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1、初中数学九大几何模型一、手拉手模型-旋转型全等（1）等边三角形【条件】： OAB和 OCD 均为等边三角形；【结论】： OAC OBD ； AEB=60 ； OE平分 AED （2）等腰直角三角形【条件】： OAB和 OCD 均为等腰直角三角形；【结论】： OAC OBD ； AEB=90 ； OE平分 AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】： OAB和 OCD 均为等腰三角形；且 COD= AOB 【结论】： OAC OBD ； AEB= AOB ；OE平分 AED OABCDE图 1 OABCDE图 2 OABCDE图 1OABCDE图 2OABCDEOABCDE图 1图 2精选
2、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页二、模型二：手拉手模型-旋转型相似（1）一般情况【条件】：CD AB ，将 OCD 旋转至右图的位置【结论】：右图中 OCD OAB OAC OBD ；延长 AC交 BD于点 E，必有 BEC= BOA （2）特殊情况【条件】：CD AB， AOB=90 将 OCD 旋转至右图的位置【结论】：右图中 OCD OAB OAC OBD ；延长 AC交 BD于点 E，必有 BEC= BOA ；OAOBOCODACBDtan OCD ； BDAC ；连接 AD 、BC ，必有2222CDABB
3、CAD；BDAC21SBCD三、模型三、对角互补模型（1）全等型 -90 【条件】： AOB= DCE=90 ； OC平分 AOB 【结论】： CD=CE ； OD+OE=2OC ；2OCEOCDDCEOC21SSS证明提示：作垂直，如图2，证明 CDM CEN 过点 C作 CF OC ，如图 3，证明 ODC FEC 当 DCE的一边交AO的延长线于D时（如图4） ：以上三个结论：CD=CE ； OE-OD=2OC ；2OCDOCEOC21SSOABCDOABCDEOABCDEOABCDAOBCDE图 1 AOBCDEMN图 2AOBCDEF图 3AOBCDEMN图 4精选学习资料 - -
4、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页（2）全等型 -120 【条件】： AOB=2 DCE=120 ； OC平分 AOB 【结论】： CD=CE ； OD+OE=OC；2OCEOCDDCEOC43SSS证明提示：可参考“全等型-90 ”证法一；如右下图：在OB上取一点F，使 OF=OC ，证明 OCF为等边三角形。（3）全等型 - 任意角【条件】： AOB=2 ，DCE=180-2； CD=CE ；【结论】： OC平分 AOB ； OD+OE=2OCcos；cossinOCSSS2OCEOCDDCE当 DCE的一边交AO的延长线于D时（如
5、右下图） ：原结论变成：；。可参考上述第种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。AOBCEFAOBCEFFAOBEDCAOB ECD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页对角互补模型总结：常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；注意 OC平分 AOB时，CDE= CED= COA= COB如何引导？四、模型四：角含半角模型90（1）角含半角模型90 -1 【条件】：正方形ABCD ； EAF=45；【结论】： EF=DF+BE ； CEF
6、的周长为正方形ABCD周长的一半；也可以这样：【条件】：正方形ABCD ； EF=DF+BE ；【结论】： EAF=45 ；（2）角含半角模型90 -2 【条件】：正方形ABCD ； EAF=45；【结论】： EF=DF-BE ；AOBCDEABCDEFABCDEFGABCDEFABCDEFABCDEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页（3）角含半角模型90 -3 【条件】： RtABC ； DAE=45 ；【结论】：222DECEBD（如图 1）若 DAE旋转到 ABC外部时，结论222DECEBD仍然成立（如图
7、2）（4）角含半角模型90变形【条件】：正方形ABCD ； EAF=45；【结论】： AHE为等腰直角三角形；证明：连接AC （方法不唯一） DAC= EAF=45， DAH= CAE ，又 ACB= ADB=45 ； DAH CAE ，AEACAHDA AHE ADC ， AHE为等腰直角三角形模型五：倍长中线类模型（1）倍长中线类模型-1 【条件】：矩形ABCD ； BD=BE ； DF=EF ；【结论】：AFCF 模型提取：有平行线AD BE ；平行线间线段有中点DF=EF ；可以构造“ 8”字全等 ADF HEF 。ABCDEABCDEFABCDEABCDEFABCDGHFEABCDG
8、HFEABCEFDHABEFDH精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页（2）倍长中线类模型-2 【条件】：平行四边形ABCD ； BC=2AB ； AM=DM； CE AB；【结论】： EMD=3 MEA 辅助线：有平行AB CD ，有中点AM=DM，延长 EM ，构造 AME DMF ，连接 CM构造等腰 EMC ，等腰 MCF 。 （通过构造8 字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）模型六：相似三角形360旋转模型（1）相似三角形（等腰直角）360旋转模型 - 倍长中线法【条件】： ADE 、 ABC均为等腰直角
