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1、塑性力学塑性力学3到到5章、屈服条件章、屈服条件2 2、屈服函数、屈服函数屈服条件的数学表达屈服条件的数学表达0)(ijf应力状态函数f简单拉伸：简单拉伸：0)(sijsf纯剪切：纯剪切：0)(sijsf一般应力状态：一般应力状态：0),()(xzyzxyzyxijff0),(),(321321ffii各向同性各向同性0),(0),()(321321JJJfffi或0) , (32JJf静水压力不影响塑性变形静水压力不影响塑性变形二、二、 Mises屈服条件屈服条件 TrescaTresca屈服条件有以下问题：没考虑中间主应力的影响；屈服条件有以下问题：没考虑中间主应力的影响；当应力处在屈服面
2、的棱线上时，处理会遇到数学上的困难；当应力处在屈服面的棱线上时，处理会遇到数学上的困难；主应力大小未知时，屈服条件十分复杂。因此，主应力大小未知时，屈服条件十分复杂。因此， Mises(1913)Mises(1913)提出了另一个屈服条件：提出了另一个屈服条件：应力偏张量的第二不变量达到某一定值时，材料就屈服。应力偏张量的第二不变量达到某一定值时，材料就屈服。22213232221234)()()(61kJ、由等效应力、由等效应力 可得到用等效应力表示可得到用等效应力表示的的Mises条件：条件：32J22k说明：说明：、屈服面的形状、屈服面的形状22213232221234)()()(61k
3、JconstkkJr2222383422Mises屈服条件在屈服条件在 平面上的一个圆，在应平面上的一个圆，在应力空间是一个圆柱体。力空间是一个圆柱体。sskkJ2134322222sskkJ233422222、 k的试验确定：的试验确定：简单拉伸试验：简单拉伸试验：纯剪切试验：纯剪切试验：若材料满足若材料满足Mises屈服条件，则：屈服条件，则：ss232，则当03、Mises条件的物理解释：条件的物理解释：根据弹性理论，形状改变比能根据弹性理论，形状改变比能 ：GkkGJGJEEWd32342121)1 ()()()(6)1 (22222221323222122228322343232kk
4、J2223kJ所以所以Mises的物理解释：当形状改变比能或者八面体上的物理解释：当形状改变比能或者八面体上的剪应力或者等效应力（应力强度）达到某一极限值时，的剪应力或者等效应力（应力强度）达到某一极限值时，材料才开始屈服。材料才开始屈服。、 平面，平面，Tresca屈服条件与屈服条件与Mises屈服条件的关系：屈服条件的关系：规定拉伸时一致：规定拉伸时一致：Tresca六边形内接于六边形内接于Mises圆圆222)(22,2s1311条件下：kxTrescakssssskJrMisesk322138382:21222条件下，sssxr22233230cos0规定剪切时一致：规定剪切时一致：T
5、rescaTresca六边形六边形 外切于外切于MisesMises圆。圆。ssskxTrescak22)(22,1311条件下：ssskJrMisesk22338382:23222条件下，sxr 画图验证！画图验证！三、比较两屈服准则的区别：三、比较两屈服准则的区别：、Tresca屈服条件说明屈服只决定于最大最小主应力；屈服条件说明屈服只决定于最大最小主应力； Mises屈服条件考虑了中间应力，说明屈服条件和三个主屈服条件考虑了中间应力，说明屈服条件和三个主应力都有关系；应力都有关系；、Tresca条件下条件下 ss2ss232Mises条件下条件下试验表明，一般材料试验表明，一般材料ss)
6、6 . 056. 0(所以所以Mises条件更条件更切实际。切实际。、Mises条件与主应力有关，说明中间中主应力对屈服有条件与主应力有关，说明中间中主应力对屈服有影响，但在已知主方向和主应力大小顺序时，影响，但在已知主方向和主应力大小顺序时，Tresca条件条件更方便些。更方便些。3.3 屈服条件的实验验证屈服条件的实验验证一、一、Lode实验（实验（1926）薄壁管受拉力和内压薄壁管受拉力和内压的联合作用的联合作用TtpRRtTz20r0zxyzxyTpz由此上面的应力就是主应力。由此上面的应力就是主应力。tpRRtTz2pRpRT2231312)()2(改变改变T和和p的取值，可以得到不
