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1、2第四章第四章 复杂电力系统潮流的计复杂电力系统潮流的计算机算法算机算法 基本要求：本章着重介绍运用电子计算机计算基本要求：本章着重介绍运用电子计算机计算电力系统潮流分布的方法。它是复杂电力系统稳态和电力系统潮流分布的方法。它是复杂电力系统稳态和暂态运行的基础。暂态运行的基础。 运用计算机计算的步骤，一般包括建立数学模运用计算机计算的步骤，一般包括建立数学模型，确定解算方法，制定框图和编制程序，本章着重型，确定解算方法，制定框图和编制程序，本章着重前两步。前两步。94444343242434333232424323222121121211100 IUYUYUYUYUYUYUYUYUYUYIUY
2、UY 一、节点电压方程一、节点电压方程1、节点导纳方程、节点导纳方程1034244044342330331224232022121011yyyYyyyYyyyyYyyY 其中其中344334244224233223122112yYYyYYyYYyYY 一、节点电压方程一、节点电压方程1、节点导纳方程、节点导纳方程11nnnnnnnnnnIUYUYUYIUYUYUYIUYUYUY 221122222121112121111、节点导纳方程、节点导纳方程n 个独立节点的网络，个独立节点的网络，n 个节点方程个节点方程一、节点电压方程一、节点电压方程12 nnnnnnnnIIIUUUYYYYYYYYY
3、2121212222111211n 个独立节点的网络，个独立节点的网络，n 个节点方程个节点方程一、节点电压方程一、节点电压方程1、节点导纳方程、节点导纳方程13IYU n 个独立节点的网络，个独立节点的网络，n 个节点方程个节点方程Y 节点导纳矩阵节点导纳矩阵Yii 节点节点i的自导纳的自导纳Yij 节点节点i、j间的互导纳间的互导纳一、节点电压方程一、节点电压方程1、节点导纳方程、节点导纳方程14kjUkiikikikjkjUIYniIUYkjnjUU ,0), 2 , 1( ), 2 , 1( 0 , 0Y Y 矩阵元素的物理意义矩阵元素的物理意义一、节点电压方程一、节点电压方程1、节点
4、导纳方程、节点导纳方程15 jkjkkkkjUkkkkyyYUIYkiif j0),0( Y Y 矩阵元素的物理意义矩阵元素的物理意义 自导纳自导纳Ykk：当网络中除节点当网络中除节点k以外以外所有节点都接地时，从节点所有节点都接地时，从节点k注入网络的电流同施加于节注入网络的电流同施加于节点点k的电压之比的电压之比Ykk：节点节点k以外的所有节点以外的所有节点都接地时节点都接地时节点k对地的总导纳对地的总导纳一、节点电压方程一、节点电压方程1、节点导纳方程、节点导纳方程16ikkiikkikiyYYUIYkiif Y Y 矩阵元素的物理意义矩阵元素的物理意义 互导纳互导纳Yki：当网络中除节
5、点当网络中除节点k以外所有以外所有节点都接地时，从节点节点都接地时，从节点i注入网注入网络的电流同施加于节点络的电流同施加于节点k的电压的电压之比之比节点节点i的电流实际上是自网络流的电流实际上是自网络流出并进入地中的电流，所以出并进入地中的电流，所以Yki应应等于节点等于节点k、i之间导纳的负值之间导纳的负值一、节点电压方程一、节点电压方程1、节点导纳方程、节点导纳方程17一、节点电压方程一、节点电压方程1 1、节点导纳矩阵、节点导纳矩阵Y3I4y10y12y20y23y34y40y30I1124节点导纳矩阵中自导纳节点导纳矩阵中自导纳和互导纳的确定和互导纳的确定18一、节点电压方程一、节点
6、电压方程1 1、节点导纳矩阵、节点导纳矩阵Y)0(4444321 UUUUIY0443442441444yUyUyUyUI 4034241444yyyyY 1234y10y12y20y23y24y34y401I3I2I4I4U1U3U2Uy30节点导纳矩阵中自导纳节点导纳矩阵中自导纳和互导纳的确定和互导纳的确定19一、节点电压方程一、节点电压方程1 1、节点导纳矩阵、节点导纳矩阵Y)0(4114321 UUUUIY01 I014 Y1234y10y12y20y23y24y34y401I3I2I4I4U1U3U2Uy30节点导纳矩阵中自导纳节点导纳矩阵中自导纳和互导纳的确定和互导纳的确定20一、
7、节点电压方程一、节点电压方程1 1、节点导纳矩阵、节点导纳矩阵Y)0(4224321 UUUUIY2442yUI 2424yY 1234y10y12y20y23y24y34y401I3I2I4I4U1U3U2Uy30节点导纳矩阵中自导纳节点导纳矩阵中自导纳和互导纳的确定和互导纳的确定21一、节点电压方程一、节点电压方程1 1、节点导纳矩阵、节点导纳矩阵Y)0(4334321 UUUUIY3443yUI 3434yY 1234y10y12y20y23y24y34y401I3I2I4I4U1U3U2Uy30节点导纳矩阵中自导纳节点导纳矩阵中自导纳和互导纳的确定和互导纳的确定22节点导纳矩阵节点导纳
