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1、第二章实数【知识网络】【知识梳理 】一数的开方主要知识点：【平方根】 如果一个数x 的平方等于a，那么，这个数x 就叫做 a 的平方根；也即，当)0(2aax时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(aax。因此：1.当 a=0 时，它的平方根只有一个，也就是0 本身；2.当 a0 时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：ax。3.当 a0 时，也即a 为负数时，它不存在平方根。例 1. （1）的平方是64 ，所以 64 的平方根是；（2）的平方根是它本身。（3）若x的平方根是 2 ，则 x= ；16的平方根是（4）当 x 时，x23有意义。（5）一个正数的平方根
2、分别是m 和 m-4 ，则 m 的值是多少？这个正数是多少？【算术平方根】 ：（1）如果一个正数x 的平方等于a，即ax2，那么，这个正数x 就叫做 a 的算术平方根，记为：“a” ，读作，“ 根号 a” ，其中， a 称为被开方数。特别规定：0 的算术平方根仍然为0。（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0 aa。（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数， 它只表示为：a； 而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a。例 2. （1）下列说法正确的是（）精选学习资料 - - - - -
3、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页A1 的立方根是1；B24；（C） 、81的平方根是3；（ D） 、0 没有平方根；（2）下列各式正确的是（）A、981B、14. 314.3C、3927D、235（3）2) 3(的算术平方根是。（4）若xx有意义，则1x_。（5）已知 ABC 的三边分别是,cba且ba,满足0)4(32ba，求 c 的取值范围。（6）已知： A=yxyx3是3yx的算术平方根，B=322yxyx是yx2的立方根。求AB 的平方根。（7） （提高题）如果x、y 分别是 43 的整数部分和小数部分。求x y 的值 . 【立方根】（1
4、）如果 x 的立方等于a，那么，就称x 是 a 的立方根，或者三次方根。记做：3a，读作， 3 次根号 a。注意：这里的 3 表示的是根指数。一般的，平方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。（2）平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。例 3. （1）64 的立方根是（2）若9 .28,89.233aba，则 b 等于（）A. 1000000B. 1000C. 10 D. 10000 （3）下列说法中：3都是 27 的立方根，yy33，64的立方根是2，4832。其中正确的有（）A、 1个B、2
5、 个C、3 个D、 4 个【无理数 】（1）无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“ 无限 ” 以及 “ 不循环 ” 这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种： （1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等； （2）开方开不尽的数，如 :39,5,2等； （3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01（两个 1 之间依次多1 个 0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：（2） 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的
6、形式（整数可以看成是分母为1 的分数），而无理数则不能写成分数形式。例 4. （1）下列各数：3.141、 0.33333 、75、 、252.、32、 0.3030003000003（相邻两个3 之间 0 的个数逐次增加2） 、 其中是有理数的有；是无理数的有。（填序号）（2）有五个数 :0.125125 ,0.1010010001 ,-,4,32其中无理数有( )个A 2 B 3 C4 D 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页【实数】（1） 有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；
7、绝对值最小的实数是0，最大的负整数是 -1，最小的正整数是1. （2）实数的性质：实数a 的相反数是 -a；实数 a 的倒数是a1（a0 ） ；实数 a 的绝对值 |a|=)0()0(aaaa，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。（3）实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0 大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数） 。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。（4）实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和