7、同的的取值，可以得到不同的10T122pRT02pRT11202时，当pRT1223131ssTresca条件：条件：Mises条件：条件：22223134skJ22Jr 31231tan31312xy2312231)2(61)(2123s23123132)(311)(23ss1223131ssTresca条件：条件：Mises条件：条件：23132)(s试验结果表明，观测数据更接近试验结果表明，观测数据更接近Mises条件，但条件，但Tresca条件与条件与Mises条件相差也不是很大，最大也条件相差也不是很大，最大也不过不过0.154二、二、Talor和和Quinney实验实验（1931）
8、薄壁管拉力和扭）薄壁管拉力和扭矩的联合作用矩的联合作用TzzMMTRtTz2tRMz22Tresca条件：条件：1)(4)(22szsz1)(3)(22szszMises条件：条件：Tresca条件：条件：1)(4)(22szsz1)(3)(22szszMises条件：条件：试验数据仍然密集在代表试验数据仍然密集在代表Mises条件的曲线附近，条件的曲线附近，Mises条件得到了很好的条件得到了很好的验证。验证。 加例子啊？66 sin32sin32sin32 , 0cos32/3321312rSSSJkJ第四章第四章 塑性本构关系塑性本构关系 本章主要讨论应力点处于屈服面上，材料处于塑性本章
9、主要讨论应力点处于屈服面上，材料处于塑性状态，此时应力分量和应变分量所要满足的关系状态，此时应力分量和应变分量所要满足的关系塑塑性本构关系。性本构关系。4.1 弹性应力弹性应力应变关系应变关系一、各一、各向向同性材料的弹性本构关系同性材料的弹性本构关系)()()()(12111EGGEGEGEGEyzyzyxzzxyxyxzyyxzxzzyxx剪切模量泊松比弹性模量)()(zyxzyxzyxE21mmE32113)( )()(1211mmE应力球张量与应力球张量与应变球张量之间应变球张量之间的关系的关系mxmxzyxxzyxxEGEEEE32131111)()()(mxxEG321myyEG3
10、21mzzEG321同理可得：同理可得：Gxzxzxz221又：又：Gxyxyxy221Gyzyzyz221所以广义虎克定律可以所以广义虎克定律可以用指标表示成：用指标表示成：)(2321ijmijijEGijijmijijmijmijijmijijSGGEEGe212121321)()(应力偏张量与应变偏张应力偏张量与应变偏张量之间的关系量之间的关系)(321ijijSGe 说明：由于说明：由于 ，所以，所以(3)式只有五个方程独立，所以式只有五个方程独立，所以（3）必须联合）必须联合 才是广义虎克定才是广义虎克定律。律。0iiS)()(1211mmE2、为了将弹性本构方程与全量形式的塑性本
11、构方程在形式、为了将弹性本构方程与全量形式的塑性本构方程在形式上统一起来上统一起来ijijSGe21ijijee32ijijSS23G3所以广义虎克定律所以广义虎克定律体积变形是弹体积变形是弹性的性的应力偏量与应变偏量成正应力偏量与应变偏量成正比例，两者主方向一致比例，两者主方向一致等效应力与等效应变成正比等效应力与等效应变成正比kkkkE)(211ijijSe23G33、卸载规律、卸载规律 当应力从加载面上卸载时，也服从虎克定律，但不当应力从加载面上卸载时，也服从虎克定律，但不能写成全量关系，只能写成增量形式：能写成全量关系，只能写成增量形式：ijijkkkkSeEd23dd)21 (d4.
12、3 全量型本构关系全量型本构关系一、依留辛理论一、依留辛理论 依留辛在实验研究的基础上，通过与弹性本构关系类比，依留辛在实验研究的基础上，通过与弹性本构关系类比，将弹性变形的结论进行推广，提出各向同性材料在小变形条将弹性变形的结论进行推广，提出各向同性材料在小变形条件下塑性变形规律的假设：件下塑性变形规律的假设：（1）体积变形是弹性的）体积变形是弹性的kkkkE)(21ijijSe（2）应力偏量与应变偏量相似且同轴）应力偏量与应变偏量相似且同轴说明：说明：应力和应变的定性关系：方向关系应力和应变的定性关系：方向关系两者主两者主方向一致；分配关系方向一致；分配关系两者成比例。两者成比例。 不是常