8、矩阵Y 的特点的特点 直观易得直观易得 稀疏矩阵稀疏矩阵 对称矩阵对称矩阵一、节点电压方程一、节点电压方程23UZI Z Z 矩阵元素的物理意义矩阵元素的物理意义IYU nnnnnnnnUUUIIIZZZZZZZZZ2121212222111211一、节点电压方程一、节点电压方程2 2、节点阻抗矩阵、节点阻抗矩阵24UZI Z = Y -1 节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵Zii 节点节点i的自阻抗或输入阻抗的自阻抗或输入阻抗Yij 节点节点i、j间的互阻抗或间的互阻抗或转移阻抗转移阻抗Z Z 矩阵元素的物理意义矩阵元素的物理意义一、节点电压方程一、节点电压方程2 2、节点阻抗矩阵、节点阻抗矩阵25k
9、jIkiikikikjkjIUZniUIZkjnjII ,0), 2 , 1( ), 2 , 1( 0 , 0Z Z 矩阵元素的物理意义矩阵元素的物理意义一、节点电压方程一、节点电压方程2 2、节点阻抗矩阵、节点阻抗矩阵26kjIkkkkjIUZikif ,0 在节点在节点 k 单独注入电流，所单独注入电流，所有其它节点的注入电流都等有其它节点的注入电流都等于于 0 时，在节点时，在节点 k 产生的电产生的电压同注入电流之比压同注入电流之比从节点从节点 k 向整个网络看进去向整个网络看进去的对地总阻抗的对地总阻抗Z Z 矩阵元素的物理意义矩阵元素的物理意义一、节点电压方程一、节点电压方程2 2
10、、节点阻抗矩阵、节点阻抗矩阵27kjIkiikjIUZikif ,0 在节点在节点 k 单独注入电流，所单独注入电流，所有其它节点的注入电流都等有其它节点的注入电流都等于于 0 时，在节点时，在节点 i 产生的电产生的电压同注入电流之比压同注入电流之比Z Z 矩阵元素的物理意义矩阵元素的物理意义互阻抗互阻抗一、节点电压方程一、节点电压方程2 2、节点阻抗矩阵、节点阻抗矩阵28一、节点电压方程一、节点电压方程2 2、节点阻抗矩阵、节点阻抗矩阵1234I1I4z10z12z20z23z24z34z40z30节点阻抗矩阵中自阻抗节点阻抗矩阵中自阻抗和互阻抗的确定和互阻抗的确定29)0(4444321
11、 IIIIUZ一、节点电压方程一、节点电压方程2 2、节点阻抗矩阵、节点阻抗矩阵1234z10z12z20z23z24z34z404I1U3U2Uz30节点阻抗矩阵中自阻抗节点阻抗矩阵中自阻抗和互阻抗的确定和互阻抗的确定30一、节点电压方程一、节点电压方程2 2、节点阻抗矩阵、节点阻抗矩阵)0(4114321 IIIIUZ1234z10z12z20z23z24z34z404I1U3U2Uz30节点阻抗矩阵中自阻抗节点阻抗矩阵中自阻抗和互阻抗的确定和互阻抗的确定31一、节点电压方程一、节点电压方程2 2、节点阻抗矩阵、节点阻抗矩阵)0(4224321 IIIIUZ1234z10z12z20z23
12、z24z34z404I1U3U2Uz30节点阻抗矩阵中自阻抗节点阻抗矩阵中自阻抗和互阻抗的确定和互阻抗的确定32一、节点电压方程一、节点电压方程2 2、节点阻抗矩阵、节点阻抗矩阵)0(4334321 IIIIUZ1234z10z12z20z23z24z34z404I1U3U2Uz30节点阻抗矩阵中自阻抗节点阻抗矩阵中自阻抗和互阻抗的确定和互阻抗的确定33Z Z 矩阵的特点矩阵的特点 复杂难求复杂难求（Y1，支路追加法）支路追加法） 满矩阵满矩阵一、节点电压方程一、节点电压方程2 2、节点阻抗矩阵、节点阻抗矩阵34二、回路电流方程二、回路电流方程回路阻抗矩阵回路阻抗矩阵1234z10z12z20
13、z23z24z34z40z30+-aEbEaIbIcIdIdcbdcbadcbbcaaIzzzIzIzIzIzzzIzIzIzIzIzzzEIzIzzzE)(0)(0)()(3424232334233023203020343030344020202110 35二、回路电流方程二、回路电流方程回路阻抗矩阵回路阻抗矩阵dddccdbbddcdcccbbcadbdcbcbbbbcacaaaaIZIZIZIZIZIZIZIZIZIZEIZIZE 002036mmmmbmbamabmbmbbbabaamambabaaaEIZIZIZEIZIZIZEIZIZIZ m 个独立回路的网络，个独立回路的网络，m
14、个节点方程个节点方程二、回路电流方程二、回路电流方程回路阻抗矩阵回路阻抗矩阵37 mbambammmbmabmbbbaamabaaEEEIIIZZZZZZZZZm 个独立回路的网络，个独立回路的网络，m 个节点方程个节点方程二、回路电流方程二、回路电流方程回路阻抗矩阵回路阻抗矩阵38LLLEIZ m 个独立回路的网络，个独立回路的网络，m 个节点方程个节点方程ZL 回路阻抗矩阵回路阻抗矩阵IL 回路电流列相量；回路电流列相量；（习惯取顺时针的电流流向为正习惯取顺时针的电流流向为正）EL 回路电压源电势的列相量，与回路电压源电势的列相量，与IL方向方向一致为正。一致为正。二、回路电流方程二、回路
