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1、抛物线及其标准方程”单元教学设计（选自人教版高中数学第二册（上）第八章第五节）一、教材分析1. 在教材中的地位与作用（1）抛物线在初中以二次函数图象的形式初步探讨过，在物理上也研究过“抛物线是抛体的运动轨迹” ， 这些足以说明抛物线在实际生活中应用的广泛性，在这一带里我们将更深入地研究抛物线的定义及其标准方程。（2）抛物线是在学习了椭圆、双曲线的基础上研究的又一种圆锥曲线，它是以圆锥曲线统一定义（即第二定义）进行展开学习的，由此形成了完整的圆锥曲线概念体系。本章对抛物线的安排篇幅不多，但与椭圆、双曲线的地位是一样的。利用抛物线定义推出抛物线标准方程，为以后用解析法研究抛物线的几何性质，本节起到
2、一个承上启下的作用。（3）本节可通过类比的思想，由椭圆与双曲线的第二定义顺利得出抛物线及其焦点与准线的定义，接下来用轨迹思想建立恰当坐标系求出抛物线的标准方程，一共有四种（开口向上、向下、向左或向右），在教学过程中应重视标准方程中的“P” ，P的几何意义以及焦点坐标、标准方程与P 的关系是本节的重点，学生应掌握如何根据标准方程求P，焦点坐标与准线方程或根据三者求标准方程。2教材的编排体系分析教材内容呈现的顺序是：回顾椭圆与双曲线的第二定义（P132练习 2）根据1e的几何意义设计试验活动抛物线的定义轨迹思想推导抛物线的标准方程总结抛物线标准方程及相关概念标准方程的直接运用（例1、P132 练习
3、 1、3、4，P133习题 1、2、4）抛物线定义的灵活运用及定义法求解轨迹方程（例2、 P132 练习 5、P133 习题 3、 ）抛物线焦点弦长分析（例3、 P133 习题 7）直线与抛物线关系分析（ P133习题 5、6）3.例习题分析与教材挖掘教材在编排中尤其是P132 练习 2 的设计实质上已经体现了圆锥曲线统一定义这一设想，因此在总结中不妨明示这一知识的整合结论。定义的教学中结合椭圆、双曲线定义中容易被忽视的条件的回顾，思考教材定义叙述中的不严谨性（应要求：定点F 不在定直线l上） ，借此培养学生类比思维能力及严谨的思维意识。 标准方程：由于焦点在 不同坐标轴上及开口方 向不同，抛
4、物线方程有 四种：222(0)ypxpy p f2或y =几种不同形式， 其中焦点所在坐标轴的字母是方程中一次项的变量，开口方向确定一次项系数的正负对抛物线来说，只有一个焦参数P，因此求其标准方程只需一个独立条件。我们初中已学过一元二次函数的图象是抛物线，不妨设计思考题： 今天定义的抛物线与初中已学的抛物线从字面上看不一致，它们之间一定有某种内在联系，你能找出这种内在联系吗？以此培养学生比较研究的意识与能力。在例 2 的分析中可以考虑能否推广为“抛物线的拓展定义”；例 3 分析中注意进行思维优化：一是利用韦达定理及弦长公式；二是运用抛物线定义推导焦点弦长公式，培养学生运用几何性质简化解析几何运
5、算量的意识和能力。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页P133 习题 7 的分析中有较大的研究价值，许多关于抛物线的高考题往往与这一结论有密切的关系。 一是可以考虑其在不同标准方程下的变式结论研究，二是可以推广研究抛物线过定点 P的弦在动态运动中所满足的隐含条件；三是其推导方法既可以运用一般联立方程组的思想， 也可以运用抛物线中的点参法，这也是抛物线相关计算中的特色性方法；四是直线方程的设定形式局限性（如：斜率存在性问题）及其改良方法：如过X 轴上一定点F(0 x，0) 的直线可设方程为0 xmyx。二、.近几年高考
6、对本单元内容考察的分析近两年高考中对抛物线及其标准方程的考查主要体现在: （1）抛物线定义及其标准方程的直接运用。如(07 广东文 11) 在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点 P(2，4) ，则该抛物线的方程是28yx07 广东理 11 在平面直角系中，有一定点A（2，1） ，若线段 OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p0) 的焦点，则该抛物线的准线方程为54x。07全国II理 12 设F 为抛物线y2=4x 的焦点，A、 B、C 为抛物线上三点，若0,| | |FAFBFCFAFBFCuu u ruu u ruu u vuu u vvu uu u vu