13、数，它取决于质点的位置和荷载水平，但不是常数，它取决于质点的位置和荷载水平，但对于同一点同一载荷水平，对于同一点同一载荷水平， 是常数。是常数。 的求法：的求法：ijijijijSSee223ijijijijSSeeijijSe23(3)等效应力等效应力 与等效应变与等效应变 之间存在单值对应关系：之间存在单值对应关系：)(综上所述，全量型的塑性本构方程为：综上所述，全量型的塑性本构方程为：kkkkE)(21ijijSe23)(说明：说明：形式与弹性本构方程一致；形式与弹性本构方程一致；区别在于：区别在于：弹性：弹性： G3线性关系线性关系塑性：塑性： )(非线性关系非线性关系上式描述的全量应
14、力应变关系单值对应。上式描述的全量应力应变关系单值对应。二、全量理论的适应范围、简单加载定理二、全量理论的适应范围、简单加载定理1、全量理论的适用范围、全量理论的适用范围小变形、简单加载条件下小变形、简单加载条件下tSStijijijij002、简单加载：在加载过程，材料内任一点的应力状态、简单加载：在加载过程，材料内任一点的应力状态 的各分量都按同一比例增加，即的各分量都按同一比例增加，即ijt单调增大的正参数单调增大的正参数说明：说明：简单加载条件下，各主应力分量之间也是按同一简单加载条件下，各主应力分量之间也是按同一 比例增加，且应力主方向和应变主方向始终不变。比例增加，且应力主方向和应
15、变主方向始终不变。简单加载条件下，加载路径在应力空间是一条简单加载条件下，加载路径在应力空间是一条通过原点的直线，在通过原点的直线，在 平面上，是一条平面上，是一条 的射线。的射线。const3、保证简单加载的条件、保证简单加载的条件变形微小；变形微小；材料不可压缩，材料不可压缩，21外载荷成比例增长，如果有位移边界条件，只能是外载荷成比例增长，如果有位移边界条件，只能是零位移边界条件；零位移边界条件； 曲线具有曲线具有 的幂函数形式。的幂函数形式。nA满足这四个条件即认为材料内每一单元体都处于简单满足这四个条件即认为材料内每一单元体都处于简单加载状态加载状态此即简单加载定理。此即简单加载定理
16、。说明：说明：是必要条件，而是必要条件，而是充分条件不一定是必是充分条件不一定是必要条件；不满足简单加载条件，全量理论一般不能采用，要条件；不满足简单加载条件，全量理论一般不能采用，但是对于偏离简单加载条件不太远的情况，使用全量理但是对于偏离简单加载条件不太远的情况，使用全量理论计算所获得的结果和实际结果也比较接近。论计算所获得的结果和实际结果也比较接近。三、卸载定理三、卸载定理1、单轴拉伸卸载符合弹性规律：、单轴拉伸卸载符合弹性规律：E即：即：)(E式中：式中： 为卸载前的应力、应变；为卸载前的应力、应变；、卸载至卸载至 时的应力和应变；时的应力和应变；iP 、为卸载过程中应力和应变的改变量
17、。为卸载过程中应力和应变的改变量。2、复杂应力状态的卸载，若为简单卸载则按弹性规律、复杂应力状态的卸载，若为简单卸载则按弹性规律变化。变化。ijijmmSGeE2121)(在简单卸载情况下：在简单卸载情况下：iiiPPP按弹性力学公式可以计算出按弹性力学公式可以计算出 对应的对应的 ，ijiPij则卸载后则卸载后ijijijijijij当当 时，时， 为残余应力、残余应变。为残余应力、残余应变。iiPP ijij、注：上述计算方法只适用于卸载过程不发生第二次塑性注：上述计算方法只适用于卸载过程不发生第二次塑性变形的情形，即卸载不引起应力符号改变而达到新的屈变形的情形，即卸载不引起应力符号改变而
18、达到新的屈服（即卸载不发生反向屈服）。服（即卸载不发生反向屈服）。4.5 理想塑性材料的增量型本构关系理想塑性材料的增量型本构关系增量理论又叫流动理论增量理论又叫流动理论一、一、LevyMises理论又称刚塑性增量理论理论又称刚塑性增量理论 假设材料为理想塑性的，并认为材料到达塑性区，总假设材料为理想塑性的，并认为材料到达塑性区，总应变等于塑性应变，即假设材料符合刚塑性模型。即理应变等于塑性应变，即假设材料符合刚塑性模型。即理论假设归纳如下：论假设归纳如下：在塑性区总应变等于塑性应变（忽略弹性应变部分）在塑性区总应变等于塑性应变（忽略弹性应变部分）pijpijeijijdddd体积变形是弹性的
19、体积变形是弹性的kkkkEd)21 (d210210ddEekkij体积不可压缩体积不可压缩 的求法。的求法。d3、塑性应变增量的偏量与应变偏量成正比例，、塑性应变增量的偏量与应变偏量成正比例，或应力偏量主方向与塑性应变偏量的主方向一致：或应力偏量主方向与塑性应变偏量的主方向一致：) 0d( ddijpijSe式中比例系数式中比例系数 决定于质点的位置和荷载水平决定于质点的位置和荷载水平d因为塑性变形的体积不可因为塑性变形的体积不可压缩压缩ijpijpijSe ddd0dpkk又忽略弹性应变部分忽略弹性应变部分ijijS dd说明：说明：应变增量与应力偏量主轴重合；应变增量与应力偏量主轴重合；