9、三角形；EF=CF ；【结论】： DF=BF ； DFBF 辅助线：延长DF到点 G，使 FG=DF ，连接 CG 、BG 、BD，证明 BDG为等腰直角三角形；突破点： ABD CBG ；难点：证明BAO= BCG （2）相似三角形（等腰直角）360旋转模型 - 补全法【条件】： ADE 、 ABC均为等腰直角三角形；EF=CF ；【结论】： DF=BF ； DFBF 辅助线：构造等腰直角AEG 、 AHC ；辅助线思路：将DF与 BF转化到 CG与 EF 。ABCDMEABCDMEFAEBDFCAEBDFCHGAEBDFCABDFCG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
10、纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页（3）任意相似直角三角形360旋转模型 - 补全法【条件】： OAB ODC ； OAB= ODC=90 ； BE=CE ；【结论】： AE=DE ； AED=2 ABO 辅助线：延长BA到 G，使 AG=AB ，延长 CD到点 H使 DH=CD ，补全 OGB 、 OCH 构造旋转模型。转化AE与 DE到 CG与 BH ，难点在转化AED 。（4）任意相似直角三角形360旋转模型 - 倍长法【条件】： OAB ODC ； OAB= ODC=90 ； BE=CE ；【结论】： AE=DE ； AED=2 ABO 辅助线：延长DE至 M
11、，使 ME=DE ，将结论的两个条件转化为证明AMD ABO ，此为难点，将 AMD ABC 继续转化为证明ABM AOD ，使用两边成比例且夹角相等，此处难点在证明 ABM= AOD 模型七：最短路程模型（1）最短路程模型一（将军饮马类）总结：右四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到： “两点之间，线段最短：解决；特点：动点在直线上；起点，终点固定OABDCEOABDCEGHOABDCEOABDCEMABBPlPA+PB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页（2）最短路程模型二（点到直线类1）【条件】： OC
12、平分 AOB ； M为 OB上一定点；P为 OC上一动点；Q为 OB上一动点；【问题】：求 MP+PQ 最小时， P、Q的位置？辅助线：将作Q关于 OC对称点 Q，转化PQ =PQ ，过点 M作 MH OA ，则 MP+PQ=MP+PQMH( 垂线段最短）（3）最短路程模型二（点到直线类2）【条件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n）【问题】：n 为何值时，PA55PB最小？求解方法： x 轴上取 C(2,0),使 sin OAC=55；过 B作 BD AC ，交 y 轴于点 E，即为所求； tan EBO=tanOAC=21，即 E（0， 1）AAPQBBl2l1PA+PQ+BQAA
13、PQBBlAAPQBl1l2PA+PQ+BQPA+PQ+BQAPOQMBQHPAxyOBPAxyOBPACDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页（4）最短路程模型三（旋转类最值模型）【条件】：线段OA=4 ， OB=2 ； OB绕点 O在平面内360旋转；【问题】：AB的最大值，最小值分别为多少？【结论】：以点 O为圆心， OB为半径作圆，如图所示，将问题转化为“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。最大值： OA+OB ；最小值： OA-OB 【条件】：线段OA=4 ， OB=2 ；以点O为圆心， OB
14、 ， OC为半径作圆；点 P是两圆所组成圆环内部（含边界）一点；【结论】：若 PA的最大值为10，则 OC= 6 ；若 PA的最小值为1，则 OC= 3 ；若 PA的最小值为2，则 PC的取值范围是 0PC2 【条件】： RtOBC ， OBC=30 ；OC=2 ； OA=1 ；点 P为 BC上动点（可与端点重合）； OBC绕点 O旋转【结论】：PA最大值为OA+OB=321；PA的最小值为13OAOB21如下图，圆的最小半径为O到 BC垂线段长。OAB最小值位置最大值位置BCAOPAOBPCAOPBC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
15、 9 页，共 11 页模型八：二倍角模型【条件】：在 ABC中， B=2C；辅助线：以BC的垂直平分线为对称轴，作点A的对称点A ，连接AA 、 BA 、 CA 、则 BA=AA =CA ( 注意这个结论）此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，不是唯一作法。模型九：相似三角形模型（1）相似三角形模型- 基本型平行类： DE BC ； A字型 8字型 A字型结论：BCDEACAEABAD( 注意对应边要对应）（2）相似三角形模型- 斜交型【条件】：如右图， AED= ACB=90 ；【结论】：AE AB=AC AD 【条件】：如右图， ACE= ABC ；【结论】：AC2=AE AB
16、 第四个图还存在射影定理：AE EC=BC AC ；BC2=BEBA ；CE2=AE BE ；ABCABCAABCDEADEBCADEBCABCDEABCDE斜交型斜交型ABCEABCE斜交型双垂型精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页（3）相似三角形模型- 一线三等角型【条件】： （1）图： ABC= ACE= CDE=90 ；（2）图： ABC= ACE= CDE=60 ；（3）图： ABC= ACE= CDE=45 ；【结论】： ABC CDE ； AB DE=BC CD ；一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。（4）相似三角形模型- 圆幂定理型【条件】： （2）图： PA为圆的切线；【结论】： （1）图： PA PB=PC PD；（2）图： PA2=PC PB; （3）图： PA PB=PC PD；以上结论均可以通过相似三角形进行证明。ABCDE图（1）ABCDE图（2）ABCDE图（3）ABCDP图（1）APCB图（2）PABCD图（3）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页