7、uuu v则|6。（2）抛物线中的点参法计算：如06 全国理 8 抛物线 y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0 距离的最小值是（A）A、43B、75C、85D、3 06 山东文 15已知抛物线y2=4x，过点P（4，0）的直线与抛物线交于A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点，则2212yy的最小值是32。（ 3）抛物线焦点弦几何性质考查：如07 江西文 7 连接抛物线x2=4y 的焦点 F 与点 M （1， 0）所得线段与抛物线交于点A，设点 O为坐标原点，则三解形OMA 的面积为（ B）A、12B、322C、1+2D、32207 全国理地11 、抛物线y2=4x 的焦点为F，准线为l
8、，经过 F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分交于点A，AKl，垂足为K ，则 AKF的面积为（ C）A、4 B、33C、43D、8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页（4）抛物线的切线问题：（06 福建）已知直线10 xy与抛物线2yax相切，则_.a（06 湖南）曲线xy1和2xy在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是 _. （5）直线与抛物线的位置关系分析：（2007 江苏理）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点(0, )Cc任作一直线，与抛物线2yx相交于AB两点，一条垂
9、直于x轴的直线，分别与线段AB和直线:lyc交于,P Q，（1）若2OA OBuu u r uuu r，求c的值； （5 分）（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（5 分）（3）试问（ 2）的逆命题是否成立？说明理由。（4 分）【点评】这里只罗列出了近两年本单元的高考试题，单缺乏对试题的进一步分析。三、课时的划分与教学目标的确定本单元共分两个课时。第一课时为抛物线的定义与标准方程的推导；第二课时为抛物线的习题课。目的是巩固深化对抛物线定义的理解与熟练标准方式的运用，通过练习形成技能。四、学情分析1、教学对象是对解析几何知识有一定理解的高二学生，他们在前面已学习过椭圆和双曲线
10、的定义和标准方程，对于用轨迹思想推导标准方程这一思路应该有一定层次的认识，教学与前面圆锥曲线学习有较大的可比性，因此本节推导解答展示部分不妨可以采用阅读自学的方式。2、学生虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，但在解题分析策略的思考上仍然缺乏理性的把握，同时逻辑思维上仍然缺乏冷静、严谨、深刻，数学语言表达能力也较差，因此本节教学中应注意把握进行思维训练。3、学生虽然进行了一段时间的解析几何学习，但对于其中所需要的计算量的恐惧心理仍难以克服，本节教学实是一个较好的机会能在一定程度上减轻学生的心理负担。4. 本班的学情分析（略）这部分请各个指教老师在第二次备课时补上！BAxyOCQlP精选学习资
11、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页五分课时设计第一课时：抛物线的定义及四种标准方程一、教学 目标1. 知识与技能： （1）掌握抛物线的定义、四种标准方程形式及其对应的点和准线。（2） 能运用待定系数法求解抛物线的标准方程以及能解读标准方程中的焦点、准线等相关信息。(3) 理解参数p 的几何意义。（4）了解圆锥曲线的统一定义。2. 过程与方法：(1) 能积极进行试验活动，并能用语言叙述活动所反应的数学条件和结论；（2）会用坐标法与轨迹思想建立抛物线的标准方程，进一步掌握解析几何的坐标法思想。3. 情感与态度： 通过经历对公式的
12、探索，激发学生的求知欲，培养学生的主动探索精神，提高学生分析、 对比、概括等方面的能力，同时培养严谨思维、创新思维。二、教学的重点和难点1教学重点：（1）抛物线的定义、焦点、准线。（2）抛物线的四种方程形式以及p 的意义。2教学难点 ：（1）运用坐标法建立抛物线的标准方程。（2）抛物线定义及焦点、准线等知识的灵活运用。三、教学过程设计（一）复习旧知，设置活动，引入课题我们知道，到一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹：（1）当e（0，1）时，轨迹是椭圆；当e（1，+）时，轨迹是双曲线，那么当e=1 时轨迹是什么曲线呢？（学生回答）如图所示，L为黑板上的一条竖直直线，把一块三