20、应变增量的分量应变增量的分量 与与 应力偏量的分量应力偏量的分量 成比例；成比例；spijpijijijSSdd23d123按按Mises条件：条件：)ddd(23)dd()dd()dd(32dd32d222222pzxpyzpxypxpzpzpypypxpijpijp等效塑性应变增量等效塑性应变增量sspp2d32d32d3d忽略弹性应变ijsijijSS2d3dd理想刚塑性材料的增量型本构方程理想刚塑性材料的增量型本构方程zxszxzszyzsyzysyxysxyxsxSSSSSSd3d2d3dd3d2d3dd3d2d3dijsijijSS2d3dd写成一般方程式：写成一般方程式：说明：说
21、明：当当 已知，则已知已知，则已知 可求可求 ，但不能确定，但不能确定 ，所以不能确定所以不能确定 ；sijdijSmij 已知已知 能求能求 ，上式只能求得，上式只能求得 各分量的比各分量的比值，不能求得值，不能求得 的数值。因为理想塑性材料在一定应力的数值。因为理想塑性材料在一定应力下，塑性变形可以任意增长。下，塑性变形可以任意增长。ijijSijdijd二、二、PrandtlReuss理论又称弹塑性增量理论理论又称弹塑性增量理论 PrandtlReuss理论是在理论是在LevyMises理论的基础理论的基础上发展起来的，该理论考虑了弹性变形部分，即总应变上发展起来的，该理论考虑了弹性变形
22、部分，即总应变增量偏量由弹性和塑性两部分组成。增量偏量由弹性和塑性两部分组成。pijeijijeeeddd弹性应变部分弹性应变部分ijeijSGed21d) 0d(ddijpijSe塑性应变部分塑性应变部分ijijijijijijSSGeSSGe21dd21d 仍由仍由Mises屈服条件确定，根据屈服条件确定，根据Mises条件条件d321232sijijsijijSSSS0dijijSS上式两边微分ijijijijSSSGe两边乘 dd21d20d32dddd2ddsijijijijSSijijijijijijSeSSSSGSSeSijij定义定义 形状改变比能增量形状改变比能增量. iji
23、jdeSWdd222d3d32dddsdsijijdWSeW PrandtlReuss理论推导的增量型本构关系：理论推导的增量型本构关系：ijsdijijkkkkSWSGeE22d3d21dd)21 (dijsdijijmijSWSGE22d3d21d)21 (d或或 已知已知 和和 不能求出不能求出 ，只能求得，只能求得 各分各分量的比值。量的比值。ijdijijdijdijsdijijkkkkSWSGeE22d3d21dd)21 (d PrandtlReuss理论推导的增量型本构关系：理论推导的增量型本构关系：说明：说明：当当 和和 已知，可计算出已知，可计算出 ，可求，可求 和和 将它们
24、叠加原有的应力水平即得新的应力水平。将它们叠加原有的应力水平即得新的应力水平。ijs,ijddWdmdijSd其中其中 定义为定义为 形状改变比能增量形状改变比能增量. ijijdeSWdd三、两种增量理论的比较三、两种增量理论的比较1、 PrandtlReuss理论考虑了弹性变形，理论考虑了弹性变形， LevyMises理论则没有考虑，理论则没有考虑，L理论是理论是P理论的特殊情况。理论的特殊情况。2、两理论都着重指出了、两理论都着重指出了 的关系：的关系：ijpijS与dijpijS ddpijdOSMises条件下条件下OSpij/dOPeij/dijijmeijijsdpijSGESW
25、d21d)21 (d2d3d23、在整个变形过程中，可由各瞬时时段的变形积累而得，、在整个变形过程中，可由各瞬时时段的变形积累而得，因此增量理论能表达加载过程对变形的影响，能反映复杂的因此增量理论能表达加载过程对变形的影响，能反映复杂的加载情况。加载情况。4、增量理论仅适用加载情况，卸载情况下仍按虎克定律进行。、增量理论仅适用加载情况，卸载情况下仍按虎克定律进行。四、增量理论的实验验证四、增量理论的实验验证 洛德曾做了薄壁圆管受内压和拉伸联合作用的实验，他引洛德曾做了薄壁圆管受内压和拉伸联合作用的实验，他引用了如下参数：用了如下参数：123132)()(1)dd()dd(23132ppppdp
