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1、学习必备欢迎下载y 4 -2 1 1 x 2 -1 0 新高一第六讲函数的单调性教学目标：1、理解函数单调性，能判断和证明函数在给定区间上的单调性；了解函数单调区间的概念，并能根据图象说出函数的单调区间；2、体会从特殊到一般, 从具体到抽象, 从感性到理性的数学思维方法. 教学重点难点：函数单调性的概念和判断；利用函数单调性的定义判断函数的单调性。教学过程：（一）创设情境：例如 : 某市某天的气温变化曲线图：问题：随着时间的变化，温度的变化趋势是？（上升？下降？）事实上，在生活中，有很多数据的变化是有规律的，了解这些数据的变化规律，对我们的生活很有帮助。观察满足函数关系的数据变化规律往往是看：
2、随着自变量的变化，函数值是如何变化的，这就是我们今天要研究的函数的单调性。（二）建构定义: 1、直观感知定义：观察下列函数的图象, 由学生讨论交流并回答下列问题（几何画板动态展示）问题 1: 这两个函数图象有怎样的变化趋势？（上升？下降？）问题 2: 函数2( )f xx在区间内 y 随 x 的增大而增大，在区间内y 随 x 的增大而减小；o x y -1 1 1 2(2)( )f xx(1) ( )1f xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载总结到一般情况下：在区间 D内在区间 D内图象图象特征从左
3、到右，图象上升从左到右，图象下降数量特征y 随 x 的增大而增大y 随 x 的增大而减小直观性定义单调递增函数单调递减函数说明直观性定义：称左边的函数在区间D上单调递增函数，右边的函数则称为区间I 上单调递减函数。由表知：图象在区间D内呈上升趋势当 x 的值增大时，函数值y 也增大区间内有两个点1x、2x，当21xx时，有)()(21xfxf问题： 若区间内有两点21xx时，有)()(21xfxf，能否推出( )f x是单调递 ：增函数？构造反例 :2)(xxf，2,2D，1,221xx。构造反例，动画演示，引导学生对自变量取值的“任意性”的深刻理解。y2()fx1()fx01x2xxyx2(
4、)fx1()f x01x2x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载3 2 yfx- 4 2 1 5 4 3 1 - 1 - 2 - 1 -5 -3 -2 o x 2、归纳定义定义：一般地，设函数)(xf的定义域为I: 如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量的值12xx、，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说函数)(xf在区间D上是单调递增函数。由学生类比得到减函数的定义：如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量的值21xx、，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说函
5、数)(xf在区间D上是单调递减函数。注: (1)21,xx三大特征：属于同一区间；任意性；有大小：通常规定21xx；(2) 相对于定义域，函数的单调性可以是函数的局部性质。举例：2xy在),0(上是单调增函数，但在整个定义域上不是增（减）函数。( 三) 定义应用 :例 1、下图是定义在 5，5 上的函数)(xfy的图象，根据图象说出函数)(xfy的单调区间，以及在每一单调区间上，)(xfy是增函数还是减函数。解：)(xfy的单调区间有 5， 2） ， 2，1） ，1 ，3） ，3 ，5 。其中)(xfy在 5， 2） ,1 ，3）上是减函数；在 2，1） ， 3 ， 5）上是增函数。强调单调区
6、间的写法：问题 1：减区间 可否写成 5， 2）U1，3）？问题 2：写成 5， 2）还是写成 5， 2 ？构造反例说明 , 进行验证 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载（1）单调区间一般不能求并集；（2）当端点满足单调性定义时，可开可闭。函数单调性的证明，必须从定义出发去证明例 2、试判断函数xxxf2)(在区间（ 0，）上是增函数还是减函数？并给予证明。分析：问 1：除了图象法判定函数单调性还有什么方法？ 2：如何用定义法判定函数单调性？ 3：用定义判定函数单调性的关键是什么？（作差比较法）例
