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1、北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （5 分） （2013?北京）已知集合A= 1，0，1，B=x| 1 x1 ，则 A B=（）A 0 B1，0 C0，1 D 1，0，1 2 （5 分） （2013?北京）在复平面内，复数（2i）2对应的点位于（）A第 一象限B第二象限C第三象限D第四象限3 （5 分） （2013?北京） “=”是“ 曲线 y=sin（ 2x+ ）过坐标原点” 的（）A充 分而不必要条件B 必要而不充分条件C充 分必要条件D既不充分也不必要条件4 （5 分） （2013?北京）执行如图所
2、示的程序框图，输出的S 值为（）A1BCD5 （5 分） （2013?北京）函数f（x）的图象向右平移1 个单位长度，所得图象与曲线y=ex关于 y 轴对称，则f（x）=（）Aex+1Bex1Cex+1Dex16 （5 分） （2013?北京）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）Ay= 2x BCD7 （ 5 分） （2013?北京） 直线 l 过抛物线 C：x2=4y 的焦点且与y 轴垂直， 则 l 与 C 所围成的图形的面积等于（）AB2CD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页8 （5 分） （2013?北京
3、）设关于x，y 的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0） ，满足x02y0=2，求得 m 的取值范围是（）ABCD二、填空题共6小题，每小题5 分，共 30 分9 （5 分） （2013?北京）在极坐标系中，点到直线 sin =2 的距离等于_10 （5 分） （2013?北京）若等比数列an满足 a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=_；前 n 项和 Sn=_11 （5 分） （2013?北京） 如图，AB 为圆 O 的直径， PA 为圆 O 的切线， PB 与圆 O 相交于 D，若 PA=3，PD：DB=9 ：16，则 PD=_，AB=_12 （5 分） （2013?北京）
4、将序号分别为1，2，3，4，5 的 5 张参观券全部分给4 人，每人至少1张，如果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是_13 （5 分） （2013?北京）向量，在正方形网格中的位置如图所示，若，则=_14 （5 分） （2013?北京）如图，在棱长为2 的正方体ABCD A1B1C1D1中，E 为 BC 的中点，点P 在线段 D1E 上，点 P 到直线 CC1的距离的最小值为_三、解答题共6小题，共50 分解答应写出文字说明，演算步骤15 （13 分） （ 2013?北京）在 ABC 中， a=3， B=2A（）求cosA 的值；（）求c 的值精选学习资料 - - - - -
5、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页16 （13 分） （2013?北京）如图是某市3月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100 表示空气质量优良，空气质量指数大于200 表示空气重度污染某人随机选择3 月 1 日至 3 月 15 日中的某一天到达该市，并停留 2 天（）求此人到达当日空气重度污染的概率；（）设x 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望；（）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17（14 分）（2013?北京） 如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中， AA
6、1C1C 是边长为4 的正方形平面 ABC 平面 AA1C1C，AB=3 ，BC=5 （）求证： AA1平面 ABC ；（）求证二面角A1BC1B1的余弦值；（）证明：在线段BC1上存在点D，使得 AD A1B，并求的值18 （13 分） （ 2013?北京）设l 为曲线在点（ 1，0）处的切线（）求l 的方程；（）证明：除切点（1， 0）之外，曲线C 在直线 l 的下方19 （14 分） （ 2013?北京）已知A，B，C 是椭圆上的三个点， O 是坐标原点（）当点B 是 W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（）当点B 不是 W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为