26、pd如果增量理论假设是正确的，则应存在如果增量理论假设是正确的，则应存在洛德实验结果表明洛德实验结果表明 大致成立的。大致成立的。pd泰勒和奎乃也曾用多种金属材料做了薄壁圆管受扭和泰勒和奎乃也曾用多种金属材料做了薄壁圆管受扭和拉伸作用的实验，实验结果表明拉伸作用的实验，实验结果表明 和和 的主轴误差的主轴误差不超过不超过 ， 也大致成立。也大致成立。ijSpijdpd024.6 弹塑性强化材料的增量型本构关系弹塑性强化材料的增量型本构关系对于弹塑性强化材料，若采用等向强化模型，其强化条对于弹塑性强化材料，若采用等向强化模型，其强化条件通常采用沿着应变路径积分的等效塑性应变增量件通常采用沿着应变
27、路径积分的等效塑性应变增量 来描述，即：来描述，即：pd)d(pHMises条件下条件下ppd通常只有当塑性应变增量各分量之间的比例在整个加载过只有当塑性应变增量各分量之间的比例在整个加载过程中始终保持不变，即程中始终保持不变，即 各分量按同一比例增大，各分量按同一比例增大，才有才有 。pijppd简单加载条件下：简单加载条件下：ppd此时此时)()d(ppHHpHdd表示表示 曲线某曲线某点的斜率点的斜率pd2d32d3dHp与与LevyMises理理论类似可求得：论类似可求得：得到弹塑性强化材料的增量型本构关系：得到弹塑性强化材料的增量型本构关系：ijijijkkkkSHSGeE2d3d2
28、1dd)21 (d2d32d3dHp将将代入代入PrandtlReuss理论理论ijijijmijSHSGE2d3d21d)21 (d或写成或写成复习：复习：)()(ijpijijijkkkkSSGSeE23212321全量理论全量理论或写成或写成ijpijijmijSSGE232121)(1、2、增量理论、增量理论理想刚塑性理论理想刚塑性理论ijsijijSS2d3dd1） 、 LevyMises理论理论2）、）、PrandtlReuss理论理论ijsdijijkkkkSWSGeE22d3d21dd)21 (dijsdijijmijSWSGE22d3d21d)21 (d或写成或写成理想弹塑性
29、材料理想弹塑性材料3）、弹塑性强化材料）、弹塑性强化材料等向强化等向强化ijijijkkkkSHSGeE2d3d21dd)21 (dijijijmijSHSGE2d3d21d)21 (d或写成或写成说明：三个增量理论最根本的区别是说明：三个增量理论最根本的区别是 不一样。不一样。 d汉盖汉盖 HencyHency依留辛依留辛列维列维- -米赛斯米赛斯表表1 1 全量理论与增量理论比较表全量理论与增量理论比较表GSeijeij2GSeijpij2ijijSGe2112小应变简单加载GWs62理想弹塑性年1924弹性应变弹性应变塑性应变塑性应变应力应应力应变关系变关系泊松比泊松比应变大小应变大小加
30、载条件加载条件屈服条件屈服条件考虑的材考虑的材料料理论建立理论建立年代年代纳达依纳达依2ijeijSeG12pijijGGeSG32iijijieS12小应变简单加载s幂强化材料幂强化材料1943年年不考虑不考虑8832pijijS8832ijijS12简单加载大应变大应变823s强化材料强化材料1937年年普朗特普朗特- -劳埃劳埃斯斯d0eije d2ijeijSeG2ddd3d d222ijijijijisSSWSSGGdd ,d3d2pijiisS2dd ,3dd2pijijsSWd3d2iijisS1212增量（每个瞬间是小应变）增量（每个瞬间是小应变）增量（每个瞬间是小应变）增量（
31、每个瞬间是小应变）复杂加载复杂加载复杂加载复杂加载s223sijijS S理想刚塑性理想刚塑性理想弹塑性理想弹塑性列维列维1871年年 米赛斯米赛斯 1913年年普朗特普朗特1924年年 劳埃斯劳埃斯1930年年1 1 . 薄壁圆筒承受内压作用，半径为薄壁圆筒承受内压作用，半径为r,壁厚为壁厚为t。假设圆筒的材料是不可压缩的。假设圆筒的材料是不可压缩的。 试求圆筒完试求圆筒完全进入塑性状态后，主应变之间的比值。全进入塑性状态后，主应变之间的比值。2 2 . 薄壁圆筒承受内压作用，半径为薄壁圆筒承受内压作用，半径为r,壁厚为壁厚为t。圆筒的屈服极限为圆筒的屈服极限为 。 若使圆筒保持若使圆筒保持
