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1、第5节 向心加速度1圆周运动是变速运动，故圆周运动一定有加速度，任何做匀速圆周运动的加速度都指向圆心，这个加速度叫向心加速度。2向心加速度的大小为anr2，向心加速度方向始终沿半径指向圆心，与线速度垂直。3向心加速度是由物体受到指向圆心的力产生的，反映了速度方向变化的快慢。一、 感受圆周运动的向心加速度1圆周运动必有加速度圆周运动是变速运动，变速运动必有加速度。2匀速圆周运动的加速度方向实例地球绕太阳做(近似的)匀速圆周运动光滑桌面上的小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动受力分析地球受太阳的引力，方向指向太阳中心，即为地球轨迹的圆心小球受重力、支持力、拉力三个力，合力总是指向圆心加
2、速度分析由牛顿第二定律知，加速度方向与其合外力方向相同，指向圆心二、向心加速度 1定义做匀速圆周运动的物体具有的指向圆心的加速度。2大小(1)an；(2)an2r。3方向沿半径方向指向圆心，与线速度方向垂直。1自主思考判一判(1)匀速圆周运动的加速度的方向始终不变。()(2)匀速圆周运动是匀变速曲线运动。()(3)匀速圆周运动的加速度的大小不变。()(4)根据a知加速度a与半径r成反比。()(5)根据a2r知加速度a与半径r成正比。()2合作探究议一议如图551所示，小球在拉力作用下做匀速圆周运动，请思考：图551(1)小球的向心加速度是恒定的吗？其方向一定指向圆心吗？提示：小球的向心加速度方
3、向时刻指向圆心，方向时刻改变，因此，小球的向心加速度不是恒定的。(2)若手握绳子的位置不变，增加小球的转速，则它的向心加速度大小如何变化？提示：根据a2r可知，当半径不变时，角速度变大时，加速度a也变大。对向心加速度的理解1物理意义描述线速度改变的快慢，只表示线速度的方向变化的快慢，不表示其大小变化的快慢。2方向总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变。3圆周运动的性质不论加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速曲线运动。4变速圆周运动的向心加速度做变速圆周运动的物体，加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切
4、向加速度。向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢。所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心。1关于做匀速圆周运动物体的向心加速度方向，下列说法正确的是()A与线速度方向始终相同B与线速度方向始终相反C始终指向圆心D始终保持不变解析：选C做匀速圆周运动的物体，它的向心加速度始终与线速度垂直且指向圆心，加速度的大小不变，方向时刻变化，所以C正确。2关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是()A它描述的是线速度大小变化的快慢B它描述的是线速度方向变化的快慢C它描述的是物体运动的路程变化的快慢D它描述的是角速度变化的快慢解析：选B向心加速度始终与线速度方向垂直，
5、故向心加速度只表示线速度的方向改变的快慢，不表示线速度的大小改变的快慢，A、D错误，B正确；圆周运动中，线速度是描述物体运动路程变化快慢的物理量，C错误。3多选关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法正确的是()A向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量B向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C向心加速度恒定D向心加速度的方向时刻发生变化解析：选ABD向心加速度只改变线速度的方向，所以向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，故A正确；向心加速度的方向与速度的方向始终垂直，所以向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，故B正确；向心加速度大小a，由于v的大小不变，故向心加速