15、电流方程回路阻抗矩阵回路阻抗矩阵39Z ZL L 矩阵元素的物理意义矩阵元素的物理意义Zii：自阻抗，自阻抗，环绕回路环绕回路i所有支路阻抗的所有支路阻抗的总和；总和；Zij：互阻抗互阻抗，回路，回路i和回路和回路j共有的阻抗，共有的阻抗，其中其中ZijZji，如回路如回路j、i无共有阻抗，无共有阻抗，则则ZijZji0二、回路电流方程二、回路电流方程回路阻抗矩阵回路阻抗矩阵40二、回路电流方程二、回路电流方程回路阻抗矩阵回路阻抗矩阵Z ZL L 矩阵的特点矩阵的特点 对称矩阵对称矩阵 稀疏矩阵稀疏矩阵41三、三、节点导纳矩阵节点导纳矩阵Y 矩阵的修改矩阵的修改不同的运行状态，不同的运行状态，
16、（如不同结线方式下的运行状况、（如不同结线方式下的运行状况、变压器的投切或变比的调整等）变压器的投切或变比的调整等） 改变一个支路的参数或它的投切只影响该支改变一个支路的参数或它的投切只影响该支路两端节点的自导纳和它们之间的互导纳，因此路两端节点的自导纳和它们之间的互导纳，因此仅需对原有的矩阵作某些修改。仅需对原有的矩阵作某些修改。42三、三、节点导纳矩阵节点导纳矩阵Y 矩阵的修改矩阵的修改电力网电力网ijijijYYY )0(不同的运行状态，不同的运行状态，（如不同（如不同结线方式下的运行状况、变压器结线方式下的运行状况、变压器的投切或变比的调整等）的投切或变比的调整等）YYY )0(43三
17、、三、节点导纳矩阵节点导纳矩阵Y 矩阵的修改矩阵的修改 nnnjninnjnjjjijjinijiiiinjinjiYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY21212122222211111211) 0(电力网电力网44电力网电力网yikikY 增加一行一列（增加一行一列（n1）（）（n1）iiiiiiikiiikkiikikkkYYYyYyYYyY )0(（1）从原网络引出一条支路增加一个节点）从原网络引出一条支路增加一个节点三、三、节点导纳矩阵节点导纳矩阵Y 矩阵的修改矩阵的修改45Y 阶次不变阶次不变ijjiijijjjiiyYYyYY 电力网电力网yijij三、三、节点导纳
18、矩阵节点导纳矩阵Y 矩阵的修改矩阵的修改（2）在原有网络节点）在原有网络节点i、j之间增加一条支路之间增加一条支路ijijjiijiiiiiiYYYYYYY )0()0(46Y 阶次不变阶次不变ijjiijijjjiiyYYyYY yij电力网电力网ij（3）在原有网络的节点）在原有网络的节点i、j之间切除一条支路之间切除一条支路三、三、节点导纳矩阵节点导纳矩阵Y 矩阵的修改矩阵的修改ijijjiijiiiijjiiYYYYYYYY )0()0(47三、三、节点导纳矩阵节点导纳矩阵Y 矩阵的修改矩阵的修改电力网电力网ij-yijyij（4）在原有网络的节点）在原有网络的节点i、j之间的导纳由之
19、间的导纳由yij改变为改变为yijijijjjijijjiijijijiiyyYyyYYyyY ijijjiijiiiijjiiYYYYYYYY )0()0(48三、三、节点导纳矩阵节点导纳矩阵Y 矩阵的修改矩阵的修改（5）在原有网络的节点）在原有网络的节点i、j之间变压器的变比由之间变压器的变比由k*改变为改变为k*ZZijk*:1ZTZZijyT/k*2*1kkyT *1kkyT 49三、三、节点导纳矩阵节点导纳矩阵Y 矩阵的修改矩阵的修改（5）在原有网络的节点）在原有网络的节点i、j之间变压器的变比由之间变压器的变比由k*改变为改变为k*TTTTTiiykkkkykykkykyY)11(
20、)1()1(2*2*2*2* 0)1()1(* kkykykkykyYTTTTjj*kykyYYTTijij 504 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程、功率方程GG12111GGGjQPS 222GGGjQPS 111LLLjQPS 222LLLjQPS 1U2U等值电源功率等值电源功率等值负荷功率等值负荷功率（a）简单系统）简单系统514 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程、功率方程GG12111GGGjQPS 22
21、2GGGjQPS 111LLLjQPS 222LLLjQPS 1U2Uy10y20y12（b）简单系统的等值网络）简单系统的等值网络524 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程、功率方程12111LGSSS 1U2Uy10y20y12111LGIII 222LGIII 222LGSSS )90(122012102211sjseyyyyyYY )90(121212mjmeyyYY （c）注入功率和注入电流）注入功率和注入电流534 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类