32、直径不直径不变变，只产生轴向伸长，并假设材料是不可压，只产生轴向伸长，并假设材料是不可压缩的。缩的。 试求达到塑性状态时的内压。试求达到塑性状态时的内压。3 3 . 薄壁圆筒承受轴向拉力薄壁圆筒承受轴向拉力P P和内压和内压p p作用，圆作用，圆筒内径为筒内径为d,壁厚为壁厚为t。满足体积不可压缩条件。满足体积不可压缩条件。圆筒的屈服极限为圆筒的屈服极限为 . 若使圆筒的直径保持若使圆筒的直径保持不变，试求轴向力不变，试求轴向力P 。ss4.8 塑性势及流动法则塑性势及流动法则一、一、DruckerDrucker公设公设简单加载时，材料的后继屈服极限在变形过程中是不断简单加载时，材料的后继屈服
33、极限在变形过程中是不断变化的，其应力应变曲线可以有下面的三种形式：变化的，其应力应变曲线可以有下面的三种形式：稳定材料稳定材料不稳定材料不稳定材料不可能不可能0附加应力对附加应变作功为非负附加应力对附加应变作功为非负0附加应力对附加应变作功为负附加应力对附加应变作功为负（非必要条件）（非必要条件）1(4)231423Drucker将第一种情况推广到复杂应力状态下，得到塑性将第一种情况推广到复杂应力状态下，得到塑性力学中十分重要的公设，即力学中十分重要的公设，即Drucker公设：公设：附加应力在应力循环内作塑性功非负附加应力在应力循环内作塑性功非负: :单轴下应力循环单轴下应力循环注意附加应力
34、功是注意附加应力功是假想的功假想的功0d0ijijij)(复杂应力状态下应力循环复杂应力状态下应力循环 DruckerDrucker公设其他描述公设其他描述：0dd0pijijijijpDW)(0d0d0ddd00000pijijijeijijijpijijijeijijijijijij)()()()()(在整个应力循环中，只有应力达到在整个应力循环中，只有应力达到 时才产生时才产生在循环的其他部分不产生塑性变形。上述积分可变成：在循环的其他部分不产生塑性变形。上述积分可变成：ijijdpijd两个重要不等式：两个重要不等式：0d)(0pijijij0ddpijij2)、当、当1点位于屈服面上
35、，则点位于屈服面上，则 0ijijpijijpijijdd0最大塑性功原理最大塑性功原理即实际应力所做的塑性功总是大于等于静力可能应力所做即实际应力所做的塑性功总是大于等于静力可能应力所做的塑性功。的塑性功。1)、当、当1点位于屈服面内，则点位于屈服面内，则 ，略去高阶微量，略去高阶微量0ijijijd二、两个重要结论二、两个重要结论（1 1）屈服面的外凸性）屈服面的外凸性屈服面的外凸性屈服面的外凸性应力空间与塑性应变空间的坐标重应力空间与塑性应变空间的坐标重合，并将合，并将 的原点放在位于屈服的原点放在位于屈服面上的面上的 点处。点处。pijdijijOA矢量00OAij矢量ijdd矢量pi
36、jpdd矢量0d)(0pijijij0d0pAA夹角为锐角与pAAd0过过A点做一超平面点做一超平面 ，则，则上式成立的条件，即要求上式成立的条件，即要求A0必必须始终位于超平面一侧，这就须始终位于超平面一侧，这就要求加载面是外凸。要求加载面是外凸。 pd塑性应变增量的正交性塑性应变增量的正交性（2）塑性应变增量方向与屈服面的法向平行（正交流动法则）塑性应变增量方向与屈服面的法向平行（正交流动法则）若加载面在若加载面在A点的外法线方向点的外法线方向 ，塑性，塑性应变增量应变增量 必须沿着外法线方向必须沿着外法线方向 即即 与与 方向重合，否则的总可以方向重合，否则的总可以找到找到A0使使 不成
37、立。不成立。npijdnpdn0d0pAAijijfnijpijfdd塑性应变增量的正交流动法则塑性应变增量的正交流动法则比例因子d 说明只有应力增量指向加载面外部时才能产生塑性变说明只有应力增量指向加载面外部时才能产生塑性变形，这就是前面的加载准则。形，这就是前面的加载准则。两者方向一致与npijd0d0d0nAAp三、塑性势理论三、塑性势理论 在弹性力学，弹性应变在弹性力学，弹性应变 与弹性应变能密度与弹性应变能密度U之间有之间有如下关系：如下关系：ijijijU式中式中U为数学中的势函数，所以又称弹性势函数。为数学中的势函数，所以又称弹性势函数。Mises条件下：条件下：ijijijsS