8、运算顺序与有理数的一致。例 5. （1）下列说法正确的是（） ；A、任何有理数均可用分数形式表示；B、数轴上的点与有理数一一对应；C、1 和 2 之间的无理数只有2；D、不带根号的数都是有理数。（ 2） a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( ) A、baB、abC、baD、ab（2012 山东省聊城， 10，3 分）如右图所示的数轴上，点 B 与点 C 关于点 A 对称， A、B 两点对应的实数是3和-1，则点 C 所对应的实数是（）A. 1+3B. 2+3C. 23-1 D. 23+1 （ 2012湖南省张家界市6 题 3 分） 实数a、b在轴上的位置如图所示，且ba，则化
9、简baa2的结果为（）Aba2B.ba2C .bD.ba2（3）比较大小 (填“”或“0，则 ab=1； （）2把下列各数分别填入相应的集合里|3| ，213， 1234 ，227,0，9 ,318, 2,8 , (2 3 )0，32，1.2121121112 中无理数集合负分数集合整数集合非负数集合*3 已知 1x2 ，则|x 3|+(1-x)2等于（）（A）2x（B）2（C）2x（D）2 4下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？3, 2 1， 3， 03，31，1 + 2 ，313互为相反数：；互为倒数：互为负倒数：*5 已知、是实数，且（X2 ）2和 2互为相反数，求
10、， y 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页6.若,b 互为相反数， c,d 互为倒数， m 的绝对值是 2，则|a+b|2m2+1+4m-3cd= 。*7 已知（ 3）224a+20，则 = 。三、解题指导：1下列语句正确的是（）（A）无尽小数都是无理数（B）无理数都是无尽小数（C）带拫号的数都是无理数（D）不带拫号的数一定不是无理数。2和数轴上的点一一对应的数是（）（A）整数（B）有理数（C）无理数（D）实数3零是（）（A） 最小的有理数（B）绝对值最小的实数（C）最小的自然数（D）最小的整数4.如果 a 是实
11、数，下列四种说法：（1）2和都是正数；（2），那么一定是负数，（3）的倒数是1a；（4）和的两个分别在原点的两侧，几个是正确的（）（A）0（B）1（C）2（D）3 *5 比较下列各组数的大小： （1）3445(2) 323 12 (3)ab0 时, 1a1b6若 a,b 满足|4-a2|+a+ba+2=0,则2a+3ba的值是*7实数a,b,c在数轴上的对应点如图，其中O是原点，且|a|=|c| （1） 判定 a+b,a+c,c-b 的符号（2） 化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b| *8 数轴上点 A 表示数 1，若 AB3，则点 B 所表示的数为9已知 x0，且 y|x| ，用连
12、结 x，x，|y| ，y。10最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页11（ 2011 广东茂名， 9，3 分）对于实数a、b，给出以下三个判断：若ba，则ba若ba，则ba若ba，则22)(ba其中正确的判断的个数是（）A3 B2 C1 D0 12（2012 江苏省淮安市，16，3 分） 若5 的值在两个整数a 与 a+1 之间，则a= *13.数轴上作出表示2 ，3 ，5 的点。四独立训练：10 的相反数是，3的相反数是，38 的相反数是；的绝对值是，0
13、的绝对值是，2 3 的倒数是2数轴上表示 32 的点它离开原点的距离是。A 表示的数是12，且 AB13，则点 B 表示的数是。333 , ,(12 )o,227,01313 ,2cos60o, 31 ,1101001000 (两 1之间依次多一个 0),中无理数有，整数有，负数有。4. 若 a 的相反数是 27，则 a| ；5若|a| 2 ，则 a= 5若实数 x，y 满足等式（ x3）24y0，则 xy 的值是6实数可分为（） （A）正数和零（ B）有理数和无理数（ C）负数和零（D）正数和负数*7 若 2a 与 1a 互为相反数，则a 等于（）（A）1（B）1（C）12（D）138当 a
14、 为实数时，a2=a 在数轴上对应的点在（）(A)原点右侧（ B）原点左侧（ C）原点或原点的右侧（ D）原点或原点左侧*9 代数式的所有可能的值有（）（A）2 个（B）3 个（C）4 个（D）无数个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页10已知实数 a、b 在数轴上对应点的位置如图（1）比较 ab 与 a+b 的大小（2）化简 |b a|+|a+b| 11实数、在数轴上的对应点如图所示，其中试化简：2*12 已知等腰三角形一边长为，一边长，且（2）2920 。求它的周长。13若 3， 5 为三角形三边，化简：（2）2（ 8）2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页