22、一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程、功率方程12111LGSSS 1U2Uy10y20y12111LGIII 222LGIII 222LGSSS 1*1*1212111USIUYUY 111 jeUU 222 jeUU （c）注入功率和注入电流）注入功率和注入电流2*2*2222121USIUYUY 544 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程、功率方程2*2222*1212*1*2121*1111*UUYUUYSUUYUUYS 22*22*21*21*212*12*11*11*1UUYUUYSUUY
23、UUYS 22)90()(12)90(22)(12)90(21)90(112121UeyeUUeyjQPeUUeyUeyjQPsmmsjsjjmjjmjs554 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程、功率方程 mmssmmssLGUUyUyUUyUyPPP )(sinsin)90cos()90cos(212121212121111 mmssmmssLGUUyUyUUyUyQQQ )(coscos)90sin()90sin(121222121222111 mmssmmssLGUUyUyUUyUyPPP )(si
24、nsin)90cos()90cos(121222121222222 mmssmmssLGUUyUyUUyUyQQQ )(coscos)90sin()90sin(212121212121111564 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程、功率方程)cos(cos)sin(sin211221111211221111mmssLGmmssLGUUyUyQQQUUyUyPPP )cos(cos)sin(sin121222222121222222mmssLGmmssLGUUyUyQQQUUyUyPPP mmssLLGGm
25、mssLLGGUUyUUyQQQQUUyUUyPPPP cos)cos(2)(cossin)cos(2)(sin211222212121211222212121 574 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类一、功率方程和变量、节点的分类1、功率方程、功率方程mmssmmssUUyUUyQUUyUUyP cos)cos(2)(cos)sin)cos(2)(sin2112222121122221 决定功率大小的是相对相位角或相对决定功率大小的是相对相位角或相对功率角功率角)(21 有功、无功功率损耗为：有功、无功功率损耗为：584 42 2 功率方程及其
26、迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类一、功率方程和变量、节点的分类2、变量的分类、变量的分类除网络参数外，共有十二个变量除网络参数外，共有十二个变量 （1）负荷消耗的有功、无功功率）负荷消耗的有功、无功功率PL1、PL2、QL1、QL2。取决于用户，不可控变量或扰动变量，用列向量取决于用户，不可控变量或扰动变量，用列向量d表示。表示。 （2）电源发出的有功、无功功率）电源发出的有功、无功功率PG1、PG2、QG1、QG2。控制变量，用列向量控制变量，用列向量表示。表示。 （3）母线或节点电压的大小和相位角）母线或节点电压的大小和相位角U1、U2、1、2。状态变量或受控变量
27、，状态变量或受控变量，UQ， P，用列向量，用列向量x表示。表示。594 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类一、功率方程和变量、节点的分类2、变量的分类、变量的分类对于对于n个节点，变量数增为个节点，变量数增为6n，其中，其中d、x各各2n个。个。 将上述变量进行分类后，只要已知或给定将上述变量进行分类后，只要已知或给定扰动变量和控制变量，就可运用功率方程式解扰动变量和控制变量，就可运用功率方程式解出状态变量出状态变量U，。 但是当但是当1 、2 变化同样大小时，功变化同样大小时，功率的数值不变，从而不可能求出绝对相率的数值不变，从而不可能求出绝对