38、JfJf22203Mises用类比的方法，提出了塑性势的概念：用类比的方法，提出了塑性势的概念：ijpijg dd塑性势理论塑性势理论g塑性势函数塑性势函数若若gf，则，则ijpijf ddijpijSddLevyMises方程方程说明：对于光滑的屈服面来说，所有的塑性应变说明：对于光滑的屈服面来说，所有的塑性应变增量的方向根据正交性法则都是唯一确定，但是增量的方向根据正交性法则都是唯一确定，但是如果屈服面不是光滑的，如如果屈服面不是光滑的，如Tresca屈服面的尖点屈服面的尖点上塑性应变增量的方向是有变化的，其变化范围上塑性应变增量的方向是有变化的，其变化范围介于介于N1和和N2之间。之间。
39、平面平面123N1N22/3/0, 3/23/, , 0, 0,zmrmzmzzrrrzSSSS薄壁圆管承受轴向拉力和扭矩作用，圆管由薄壁圆管承受轴向拉力和扭矩作用，圆管由不可压缩的弹性材料制成，按下列加载路线，不可压缩的弹性材料制成，按下列加载路线，试用普朗特试用普朗特- -劳埃斯方程计算管中内力。劳埃斯方程计算管中内力。ijijijijijijSSGeSSGe21dd21dzzrrrzzzzeGSSGeeGSSGeSGSSGe2131612121316121)32(3231213/ SSr21212, 0, 0GGzzzzrrzzrr3,2222skkWzzzzzzzzzzzzzzzzzz
40、rrzzeeeSeSeSeSeSeSeSW 3223232222第第5章章 梁的弹塑性弯曲梁的弹塑性弯曲一、假设和屈服条件一、假设和屈服条件 5-1 5-1 梁的弹塑性弯曲梁的弹塑性弯曲 对于具有两个对称轴的等截面梁，荷载作用于纵向对对于具有两个对称轴的等截面梁，荷载作用于纵向对称平面内，可采用材料力学中梁弯曲理论的一般假设：称平面内，可采用材料力学中梁弯曲理论的一般假设：1）、变形前垂直于梁轴的平面，在变形后仍保持为垂）、变形前垂直于梁轴的平面，在变形后仍保持为垂直于弯曲梁轴的平面，即平截面假设；直于弯曲梁轴的平面，即平截面假设；2）、不计各层间的相互挤压；）、不计各层间的相互挤压；3）、小
41、变形，即挠度比横截面的尺寸小得多；）、小变形，即挠度比横截面的尺寸小得多；4 4）、梁跨长比横向尺寸大得多）、梁跨长比横向尺寸大得多。 根据上述假设，只考虑梁横截面上正应力对材料屈根据上述假设，只考虑梁横截面上正应力对材料屈服的影响，用服的影响，用Tresca和和Mises条件均为：条件均为： = sx二、梁的纯弯曲二、梁的纯弯曲 如图所示，研究具有两个对称轴的等截面梁，设如图所示，研究具有两个对称轴的等截面梁，设y y、z z为为横截面的对称轴，横截面的对称轴，x x为梁的纵轴，为梁的纵轴，xoyxoy为弯曲平面。为弯曲平面。 ZyZyh/2h/2MM1、理想弹塑性材料、理想弹塑性材料 纯弯
42、曲时，随着弯矩纯弯曲时，随着弯矩M M的增加，塑性变形由梁截面边缘的增加，塑性变形由梁截面边缘对称地向内部发展，对称地向内部发展，在梁的任一横截面上弹性区和塑性区在梁的任一横截面上弹性区和塑性区是共存的。是共存的。在弹性区，应力按线性分布；在塑性区，应力在弹性区，应力按线性分布；在塑性区，应力按按 分布；分布；而在两者的交界处，正应力而在两者的交界处，正应力 应等应等于屈服应力于屈服应力 。 )(s1） 对于理想弹塑性材料，在对于理想弹塑性材料，在塑性区塑性区 ，则沿横截面高度，应力分布为：则沿横截面高度，应力分布为： s)(ssyyh2)(yssssyyyyy2hyyss式中，式中，sy（0
43、0）为横截面的中性层到弹、塑性分界面的距离。）为横截面的中性层到弹、塑性分界面的距离。 yZ Z塑性区塑性区弹性区弹性区ss- -2）M=M(ys)函数关系函数关系2/2/0d)()(hhyyby纯弯曲横截面上应力应满足轴力为零的条件纯弯曲横截面上应力应满足轴力为零的条件 由于由于Z为横截面的一条对称轴，上式自动满足，否则将由为横截面的一条对称轴，上式自动满足，否则将由这个条件确定中性轴的位置，横截面上的正应力还应满足：这个条件确定中性轴的位置，横截面上的正应力还应满足：2/2/d)()(hhMyyyby2/02d)(2d)(2hysyssssyyybyybyyM即：即：可以简写成：可以简写成
44、：psessSIyMpsessSIyM其中其中 为弹性区对中性轴的惯性矩；为弹性区对中性轴的惯性矩；yybyIsyed)(202 为塑性区对中性轴的静矩为塑性区对中性轴的静矩2/d)(2hypsyyybS3)、弹性极限弯矩、塑性极限弯矩弹性极限弯矩、塑性极限弯矩此式确定此式确定M与与ys的关系的关系关于梁的关于梁的挠挠度，对弹性区而言，有：度，对弹性区而言，有：yEE在弹性区的边界上的在弹性区的边界上的 处，处， 代入上式，梁代入上式，梁轴曲率半径为：轴曲率半径为： syy sssEy考虑到梁的曲率与梁考虑到梁的曲率与梁挠度挠度 的关系，有：的关系，有：ssyE22dd1xvssEyxv22d