6、度的大小不变，但向心加速度的方向始终指向圆心，所以向心加速度方向时刻改变，故C错误，D正确。对向心加速度公式的理解和应用1公式an该公式表明，对于匀速圆周运动，当线速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成反比；当半径一定时，向心加速度的大小与线速度的平方成正比。该公式常用于分析涉及线速度的圆周运动问题或有两个物体做圆周运动且它们的线速度相同的情景。2公式an2r该公式表明，对于匀速圆周运动，当角速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成正比；当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比。该公式常用于分析涉及角速度的圆周运动问题或有两个物体做圆周运动且它们的角速度相同的情景。3公式拓展在以上
7、两个公式的基础上，结合描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系，可得到以下公式：anvr42n2r。4向心加速度与半径的关系根据上面的讨论，加速度与半径的关系与物体的运动特点有关。若线速度一定，an与r成反比；若角速度(或周期、转速)一定，an与r成正比。如图所示。典例如图，自行车的大齿轮A、小齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径RA2RB、RC5RB，正常骑行自行车时， A、B、C三轮边缘的向心加速度的大小之比aAaBaC等于()A116B316C1210 D136解析A、B线速度大小相等，RARB21，根据a知，aAaB12。B、C角速度大小相等，RBRC15，根据aR2知，aBaC
8、15。所以aAaBaC1210，故C正确，A、B、D错误。答案C向心加速度公式的应用技巧向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系。在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应按以下步骤进行：(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同。(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比。 1如图为我国发射的绕月探测卫星“嫦娥二号”，它在距月球表面200 km高的近月圆形轨道上以127 min的周期运行，在绕月运行的过程中“嫦娥二号”卫星的向心加速度为(月球的半径为1 738 km)
9、()A1.3 m/s2B2.2 m/s2C3.8 m/s2D4.2 m/s2解析：选A卫星的轨道半径为：r200 km1 738 km1 938 km，则向心加速度为：a1.938106 m/s21.3 m/s2，故A正确，B、C、D错误。2.如图所示是自行车的轮盘与车轴上的飞轮之间的链条传动装置。P是轮盘的一个齿，Q是飞轮上的一个齿。下列说法中正确的是()AP、Q两点角速度大小相等BP、Q两点向心加速度大小相等CP点向心加速度小于Q点向心加速度DP点向心加速度大于Q点向心加速度解析：选CP、Q两点是传送带传动的两轮子边缘上两点，则vPvQ，而rPrQ，vr，所以P、Q两点角速度大小不相等，故
10、A错误；根据a及vPvQ，而rPrQ，可知P点向心加速度小于Q点向心加速度，故C正确，B、D错误。1下列关于匀速圆周运动的性质的说法正确的是()A匀速运动B匀加速运动C加速度不变的曲线运动 D变加速曲线运动解析：选D匀速圆周运动是变速运动，它的加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变量，故匀速圆周运动是变加速曲线运动，A、B、C错，D对。2下列关于质点做匀速圆周运动的说法中，正确的是()A由a知a与r成反比B由a2r知a与r成正比C由知与r成反比D由2n知与转速n成正比解析：选D由a知，只有当v一定时a才与r成反比；同理，由a2r知，只有当一定时a才与r成正比；由知v一定，与r成反比，故A、B、
11、C均错误。而2n中，2是定值，与转速n成正比，D正确。3多选一只质量为m的老鹰，以速率v在水平面内做半径为r的匀速圆周运动，则关于老鹰的向心加速度的说法正确的是()A大小为B大小为gC方向在水平面内 D方向在竖直面内解析：选AC根据an可知选项A正确；由于老鹰在水平面内运动，向心加速度始终指向圆心，所以向心加速度的方向在水平面内，C正确。4多选一小球被细线拴着做匀速圆周运动，若其轨道半径为R，向心加速度为a，则()A小球相对于圆心的位移不变B小球的线速度大小为C小球在时间t内通过的路程为D小球做圆周运动的周期为2解析：选BD做匀速圆周运动的小球，相对于圆心的位移大小不变，但方向时刻在改变，故A