7、菱形，并说明理由20 （13 分） （ 2013?北京）已知 an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为An，第 n 项之后各项 an+1，an+2 的最小值记为Bn，dn=AnBn（）若 an为 2，1，4，3，2，1，4，3 ，是一个周期为4 的数列（即对任意n N*，an+4=an） ，写出 d1，d2，d3，d4的值；（）设d 是非负整数，证明：dn=d（n=1，2，3 ）的充分必要条件为an是公差为d 的等差数列；（）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3， ） ，则 an 的项只能是1 或者 2，且有无穷多项为1精选学习资料 - - - - - - - - -
8、名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页2013年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （5 分） （2013?北京）已知集合A= 1，0，1，B=x| 1 x1 ，则 A B=（）A 0 B1，0 C0，1 D 1，0，1 考点 ： 交集及其运算专题 ： 计算题分析：找出 A 与 B 的公共元素，即可确定出两集合的交集解答：解： A= 1，0，1 ，B=x| 1 x 1， A B= 1，0故选 B 点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 （
9、5 分） （2013?北京）在复平面内，复数（2i）2对应的点位于（）A第 一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点 ： 复数的代数表示法及其几何意义专题 ： 计算题分析：化简复数为代数形式，求出复数对应点的坐标，即可判断复数对应点所在象限解答：解：复数（ 2i）2=44i+i2=34i，复数对应的点（3， 4） ，所以在复平面内，复数（2i）2对应的点位于第四象限故选 D点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力3 （5 分） （2013?北京） “=”是“ 曲线 y=sin（ 2x+ ）过坐标原点” 的（）A充 分而不必要条件B 必要而不充分条件C充 分必要条件D
10、既不充分也不必要条件考点 ： 必要条件、充分条件与充要条件的判断分析：按照充要条件的定义从两个方面去求 曲线 y=sin （2x+ ） 过坐标原点， 求出 的值， =时， 曲线 y=sin（ 2x+ ）过坐标原点解答：解： =时，曲线y=sin（ 2x+ ）=sin2x，过坐标原点但是，曲线y=sin（2x+ ）过坐标原点，即O（0，0）在图象上，将（ 0，0）代入解析式整理即得sin =0， =k ，k Z，不一定有 = 故 “=”是“ 曲线 y=sin（2x+ ）过坐标原点 ” 的充分而不必要条件故选 A点评：本题考查充要条件的判定，用到的知识是三角函数的图象特征是基础题4 （5 分） （
11、2013?北京）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页A1BCD考点 ： 程序框图专题 ： 计算题；图表型分析：从框图赋值入手，先执行一次运算，然后判断运算后的i 的值与 2 的大小，满足判断框中的条件，则跳出循环，否则继续执行循环，直到条件满足为止解答：解：框图首先给变量i 和 S 赋值 0 和 1执行，i=0+1=1 ；判断 1 2 不成立，执行，i=1+1=2 ；判断 2 2 成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为故选 C点评：本题考查了程序框图，考查了直到型结构，直到型
12、循环是先执行后判断，不满足条件执行循环，直到条件满足结束循环，是基础题5 （5 分） （2013?北京）函数f（x）的图象向右平移1 个单位长度，所得图象与曲线y=ex关于 y 轴对称，则f（x）=（）Aex+1Bex1Cex+1Dex1考点 ： 函数解析式的求解及常用方法；函数的图象与图象变化专题 ： 函数的性质及应用分析：首先求出与函数y=ex的图象关于y 轴对称的图象的函数解析式，然后换x 为 x+1 即可得到要求的答案解答：解：函数y=ex的图象关于y 轴对称的图象的函数解析式为y=ex，而函数 f（x）的图象向右平移1 个单位长度，所得图象与曲线y=ex的图象关于y 轴对称，所以函数
13、f（x）的解析式为y=e（x+1）=ex1即 f（x）=ex1故选 D点评：本题考查了函数解析式的求解与常用方法，考查了函数图象的对称变换和平移变换，函数图象的平移遵循“ 左加右减，上加下减” 的原则，是基础题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页6 （5 分） （2013?北京）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）Ay= 2x BCD考点 ： 双曲线的简单性质专题 ： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：通过双曲线的离心率，推出a、b 关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程解答：解：由双曲线的离心率，可知 c=