45、d则得梁轴的挠曲线方程为：则得梁轴的挠曲线方程为：取梁的横截面是高取梁的横截面是高h h、宽为、宽为b b的矩形，则有：的矩形，则有：232sebyI )4(22spyhbSpsessSIyM将他们代入将他们代入则得出：则得出：223414hybhMs2hys令即得梁刚开始产生塑性变形时的弹性极限弯矩为：即得梁刚开始产生塑性变形时的弹性极限弯矩为： sebhM62如果令如果令 ，即表示梁截面全部进入塑性状态，此时即表示梁截面全部进入塑性状态，此时的弯矩称为塑性极限弯矩：的弯矩称为塑性极限弯矩：0sy223414hybhMsssbhM425 . 1esMM而有而有: : 说明梁截面由开始屈服到全
46、部屈服，还可以继续增加说明梁截面由开始屈服到全部屈服，还可以继续增加50%50%的承载能力，由此也可以看出按塑性设计可以充分发的承载能力，由此也可以看出按塑性设计可以充分发挥材料的作用。挥材料的作用。2231123hyMMse利用利用 和和 sebhM62223414hybhMs得：得：设与设与 对应的曲率半径对应的曲率半径 ，此时，此时 ，由此可，由此可得：得：eMe2hyssssseyhEyEh2/2sssseyhEyEh2/22231123hyMMse纯弯梁纯弯梁 屈服后的曲率半径屈服后的曲率半径与弯矩与弯矩M M之间的关系之间的关系 而在屈服前，它们服从而在屈服前，它们服从线性线性的弹
47、性关系，即满足：的弹性关系，即满足： eeMMeeMM231eeMM231eeMM根据屈服前根据屈服前屈服后屈服后绘出弯矩与曲率的变化曲线，如图所示：绘出弯矩与曲率的变化曲线，如图所示：0 01 12 23 34 45 5eMMe0.50.51 11.51.54 4）、卸载规律）、卸载规律 梁在达到塑性极限弯矩以后全部卸载，则在梁内存在梁在达到塑性极限弯矩以后全部卸载，则在梁内存在残余应力。应用卸载定律，可以计算此残余应力。卸载过残余应力。应用卸载定律，可以计算此残余应力。卸载过程中弯矩改变值为程中弯矩改变值为 sbhM42hybhybhIyMssz/3)121/()4(32利用此值按弹性计算
48、即得应力改变量为利用此值按弹性计算即得应力改变量为 卸载前的应力为：卸载前的应力为：s则残余应力为：则残余应力为：hyss/3前正负号：前正负号：y0y0时取正，时取正，y0y0y0时取正，时取正，y0yTTTe e作用，将作用，将T T除去后，残余应力：除去后，残余应力：在弹性区在弹性区 ，srr 0在塑性区在塑性区 ，RrrsrITkrrpsrITkp残余转角残余转角PsGITGrk5.4 5.4 非圆截面杆的塑性极限扭矩非圆截面杆的塑性极限扭矩 非圆截面杆因扭转而变形时，每一个截面不仅转动，且非圆截面杆因扭转而变形时，每一个截面不仅转动，且产生翘曲，并不能保持平面。由于弹塑性分界面一般不
49、能产生翘曲，并不能保持平面。由于弹塑性分界面一般不能事先确定，因此，求解非圆截面杆弹塑性扭转问题的解析事先确定，因此，求解非圆截面杆弹塑性扭转问题的解析解是很困难。解是很困难。下面讨论理想弹塑性材料的非圆截面扭转的塑性极限分析。下面讨论理想弹塑性材料的非圆截面扭转的塑性极限分析。1 1、结论：对于实心杆而言，在杆截面的周边筑起斜率为常、结论：对于实心杆而言，在杆截面的周边筑起斜率为常数数k k的等倾曲面（曲面任一点的切平面和底面的夹角都相的等倾曲面（曲面任一点的切平面和底面的夹角都相等）等）这样的曲面称为应力曲面。这样的曲面称为应力曲面。VTs2VV应力曲面与杆横截面所包围的空间的体积应力曲面
50、与杆横截面所包围的空间的体积2 2、沙堆比拟法、沙堆比拟法 当杆截面的形状比较复杂，应力曲面不容易确定。可当杆截面的形状比较复杂，应力曲面不容易确定。可以采用沙堆比拟法来计算。以采用沙堆比拟法来计算。 用等颗粒状的沙子堆出与应力曲面相类似的曲面，两用等颗粒状的沙子堆出与应力曲面相类似的曲面，两者的体积相差一个换算因子。者的体积相差一个换算因子。圆圆WWTTss)(kRTs332圆）（其中其中isijijijijisiijijijijiiijijijSWGSSGSSSSeSGe2882d32dd2ddd23d,23,23,212882d3d,ddd23d,dd,23,21,2sijpijsiip