12、错误。由公式a得v，故B正确。由v知lvtt，故C错误。由aR知T2，故D正确。5.如图所示，A、B为啮合传动的两齿轮，rA2rB，则A、B两轮边缘上两点的()A角速度之比为21B向心加速度之比为12C周期之比为12 D转速之比为21解析：选B根据两轮边缘线速度相等，由vr，得角速度之比为ABrBrA12，故A错误；由an，得向心加速度之比为aAaBrBrA12，故B正确；由T，得周期之比为TATBrArB21，故C错误；由n，得转速之比为nAnBAB12，故D错误。6.多选如图所示，一个球绕中心轴线OO以角速度做匀速圆周运动，则()Aa、b两点的线速度相同Ba、b两点的角速度相同C若30，则
13、a、b两点的线速度之比vavb2D若30，则a、b两点的向心加速度之比aaab2解析：选BCD由于a、b两点在同一球体上，因此a、b两点的角速度相同，B正确；由vr知vavb，A错误；又rarbcos ，则当30时，rarb，则vavbrarb2，C正确；由an2r知aaabrarb2，D正确。7.多选小金属球质量为m，用长L的轻悬线固定于O点，在O点的正下方处钉有一颗钉子P，把悬线沿水平方向拉直，如图所示，若无初速度释放小球。当悬线碰到钉子后的瞬间(设线没有断)()A小球的角速度突然增大B小球的线速度突然减小到零C小球的向心加速度突然增大D小球的线速度突然增大解析：选AC由题意知，当悬线运动
14、到与钉子相碰时，悬线仍然竖直，小球在竖直方向仍然只受重力和悬线的拉力，故其运动方向不受力，线速度大小不变；又，r减小所以增大；a，r减小则a也增大，故A、C正确。8多选关于向心加速度，以下说法中正确的是()A物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度B物体做圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度C物体做圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心D物体做匀速圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心解析：选AD物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度；物体做变速圆周运动时，向心加速度只是合加速度的一个分量，A正确，B错误。物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；物
15、体做变速圆周运动时，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度不再指向圆心，C错误，D正确。9如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点和轮4边缘的c点相比()A线速度之比为14B角速度之比为41C向心加速度之比为81D向心加速度之比为18解析：选D由题意知2va2v3v2vc，其中v2、v3为轮2和轮3边缘的线速度，所以vavc12，A错。设轮4的半径为r, 则aaac，即aaac18，C错，D对。，B错。10运用纳米技术能够制造出超微电机，英国的一家超微研究所
16、宣称其制造的超微电机转子的半径只有30 m，转速高达2 000 r/min，试估算位于转子边缘的一个质量为101026 kg的原子的向心加速度。(保留两位有效数字)解析：周期T s0.03 s， rad/s，a2r30106 m/s21.3 m/s2。答案：1.3 m/s211做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径是20 m的圆周运动100 m，试求物体做匀速圆周运动时(1)线速度的大小；(2)角速度的大小；(3)周期的大小；(4)向心加速度的大小。解析：(1)线速度为v m/s10 m/s；(2)角速度为 rad/s0.5 rad/s；(3)周期为T s4 s；(4)向心加速度为a m/s2
17、5 m/s2。答案：(1)10 m/s(2)0.5 rad/s(3)4 s(4)5 m/s212.申雪、赵宏博是我国双人花样滑冰的名将，曾代表祖国在世界各大比赛中取得了骄人的成绩。如图所示是模拟赵宏博(男)以自己为转动轴拉着申雪(女)做匀速圆周运动，若赵宏博的转速为30 r/min，申雪触地冰鞋的线速度为4.7 m/s。(1)求申雪做圆周运动的角速度。(2)求申雪触地冰鞋做圆周运动的半径。(3)若他们手拉手绕他们连线上的某点做匀速圆周运动，已知男、女运动员触地冰鞋的线速度分别为3.6 m/s和4.8 m/s，问男、女运动员做圆周运动的半径之比为多少？解析：(1)n30 r/min0.5 r/s，角速度2n3.14 rad/s。(2)设触地冰鞋做圆周运动的半径为r，由vr得r m1.5 m。(3)他们各自做如图所示的圆周运动，他们的角速度相同，男运动员做圆周运动的半径为r1，女运动员做圆周运动的半径为r2，则34。答案：(1)3.14 rad/s(2)1.5 m(3)34