13、角板的一条直角边紧靠直线L，再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A，取绳长等于点 A 到直角顶点C 的长（即点A 到直线 L 的距离）并且把绳子的另一个端点固定在小黑板上的一点F，用粉笔头将绳子绷紧，使点到粉笔头的一段绳子紧靠着三角板的A 点所在直角边，然后将三角板沿着直线L上下滑动，粉笔头就在小黑板上描出了一条曲线。如图所示， L 为黑板上的一条竖直直线，把一块三角板的一条直角边紧靠直线L，再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A， 取绳长等于点A 到直角顶点C的长（即点 A 到直线 L 的距离）并且把绳子的另一个端点固定在小黑板上的一点F，用粉笔头将绳子绷紧，使点
14、到粉笔头的一段绳子紧靠着三角板的A 点所在直角边，然后将三角板沿着直线 L 上下滑动，粉笔头就在小黑板上描出了一条曲线。（1）让学生观察演示过程中，粉笔头M 在运动过程中满足什么几何条件？（2）粉笔头M 的运动轨迹是否为椭圆或一支双曲线为什么？通过学生对（1） （2）问题的讨论、归纳得出：M A F L 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页粉笔头M 在运动过程中，满足的几何条件是到定点的距离和它到定直线L的距离相等，予 |MF|=|MC|。粉笔头M 的轨迹既不是椭圆也不是双曲线，因为它不符合其定义，它是我们曾经研究过
15、的抛物线，物理学中，抛物线被认为是抛体运动的轨迹，在数学中，抛物线是二次函数的图象。【板书课题：“抛物线及其标准方程（1） ” 。 】【设计说明】以活动形式设计情景，激发学生的兴趣，为下面进行标准方程探求营造良好的氛围，同时考查培养学生对活动所反映的数学实质的观察与概括总结能力。（二）总结活动，概括定义，推导标准方程1、由学生给抛物线下定义定义： 平面内与一个定点下和一条定直线L 距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F是抛物线的焦点、直线L 叫抛物线的准线（思考：若定点在定直线L 上，轨迹是什么？）。【设计说明】 此处关于抛物线定义的叙述应是教材编写上的一个疏忽，引导学生类比椭圆与双曲线定义的严
16、谨性叙述，完成对隐含要求的挖掘，可以激发学生对思维严谨性的追求，这也是成就感较高的一次学习活动。2、二次函数解析式应该也体现抛物线的定义，那么如何在二次函数解析式中去寻找定义的解释这之间的联系是呢？以y=x2为例，要求我们由y=x2入手推导出曲线上的动点到某定点和定直线的距离相等，而导出形如P（x，y）到定点F（x0，y0）的距离2200()(),xxyyPx y等于动点到定直线L 的距离，通过学生动笔变形拼凑，教师巡视指导后，由学生板演并进行讲述：222222222222112211()()4411()|44xyxyyyxyyyxyyxyy它表示平面上动点P （x，y）到定点1( ,)4F
17、x的距离正好等于它到直线14y的距离，符合抛物线的定义。3、标准方程（1）让学生回顾求曲线方程的步骤：（2）由于定点F到定直线L的距离是常数，可设为P（P0）,要求学生自主探究：建立适当坐标系求出抛物线的方程。（3）学生在坐标系的建立过程中可能出现的三种不同情形的展示。分析一：以L为 y 轴，过点 F垂直于 L的直线为y 轴，建立坐标系，则定点F（P，0） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页动点 M（x，y） ，得方程：222(0)ypxpp f。分析二：以定点F 为原点，过F作垂直于 L 直线为 x 轴建立坐标
18、系，则定点F（O，O）L 的方程为x=-p，动点 M（x，y） ，得方程：222(0)ypxpp f。分析三：取过焦点下且垂直于L 的直线为 x 轴， x 轴与 L 交于点 K，以线段 KF的垂直平分线 y 轴建立直角坐标，则F（,02p） ， L：2px，设动点M（ x，y） ，则22(0)ypx p f。（4）通过学生讨论、归纳的得出：（ a）以上方程中22(0)ypx p f的形式最简单，2P的几何意义是焦点到准线距离的2 倍，应该以它作为抛物线的一种标准方程。（b）抛物线的标准方程还有其它三种形式，由学生自学课本P129-130，并指出要得到另三种形式的标准方程应该怎样建立恰当的平面直
19、角坐标系。（c）求抛物线标准方程的关键是确定形式，求出参数P。（三）标准方程的直接运用，巩固基础例 1（1） ：已知抛物线的标准方程是26yx，求它的焦点坐标和准线方程。（2）已知抛物线的焦点为F（O，-2） ，求它的标准方程。例 2：根据已知条件，写出抛物线的标准方程。（1）经过点（ 2，2） ； （2）准线方程为14x； （3）焦点在直线x+y+1=0 上。【设计说明】（1）学生自行解答，教师巡视，让解答正确的学生板演，同时将巡视过程中发现的典型错在全班进行更正。（2）点评中着重分析一是标准方程中只有一个焦参数P，因此求其标准方程只需一个独立条件；二是分析焦点位置是选择标准方程形式的重要依