14、a，又 a2+b2=c2，所以 b=a，所以双曲线的渐近线方程为：y=x故选 B点评：本题考查双曲线的基本性质，渐近线方程的求法，考查计算能力7 （ 5 分） （2013?北京） 直线 l 过抛物线 C：x2=4y 的焦点且与y 轴垂直， 则 l 与 C 所围成的图形的面积等于（）AB2CD考点 ： 定积分专题 ： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数， 由此利用定积分可求直线l 与抛物线围成的封闭图形面积解答：解：抛物线x2=4y 的焦点坐标为（0，1） ，直线 l 过抛物线C： x2=4y 的焦点且与y 轴垂直，直线 l 的方程为y=1，由，可得交
15、点的横坐标分别为2，2直线 l 与抛物线围成的封闭图形面积为=（ x）|=故选 C点评：本题考查封闭图形的面积，考查直线方程，解题的关键是确定直线的方程，求出积分区间，确定被积函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页8 （5 分） （2013?北京）设关于x，y 的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0） ，满足x02y0=2，求得 m 的取值范围是（）ABCD考点 ： 简单线性规划专题 ： 不等式的解法及应用分析：先根据约束条件画出可行域 要使可行域存在，必有 m 2m+1，要求可行域包含直线 y=x 1 上
16、的点，只要边界点（m，12m）在直线 y=x1 的上方，且（ m， m）在直线 y=x1的下方，从而建立关于m 的不等式组，解之可得答案解答：解：先根据约束条件画出可行域，要使可行域存在，必有m 2m+1，要求可行域包含直线y=x 1 上的点，只要边界点（m，12m）在直线 y=x1 的上方，且（m，m）在直线y=x1 的下方，故得不等式组，解之得： m故选 C点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案二、填空题共6小题，每小题5 分，共 30 分9 （5
17、 分） （2013?北京）在极坐标系中，点到直线 sin =2 的距离等于1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页考点 ： 点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式专题 ： 直线与圆分析：先将点的极坐标化成直角坐标，极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离来解解答：解：在极坐标系中， 点化为直角坐标为 （，1） ，直线 sin =2 化为直角坐标方程为y=2，（，1） ，到 y=2 的距离 1，即为点到直线 sin =2 的距离 1，故答案为： 1点评：本题关键是直角坐标和极坐标的互化，体现等价转化数学思
18、想10 （5 分） （2013?北京）若等比数列an满足 a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=2；前 n 项和 Sn=2n+12考点 ： 等比数列的前n 项和；等比数列的通项公式专题 ： 等差数列与等比数列分析：利用等比数列的通项公式和已知即可得出，解出即可得到a1及 q，再利用等比数列的前n 项和公式即可得出解答：解：设等比数列an的公比为q， a2+a4=20，a3+a5=40，解得=2n+12故答案分别为2，2n+12点评：熟练掌握等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式是解题的关键11 （5 分） （2013?北京） 如图，AB 为圆 O 的直径， PA 为圆 O 的切线，
19、 PB 与圆 O 相交于 D，若 PA=3，PD：DB=9 ：16，则 PD=，AB=4考点 ： 与圆有关的比例线段专题 ： 直线与圆分析：由 PD：DB=9 ：16，可设 PD=9x，DB=16x 利用切割线定理可得PA2=PD?PB，即可求出x，进而得到PD，PBAB 为圆 O 的直径， PA 为圆 O 的切线，利用切线的性质可得AB PA再利用勾股定理即可得出AB 解答：解：由 PD：DB=9 ：16，可设 PD=9x，DB=16x PA 为圆 O 的切线， PA2=PD?PB， 32=9x?（9x+16x ） ，化为，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
20、- - - - - -第 8 页，共 16 页 PD=9x=，PB=25x=5 AB 为圆 O 的直径， PA为圆 O 的切线， AB PA=4故答案分别为，4点评：熟练掌握圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理是解题的关键12 （5 分） （2013?北京）将序号分别为1，2，3，4，5 的 5 张参观券全部分给4 人，每人至少1张，如果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是96考点 ： 排列、组合及简单计数问题专题 ： 计算题分析：求出 5 张参观券全部分给4 人，每人至少1 张，如果分给同一人的2 张参观券连号的组数，然后分给4 人排列即可解答：解： 5 张参观券全部分给4