28、相位角，相应的功率损耗也不能确定。位角，相应的功率损耗也不能确定。?604 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类一、功率方程和变量、节点的分类2、变量的分类、变量的分类 为克服上述困难，在一个具有为克服上述困难，在一个具有n个节点的系统中，个节点的系统中，对变量的给定稍作调整：对变量的给定稍作调整： （1）只给定（）只给定（n-1)对控制变量对控制变量PGi、QGi，余下，余下一对控制变量一对控制变量PGs、QGs待定，以使系统功率保持平待定，以使系统功率保持平衡；衡； （2）给定一对）给定一对s、Us，其中；，其中； PLi、QLi均为已知。均为已
29、知。求解（求解（n-1)对状态变量及一对待定的控制变量对状态变量及一对待定的控制变量 00 . 1sssUU 614 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类一、功率方程和变量、节点的分类2、变量的分类、变量的分类得出的解应满足如下约束条件：得出的解应满足如下约束条件：控控制制变变量量maxminGiGiGiPPP maxminGiGiGiQQQ 取决于一系列的技术经济因素取决于一系列的技术经济因素00 GiGiQP、无无电电源源的的节节点点：624 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类一、功率方程和变量、节点
30、的分类2、变量的分类、变量的分类得出的解应满足如下约束条件：得出的解应满足如下约束条件：节点状节点状态变量态变量保保证证系系统统的的稳稳定定性性良良好好的的电电压压质质量量maxmaxminjijiiiiUUU 扰动变量扰动变量不不可可控控、LiLiQP634 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量、节点的分类一、功率方程和变量、节点的分类3、节点的分类、节点的分类为为定定值值，以以保保证证即即电电源源可可调调节节、而而是是、有有些些节节点点iGiiGiiGiiiGiGiUQQUPUQP 644 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法一、功率方程和变量
31、、节点的分类一、功率方程和变量、节点的分类3、节点的分类、节点的分类 (1) PQ节点：节点：PLi、QLi；PGi、QGi，即相应的，即相应的Pi、Qi给定，待求给定，待求Ui、i。如按给定有功、无功发电的发电厂。如按给定有功、无功发电的发电厂母线和没有其他电源的变电所母线母线和没有其他电源的变电所母线 (2) PU节点：节点： PLi、 PGi ，从而，从而Pi给定；给定； QLi 、Ui给定。给定。即相应的即相应的Pi、Ui给定，待求给定，待求QGi、i。如有一定无功储备。如有一定无功储备电源变电所母线（很少，甚至没有）。电源变电所母线（很少，甚至没有）。 (3) 平衡平衡节点：节点：
32、一般只有一个。设一般只有一个。设s节点为平衡节点，节点为平衡节点，则：则： PLs、QLs ；Us 、 s 给定，给定， Us 1.0， s 0。待求。待求PGs、QGs。654 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭代法二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性，（既可解线性，也可解非线性方程）也可解非线性方程）333323213123232221211313212111yxaxaxayxaxaxayxaxaxa 设有方程组设有方程组664 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭代法二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性，（既可解线性，也可解非线性方程
33、）也可解非线性方程）（）（）（可可改改写写为为：223131333332312122223132121111111xaxayaxxaxayaxxaxayax674 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭代法二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性，（既可解线性，也可解非线性方程）也可解非线性方程）（）（）（迭代格式为：迭代格式为：（)1223)1131333)13)(323)1121222)12)(313(212111)1111)1 kkkkkkkkkxaxayaxxaxayaxxaxayax684 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭代法二、