7、如：证明：函数xxxf2)(在（ 0，）上是增函数证明设21xx、是(0, ) 上的任意两个值, 且21xx，则)()()()(22212121xxxxxfxf）（212221)(xxxx）（212121)(xxxxxx) 1)(2121xxxx又210 xx，故021xx，0121xx则0)()(21xfxf，即：)()(21xfxf因此，函数xxxf2)(在（ 0，）上是增函数。总结定义法证明函数单调性的步骤：1、取值 : 设任意21xx 、属于给定区间，且21xx；2、作差变形 :)()(21xfxf变形的常用方法 : 因式分解、配方、有理化等；3、定号 : 确定)()(21xfxf的正
8、负号；4、下结论 : 由定义得出函数的单调性。思考题：在上面证明中，你能理解12xx、的任意性的意义吗？解答：有了“任意性”在区间内不管取哪两个值，其证明过程都是一样的。取值下结论定号作差变形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载四、课堂练习：一1、下列函数，在区间（0， +）上为增函数的是_ y=3 -2x y=x2-1 y=x1 y= -|x| 2、 函数 y=4x2-mx+5 在区间，2上是增函数，在区间2，上是减函数，则m 的值为 _; 3、 根据图象写出函数y=f(x)的单调区间：增区间；减区间
9、：y -3 0 -1 3 x 4、函数 f(x)=ax2-(5a-2)x-4 在,2上是增函数 , 则 a 的取值范围是 _ 5、根据函数f(x)=-x2+|x| 的图象得出单调区间为_ 6、判断函数f(x)=-x3+1 在（ -，+）上的单调性；7、判断函数xxy4在在2 ,0、，2上的单调性8、函数)1,( ,22)(2ttxxxxf是单调函数，求t的范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载二1、设 f(x)=(2a-1)x+b 在 R 上是减函数，则a 的取值范围是 _ 2、已知1)(xxf，则
10、 f(x)的最小值是 _ 3、已知 f(x)=x2+2x+3,x-1,0，则 f(x)的最大值和最小值分别是_和_ 4、设函数f(x)在 R 上为减函数，则下列正确的是_ )2()(afaf)()(2afaf)()(2afaaf)()1(2afaf5、函数 y=xx-2的单调递增区间为_; 6、函数 f(x)是定义在（ -1， 1）上的增函数，且f(a-2)-f(3-a)0, 那么 a的取值范围为_; 7、设二次函数f(x)=x2-(2a+1)x+3 （1）若函数 f(x)的单调增区间为，2，求实数 a 的值；（2）若函数 f(x)在区间，2内是增函数，求a 的范围；8、设函数( )fx对于任
11、意,x yR都有()( )( ),f xyf xfy且0 x时( )0,f x(1)2f。（1）求(0)f；（2）试问在 3,3x时( )fx是否有最大、最小值？如果有，请求出来，如果没有，说明理由；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载（一）答案6、解：设x1,x2是 R 上任意两个值，且x1x2 则 f(x1)-f(x2)=-x13+1-(-x23+1)=x23-x13=(x2-x1)(x22+x1x2+x12) =(x2-x1)(x22+x1/2)2+3/4x12) x1,x2是 R上任意两个值，且
12、x10,(x22+x1/2)2+3 /4x12)0 f(x1)f(x2) y=f(x)是 R 上的减函数7、设 0 x1x2 y1-y2 =(x1+4/x1)-(x2+4/x2) =(x1-x2)+(4/x1-4/x2) =(x1-x2)+4(x2-x1)/(x1x2) =(x1-x2)1-(4/(x1x2) 1、假如 0 x1x22，则 0 x1x21 ，1-4/(x1x2)0 x1-x20，y1y2，函数单调递减2、假如 2x14，4/(x1x2)0 又 x1-x20 所以 y1-y20，y1y2，函数单调递增所以函数在 (0,2)内单调递减；在2,+ )内单调递增（二）8、解： （1）令 x=y=0，00f，（2）可证，y=f(x)是减函数,从而)(xf有最大值和最小值，63,61113minmaxfxfffffxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页