21、人，分给同一人的2 张参观券连号，方法数为：1 和 2，2 和 3，3 和 4，4 和 5，四种连号，其它号码各为一组，分给4 人，共有4=96 种故答案为： 96点评：本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力13 （5 分） （2013?北京）向量，在正方形网格中的位置如图所示，若，则=4考点 ： 平面向量的基本定理及其意义专题 ： 计算题；平面向量及应用分析：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量、的坐标，结合题中向量等式建立关于 、的方程组，解之得 =2 且 =，即可得到的值解答：解：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图
22、直角坐标系可得=（ 1，1） ，=（6，2） ，=（ 1， 3），解之得 = 2 且 =精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页因此，=4 故答案为： 4 点评：本题给出向量用向量、线性表示，求系数 、的比值，着重考查了平面向量的坐标运算法则和平面向量基本定理及其意义等知识，属于基础题14 （5 分） （2013?北京）如图，在棱长为2 的正方体ABCD A1B1C1D1中，E 为 BC 的中点，点P 在线段 D1E 上，点 P 到直线 CC1的距离的最小值为考点 ： 点、线、面间的距离计算专题 ： 空间位置关系与距离分
23、析：如图所示，取B1C1的中点 F，连接 EF，ED1，利用线面平行的性质即可得到C1C平面 D1EF，进而得到异面直线D1E与 C1C 的距离解答：解：如图所示，取B1C1的中点 F，连接 EF，ED1，CC1底面 ABCD ，四边形EFC1C 是矩形 CC1 EF，又 EF? 平面 D1EF，CC1? 平面 D1EF， CC1平面 D1EF直线 C1C 上任一点到平面D1EF 的距离是两条异面直线D1E 与 CC1的距离过点 C1作 C1MD1F，平面 D1EF平面 A1B1C1D1 C1M平面 D1EF过点 M 作 MP EF 交 D1E 于点 P，则 MPC1C取 C1N=MP ，连接
24、 PN，则四边形MPNC1是矩形可得 NP平面 D1EF，在 RtD1C1F中， C1M?D1F=D1C1?C1F，得=点 P 到直线 CC1的距离的最小值为故答案为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页点评：熟练掌握通过线面平行的性质即可得到异面直线的距离是解题的关键三、解答题共6小题，共50 分解答应写出文字说明，演算步骤15 （13 分） （ 2013?北京）在 ABC 中， a=3， B=2A（）求cosA 的值；（）求c 的值考点 ： 正弦定理；余弦定理专题 ： 解三角形分析：（）由条件利用正弦定理和二倍角
25、公式求得cosA 的值（）由条件利用余弦定理，解方程求得c 的值解答：解： （）由条件在ABC 中， a=3， B=2A，利用正弦定理可得，即=解得 cosA=（）由余弦定理可得a2=b2+c22bc?cosA，即9=+c22 2 c，即c28c+15=0解方程求得c=5，或c=3当 c=3 时，此时B=90 ，A=C=45 ，ABC 是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去综上， c=5点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理，以及二倍角公式的应用，注意把c=3 舍去，这是解题的易错点，属于中档题16 （13 分） （2013?北京）如图是某市3月 1 日至 14 日的空气质量指数
26、趋势图，空气质量指数小于100 表示空气质量优良，空气质量指数大于200 表示空气重度污染某人随机选择3 月 1 日至 3 月 15 日中的某一天到达该市，并停留 2 天（）求此人到达当日空气重度污染的概率；（）设x 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望；（）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页考点 ： 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差专题 ： 概率与统计分析：（I）由题意此人随机选择某一天到达该城市且停留
27、2 天，因此他必须在3 月 1 日至 13 日的某一天到达该城市，由图可以看出期间有2 天属于重度污染，据此即可得到所求概率；（ II） 由题意可知X 所有可能取值为0， 1， 2 由图可以看出在3 月 1 日至 14 日属于优良天气的共有7 天 当此人在3 月 4 号， 5 号， 8 号， 9 号， 10 号这 5 天的某一天到达该城市时，停留的2天都不是优良天气； 当此人在3 月 3 号， 6 号， 7 号， 11 号，这 4 天的某一天到达该城市时，停留的2 天 1 不是优良天气1天是优良天气； 当此人在3 月 1 号， 2 号， 12 号， 13 号，这 4 天的某一天到达该城市时，停