34、高斯赛德尔迭代法（既可解线性，（既可解线性，也可解非线性方程）也可解非线性方程）若式中的若式中的aij对于对于Yij、xi对应对应Ui，yi对应对应 iiUS个个节节点点：则则对对于于第第iUSUYBBB* nijjjijiiiiiiiiinijjjijiiiUYUjQPYUUjQPUYUY111694 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭代法二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性，（既可解线性，也可解非线性方程）也可解非线性方程） 此时可用迭代法求解。如设节点此时可用迭代法求解。如设节点1为平衡节点，其为平衡节点，其余为余为PQ节点，则有：节点，则有： )(3)1(2
35、32131)(33333)1(3)(2)(323121)(22222)1(211knnkkkknnkkkUYUYUYUjQPYUUYUYUYUjQPYU704 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭代法二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性，（既可解线性，也可解非线性方程）也可解非线性方程） 此时可用迭代法求解。如设节点此时可用迭代法求解。如设节点1为平衡节点，其为平衡节点，其余为余为PQ节点，则有：节点，则有： ) 1(11) 1(2211)() 1()()(11) 1(1111)() 1(11knnnknnknnnnnknkninkiiikiiiikiiiiikiUY
36、UYUYUjQPYUUYUYUYUYUjQPYU714 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭代法二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性，（既可解线性，也可解非线性方程）也可解非线性方程） 此时可用迭代法求解。如设节点此时可用迭代法求解。如设节点1为平衡节点，其为平衡节点，其余为余为PQ节点，则有：节点，则有：；，一一般般先先假假设设一一组组）（）（ 00 . 1), 3 , 2 , 1()1(00iiUniU；计计算算), 3 , 2 , 1()2()1(niUi ）。式式不不满满足足，则则回回到到（给给定定的的允允许许误误差差；如如该该为为事事先先，检检验验）（2),
37、 3 , 2 , 1()3()(1 niUUkiki 计算步骤为：计算步骤为：724 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭代法二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性，（既可解线性，也可解非线性方程）也可解非线性方程）对各类节点的计算和处理对各类节点的计算和处理 由于节点的类型不同，已知条件和求解对象不同，由于节点的类型不同，已知条件和求解对象不同，约束条件不同，在计算过程中的处理不同。约束条件不同，在计算过程中的处理不同。（1）PQ节点：按标准迭代式直接迭代；节点：按标准迭代式直接迭代；（2）PV节点：已知的式节点：已知的式Pp和和Up，求解的是，求解的是Qp，p；按；
38、按标准迭代式算出标准迭代式算出Up (k)， p (k)后，首先修正后，首先修正:)()(kppkpUU 然后修正然后修正)(ImIm)(*)1(*12*1*1*)()(*)()(kjnpjpikjpjpipkpkpkpkpUYUYUYUIUQ 734 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法二、高斯赛德尔迭代法二、高斯赛德尔迭代法（既可解线性，（既可解线性，也可解非线性方程）也可解非线性方程）对各类节点的计算和处理对各类节点的计算和处理检查无功是否越限，如越限，取限值检查无功是否越限，如越限，取限值,此时：此时：PVPQmax)(minpkppQQQ )1()( kpkpUQ计算计
39、算然后再用然后再用 )()(11) 1(1111)() 1()(1knpnkpppkppppkpppppkpUYUYUYUYUjQPYUk744 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法三、牛顿拉夫逊迭代法三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线（常用于解非线性方程）性方程）原理：原理：求解此方程。求解此方程。设有非线性方程设有非线性方程0)( xf将将满满足足，则则真真解解，它它与与真真解解的的误误差差为为先先给给定定解解的的近近似似值值,)0()0()0()(xxxxxo 0)()0()0( xxf按泰勒级数展开，并略去高次项按泰勒级数展开，并略去高次项0)()()0()0()0( x