20、据，应注意分析是否可能需要讨论。（四）过手训练，及时反馈学习效果课堂练习（学生板演）1、课本 P132 3，4。2、在平面直角坐标系中，若抛物线24yx上的点 P到该抛物线的焦点的距离为6，. l l F O F x y x y x y M(x,O F . . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页则点 P的横竖标x= 5 。【设计说明】教学中应注意教学效果的及时信息反馈，做到教学有针对性和实效性。（五）课堂小结，知识体系化，巩固记忆1、抛物线的定义，四种标准方程的形式与P的几何意义。2、求抛物线的标准方程，由标准方程
21、求准线方程、焦点坐标。3、运用坐标法求方程。4、抛物线定义的应用。（六）课后作业，分层布置必做题：教科书：P133 1、2、3、4 选作题：补充题：指出抛物线2(0)xaya的焦点坐标、准线方程。解当 a0时，1,24pa抛物线开口向右， 焦点坐标为1(,0)4a1准线方程为 x=-4a。当 a0)推导课堂练习四种标准方程课堂小结作业精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页（2）理解解析几何中关于方程分析中的重要思想方法设而不求；（3）运用相关几何性质优化解析几何中代数计算过程。3. 情感与态度： 通过经历轨迹方程的求解
22、，焦点弦长的计算公式的探求，经历探求成功的心理体验， 激发学生主动探究的动机，提高学生对数形结合思想、创新思维的热情。二、重点、难点1教学重点：（1）定义法求解轨迹方程；（2）用联立方程组并结合韦达定理的方法，分析抛物线弦长的计算思路和相关公式，总结焦点弦长公式2教学难点：（1）抛物线拓展定义的运用；（2）P133 习题 7 的证明分析以及其推广研究。三、教学方法利用多媒体等辅助教学，采用探究、 阅读、启发相结合的教学模式，并引导学生进行类比、自主探究等活动。四、教学过程设计（一）（五）( 略) （六）备选例题1、若直线y=kx-2 与抛物线y2=8x 交 A、B两点，且 AB中点的横坐标为2
23、，求它直线方程。分析（一）由直线与抛物线相交，利用韦达定理列出K的方程求解。解：设 A（x1，y1） 、B（ x2，y2）则由228ykxyx可得：22(48)40k xkx直线与抛物线相交，k0 且 0， k-1 ， AB的中点坐标为212248222xxkkk或k=-1( 舍去 )故所求直线方程为：y=2x-2 分析（二）由于已知与直线斜率及中点坐标有关，用“作差法”求k。解：设 A（x1，y1） 、B(x2，y2)，则2211228,8yx yx两式作差得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页121212121
24、2121212()()8()8422()44484421()yyyyxxyyxxyykxkxk xxkkkkkQ1212y -y而x -x或舍去故所求直线方程为y=2x-22、平面上动点P到定点 F （1，0）的距离比P到 y 轴的距离大1，求动点 P的轨迹方程。解法： （定义法）动点P到定点 F（1，0）的距离比到y 轴距离大1，由于 F到 y 轴的距离为 1，故当 x0 时，直线y=0 上的点适合条件；当x0 时，原命题条价于点P到下（ 1，0）与到直线x=-1 的距离相等，故点P在以 F 为焦点， x=-1 为准线的抛物线上，其轨迹方程为 y2=4x。 4x (x0) 故所求动点P的轨迹
25、方程为y2= 0 (x0) . 解法二直接：设 P（X，Y ） ，则有22(1)| 1,xyx两边平方化简整理得：Yy2=2x+2|x| 4x (x0) y2= 0 (x0) 。故 P点的轨迹方程为y2=4x(x 0) 或 y=0(x0) 稿件排版格式（1） 文稿统一用 A4排版。页面设置（ word 默认设置）如下：上：31.7mm；下： 25.4mm；左： 31.7mm；右： 25.4mm；2 整个文章行距为单倍行距，段前段后均为0；3 公式或数学式子、表格等一般居中排列；4 内容格式按照范例。如一 、教材分析（一级标题： 4 号黑体，独占行，首行空两格，末尾不加标点）（一） （二级标题：小 4 号宋体加粗，独占行，首行空两格，末尾不加标点 ）1 （三级标题： 小 4 号宋体，独占行，首行空两格， 不加标点）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页（1） （四级标题： 小 4 号宋体，首行空两格， 可以不独占行，若不是独占行，则加标点，否则不加标点）以下类推正文，小 4 号宋体，首行空两格6 页码：全文连续排印，置于右下角。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页