瓦定理：梅涅劳斯定理如果三角形的三条割线交于形内一点，那么它们内分每条对边所成线段的比的积为1. =1 梅涅劳斯定理（梅劳定理） ：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
30、- - - -第 18 页，共 22 页学习必备欢迎下载EABFDCGABCDFEABCDPDCABDBCPA如果一条直线截三角形的三边或三边的延长线，那么它在每边上截得线段的比的积为 1. =1 三角形重心定理：三角形的重心到一个顶点的距离等于这条中线长的三分之二。如果 G为的重心，那么 AG=AD,BG=BE, CG=CF; 斯台沃特定理：在中，D在 BC边上，那么=-BD DC 11 相交弦夹角：相交弦夹角度数等于所夹两弧度数和的一半。APC= BPD (AC +BD ) 错误！未指定书签。12 不相交弦夹角：不相交弦延长线夹角度数等于所夹两弧度数差的一半。APC= BPD (AC -B
31、D ) 错误！未指定书签。圆中辅助线一般添法见到两圆连心线，两圆相交公共弦；两圆相切公切线，遇到切点连半径；有了直径添直角，直角常常想直径；勾股定理配垂径，圆中对称最一般。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 22 页学习必备欢迎下载xyoyx4321123443211234O第四章、函数一、概念与定义：函数、函数图像、函数值、自变量、自变量的取值范围、正比例函数 y=kx(k)、一次函数 y=kx+b(k)、二次函数 y=a、反比例函数 y=。二、一次函数图像与性质：1 . k,直线呈撇的方向， y 随 x 增大而增大；k
32、,直线呈捺的方向， y 随 x 增大而减小。2 . b,直线交 y 轴正半轴； b=0 , 直线交 y 轴于坐标原点；b直线交 y 轴负半轴。三、二次函数图像与性质：1 . a,抛物线开口向上； a抛物线开口向下；2 . a越大，抛物线开口越小；a越小，抛物线开口越大；3 . 抛物线的对称轴是： x=-;顶点是（ -，）; 4 . 二次函数的三种形式： 一般式： y=a+bx+c 顶点式： y=a+h ,顶点为 (k,h) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 22 页学习必备欢迎下载yx4321123443211234O
33、交点式： y=a(x-)(x-) , 与 x 轴交点为 () ， （） 。 对称式： y= a(x-)(x-)+h , 过点() ， （） 。xyoyx4321123443211234Oyx4321123443211234O四、反比例函数图像与性质：1 . k,图像在一、三象限；在每一象限内，y 随 x 增大而减小。2 . k,图像在二、四象限；在每一象限内，y 随 x 增大而增大。第五章、几何应用：解直角三角形一、概念与定义 : 正弦、余弦、正切、余切、特殊三角函数值。二、互余三角函数关系： sin()=cos cos()=sin tan()=cot cot()=tan三、互补三角函数关系：
34、 sin()= sin cos()=-cos tan()=-tan cot()=-cot四、同角三角函数关系：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 22 页学习必备欢迎下载OCBACBA 平方关系：=1 , 倒数关系： tancot=1 商式关系： tan = ,cot = ;五、锐角三角函数的增减性： 当，、随 的增大而增大；、随 的增大而减小；，第六章、概率与统计一、概念与定义 : 总体、样本、样本容量、平均数（加权法）、中位数、众数、方差、标准差、极差、组距、频数、频率、概率。二、基本公式：1 .平均数：=() 2 . 方差：= = 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 22 页