28、留的2 天都是优良天气根据以上分析即可得出P（X=0 ） ，P（X=1） ，p（x=2）及分布列与数学期望、方差（ III ）由图判断从3 月 5 天开始连续三天的空气质量指数波动最大，因此方差最大解答：解： （I）设 “ 此人到达当日空气重度污染” 为事件 A因为此人随机选择某一天到达该城市且停留2 天，因此他必须在3 月 1 日至 13 日的某一天到达该城市，由图可以看出期间有2 天属于重度污染，故P（A）=（ II）由题意可知X 所有可能取值为0，1，2由图可以看出在3 月 1 日至 14 日属于优良天气的共有7 天 当此人在3 月 4 号，5 号，8 号，9 号，10 号这 5 天的某
29、一天到达该城市时，停留的 2 天都不是优良天气，故 P（ X=0）=； 当此人在3 月 3 号， 6 号， 7 号， 11 号，这 4 天的某一天到达该城市时，停留的2 天中的 1 天不是优良天气 1 天是优良天气，故P（X=1）=； 当此人在3 月 1 号， 2 号， 12 号， 13 号，这 4 天的某一天到达该城市时，停留的2 天都是优良天气，故P（X=2）=故 X 的分布列为 E（X）=D（X）=+=（ III ）由图判断从3 月 5 天开始连续三天的空气质量指数波动最大，因此方差最大点评：本题考查了正确理解题意及识图的能力、古典概型的概率计算、随机变量的分布列及数学期望与方差，考查了
30、数形结合的思想方法及审题与计算的能力17（14 分）（2013?北京） 如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1C1C 是边长为4 的正方形平面 ABC 平面 AA1C1C，AB=3 ，BC=5 （）求证： AA1平面 ABC ；（）求证二面角A1BC1B1的余弦值；（）证明：在线段BC1上存在点D，使得 AD A1B，并求的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页考点 ： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法专题 ： 空间位置关系与距离；空间角分析：（I）利用 AA1C1C
31、是正方形，可得AA1 AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（ II）利用勾股定理的逆定理可得AB AC 通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（ III ） 设点 D 的竖坐标为t，（0t4） ， 在平面 BCC1B1中作 DEBC 于 E， 可得 D，利用向量垂直于数量积得关系即可得出解答：（ I）证明： AA1C1C 是正方形， AA1AC 又平面ABC 平面 AA1C1C，平面 ABC 平面 AA1C1C=AC ， AA1平面 ABC （ II）解：由AC=4 ，BC=5 ，AB=3 AC2+AB2=BC2， AB AC 建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（
32、0，0，4） ，B（0，3， 0） ，B1（0，3， 4） ，C1（4，0，4） ，设平面 A1BC1的法向量为，平面 B1BC1的法向量为=（x2，y2，z2） 则，令 y1=4，解得 x1=0，z1=3，令 x2=3，解得 y2=4，z2=0，=二面角A1BC1B1的余弦值为（ III ） 设点 D 的竖坐标为t，（0t4） ， 在平面 BCC1B1中作 DEBC 于 E， 可得 D，=，=（0， 3， 4） ，解得 t=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直
33、的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力18 （13 分） （ 2013?北京）设l 为曲线在点（ 1，0）处的切线（）求l 的方程；（）证明：除切点（1， 0）之外，曲线C 在直线 l 的下方考点 ： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程专题 ： 导数的综合应用分析：（I）求出切点处切线斜率，代入代入点斜式方程，可以求解（ II）利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论解答：解： （I） l 的斜率 k=y |x=1=1 l 的方程为y=x1
34、证明：（II）令 f（x）=x（x1） lnx， （x0）则 f （x）=2x1= f（x）在（ 0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，又f（1）=0 x （0，1）时， f（x） 0，即x1 x （1，+）时， f（x） 0，即x1 即除切点（ 1，0）之外，曲线C 在直线 l 的下方点评：本题考查的知识点是导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档19 （14 分） （ 2013?北京）已知A，B，C 是椭圆上的三个点， O 是坐标原点（）当点B 是 W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（）当点B 不是 W 的顶点时，判断四边形OABC