40、xfxf754 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法三、牛顿拉夫逊迭代法三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线（常用于解非线性方程）性方程）原理：原理：)()()0()0()0(xfxfx )0()0()1(xxx 修正修正)()()1()1()1(xfxfx 2)(1)()( kkxxf或或直直至至)(kx)1( kx)2( kx)3( kx764 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法三、牛顿拉夫逊迭代法三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线（常用于解非线性方程）性方程）nnnnnyxxxfyxxxfyxxxf ）非非线线性性方方程程组组：,(,(,(2122121211
41、774 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法三、牛顿拉夫逊迭代法三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线（常用于解非线性方程）性方程），则则有有：，与与精精确确解解相相差差。设设近近似似解解，其其近近似似解解为为nnxxxxxx 21)0()0(2)0(1nnnnnnnnyxxxxxxfyxxxxxxfyxxxxxxf ）)0(2)0(21)0(12)0(2)0(21)0(121)0(2)0(21)0(11,(,(,(784 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法三、牛顿拉夫逊迭代法三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线（常用于解非线性方程）性方程）：将将上上式式按按泰泰勒勒级
42、级数数展展开开iinniiininniyxxfxxfxxfxxxfxxxxxxf 0202101) 0() 0(2) 0(1) 0(2) 0(21) 0(1,(,(）794 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法三、牛顿拉夫逊迭代法三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线（常用于解非线性方程）性方程）由由此此可可得得：nnnnnnnnnnnnnnyxxfxxfxxfxxxfyxxfxxfxxfxxxfyxxfxxfxxfxxxf 0202101) 0() 0(2) 0(120220221012) 0() 0(2) 0(1210120211011) 0() 0(2) 0(11,(,(,(）
43、804 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法三、牛顿拉夫逊迭代法三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线（常用于解非线性方程）性方程）为为：线线性性方方程程或或修修正正方方程程组组 nnnnnnnnnnnnxxxxfxfxfxfxfxfxfxfxfxxxfyxxxfyxxxfy21002010202201201021011) 0() 0(2) 0(1) 0() 0(2) 0(122) 0() 0(2) 0(111,(,(,(）81例题：如图所示，母线例题：如图所示，母线1为平衡节点，为平衡节点，10，U11.0，母线，母线2为为PV节点，节点，U20.95，P2PG2PL2422，母线
44、，母线3为为PQ节点，节点， P3PL34.0 ， Q3QL31.5 。试写出。试写出此系统的功率方程。此系统的功率方程。824 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法三、牛顿拉夫逊迭代法三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线（常用于解非线性方程）性方程）的的矩矩阵阵形形式式为为：线线性性方方程程或或修修正正方方程程组组xJf 的的雅雅可可比比矩矩阵阵ifJ（1）将）将xi(0)代入，算出代入，算出f，J中各元素，代入上式方程组，中各元素，代入上式方程组，解出解出xi(0)；（2）修正）修正xi(1) xi(0) xi(0) ，算出，算出f，J中各元素，代入中各元素，代入上式方程组，解
45、出上式方程组，解出 xi(1) ；2)(1)(x)x( kkf或或直直至至834 42 2 功率方程及其迭代解法功率方程及其迭代解法三、牛顿拉夫逊迭代法三、牛顿拉夫逊迭代法（常用于解非线（常用于解非线性方程）性方程）（1）将）将xi(0)代入，算出代入，算出f，J中各元素，代入上式方程组，中各元素，代入上式方程组，解出解出xi(0)；（2）修正）修正xi(1) xi(0) xi(0) ，算出，算出f，J中各元素，代入中各元素，代入上式方程组，解出上式方程组，解出 xi(1) ；2)(1)(x)x( kkf或或直直至至计算步骤：计算步骤：注意注意：xi的初值要选得接近其精确值，否则将不迭代。的初