35、 是否可能为菱形，并说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页考点 ： 椭圆的简单性质专题 ： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（I）根据 B 的坐标为（ 2，0）且 AC 是 OB 的垂直平分线，结合椭圆方程算出A、C 两点的坐标，从而得到线段 AC 的长等于再结合OB 的长为 2 并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC 的面积；（ II）若四边形OABC 为菱形，根据 |OA|=|OC|与椭圆的方程联解，算出A、C 的横坐标满足=r21，从而得到 A、C 的横坐标相等或互为相反数再分两种情况加
36、以讨论，即可得到当点B 不是 W 的顶点时，四边形 OABC 不可能为菱形解答：解： （I）四边形OABC 为菱形， B 是椭圆的右顶点（2，0）直线 AC 是 BD 的垂直平分线，可得AC 方程为 x=1 设 A（1， t） ，得，解之得t=（舍负） A 的坐标为（ 1，） ，同理可得C 的坐标为（ 1，）因此， |AC|=，可得菱形OABC 的面积为S=|AC|?|BD|=；（ II）四边形OABC 为菱形， |OA|=|OC|，设 |OA|=|OC|=r（ r1） ，得 A、C 两点是圆x2+y2=r2与椭圆的公共点，解之得=r21 设 A、C 两点横坐标分别为x1、 x2，可得 A、C
37、 两点的横坐标满足x1=x2=?，或 x1=?且 x2=?， 当 x1=x2=?时，可得若四边形OABC 为菱形，则B 点必定是右顶点（2，0） ； 若 x1=?且 x2=?，则 x1+x2=0，可得 AC 的中点必定是原点O，因此 A、O、C 共线，可得不存在满足条件的菱形OABC 综上所述，可得当点B 不是 W 的顶点时，四边形OABC 不可能为菱形点评：本题给出椭圆方程，探讨了以坐标原点O 为一个顶点，其它三个顶点在椭圆上的菱形问题，着重考查了菱形的性质、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题20 （13 分） （ 2013?北京）已知 an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n
38、 项的最大值记为An，第 n 项之后各项 an+1，an+2 的最小值记为Bn，dn=AnBn（）若 an为 2，1，4，3，2，1，4，3 ，是一个周期为4 的数列（即对任意n N*，an+4=an） ，写出 d1，d2，d3，d4的值；（）设d 是非负整数，证明：dn=d（n=1，2，3 ）的充分必要条件为an是公差为d 的等差数列；（）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3， ） ，则 an 的项只能是1 或者 2，且有无穷多项为1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页考点 ： 反证法与放缩法；必要条件、充
39、分条件与充要条件的判断；等差关系的确定；等比关系的确定专题 ： 等差数列与等比数列分析：（）根据条件以及dn=AnBn 的定义，直接求得d1，d2， d3，d4的值（）设d 是非负整数，若an是公差为d 的等差数列，则an=a1+（ n1）d，从而证得dn=AnBn=d，（ n=1，2，3，4 ） 若 dn=AnBn=d， （n=1，2，3，4 ） 可得 an是一个不减的数列，求得dn=AnBn= d，即an+1an=d，即 an 是公差为 d 的等差数列，命题得证（）若a1=2， dn=1（n=1，2，3， ） ，则 an的项不能等于零，再用反证法得到an的项不能超过2，从而证得命题解答：解
40、： （）若 an为 2，1， 4，3，2，1， 4，3 ，是一个周期为4 的数列， d1=A1 B1=21=1，d2=A2B2=21=1，d3=A3B3=4 1=3，d4=A4 B4=41=3（） 充分性： 设 d 是非负整数，若 an是公差为d 的等差数列， 则 an=a1+（ n1）d，An=an=a1+（n1）d，Bn=an+1=a1+nd， dn=AnBn=d， （n=1，2，3， 4 ） 必要性：若dn=AnBn=d， （n=1，2，3，4 ） 假设 ak是第一个使akak10 的项，则 dk=AkBk=ak1Bk ak1ak0，这与 dn=d 0 相矛盾，故 an是一个不减的数列
41、dn=An Bn=anan+1=d，即an+1an=d，故 an是公差为d 的等差数列（）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3， ） ，则 an 的项不能等于零，否则d1=2 0=2，矛盾而且还能得到an的项不能超过2，用反证法证明如下：假设 an的项中， 有超过 2 的，设 am是第一个大于2 的项， 则 dm=AmBm=am 11，这与已知dn=1 相矛盾，故假设不对，即 an的项不能超过2，故 an的项只能是1 或者 2下面用反证法证明an 的项中，有无穷多项为1若 ak是最后一个1，则 dk=Ak Bk=22=0，矛盾，故 an 的项中，有无穷多项为1综上可得， an的项只能是1 或者 2，且有无穷多项为1点评：本题主要考查充分条件、必要条件的判断和证明，等差关系的确定，用反证法和放缩法证明数学命题，属于中档题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页