46、值要选得接近其精确值，否则将不迭代。844-34-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算牛顿拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式一、潮流计算时的修正方程式节点电压用直角坐标表示：节点电压用直角坐标表示：iiijfeU ijijijjBGY BBBUSUY * iijjnjijijiijQPjfejBGjfe 1)( iinjjijjijjijjijiijQPeBfGjfBeGjfe 1)(854-34-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算牛顿拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式一、潮流计算时的修正方程式 injjijjijijijjijiPeBfGffBeGe 1)( injjijjijijij
47、jijiQeBfGefBeGf 1)(首先对网络中各节点作如下约定：首先对网络中各节点作如下约定：（1）网络中共有）网络中共有n个节点，编号为个节点，编号为1，2，3，n；（2）网络中（）网络中（m1）个）个PQ节点，一个平衡节点，编节点，一个平衡节点，编号为号为1，2，m，其中，其中1sm为平衡节点；为平衡节点；（3）nm个个PV节点，编号为节点，编号为m+1,m+2,，n.864-34-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算牛顿拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式一、潮流计算时的修正方程式 injjijjijijijjijiPeBfGffBeGe 1)( injjijjijijijjijiQ
48、eBfGefBeGf 1)(222iiiUfe (m-1)个个PQ节点节点(n-m)个个PV节点，共节点，共n-1个个(m-1)个个PQ节点节点(n-m)个个PV节点节点874-34-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算牛顿拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式一、潮流计算时的修正方程式 njjijjijijijjijiiieBfGffBeGePP1)( njjijjijijijjijiiieBfGefBeGfQQ1)(2222iiiifeUU 相应的：相应的：884-34-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算牛顿拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式一、潮流计算时的修正方程式用直角坐标表示的修正
49、方程用直角坐标表示的修正方程 nnppnnnnnpnpnnnnnnnnnpnpnnnnpnpnpppppppppnpnppppppppnnppnnppnnppppnnppnnppefefefefSRSRSRSRNHNHNHNHSRSRSRSRNHNHNHNHLJLJLJLJNHNHNHNHLJLJLJLJNHNHNHNHUPUPQPQP221122112211221122112222222221212222222221211111111111111112121111222211PQ节点节点PV节点节点2(nm)2(m1)2(nm)2(m1)894-34-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算牛顿拉夫逊迭代
50、法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式一、潮流计算时的修正方程式用直角坐标表示的修正方程用直角坐标表示的修正方程jiijjiijePNfPH jiijjiijeQLfQJ jiijjiijeUSfUR 22904-34-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算牛顿拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式一、潮流计算时的修正方程式用直角坐标表示的修正方程用直角坐标表示的修正方程914-34-3牛顿拉夫逊迭代法潮流计算牛顿拉夫逊迭代法潮流计算一、潮流计算时的修正方程式一、潮流计算时的修正方程式以极坐标表示的另一种修正方程式为以极坐标表示的另一种修正方程式为 npnnnpnnnnpnppppppnpnpnpn