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1、1 / 16 1 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷1 至 2页，第卷第 3 至 6 页。第卷第21 题为选考题，其他题为必考题。满分150 分。注意事项：1. 答题前，考生务必在试卷卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号，姓名是否一致。2. 第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第卷用0.5 毫 M黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试卷卷上作答，答案无效。3. 考试结
2、束，考生必须将试卷卷和答题卡一并交回。参考公式：样本数据1x，2x，nx的标准差锥体体积公式222121()()() nsxxxxxxn+13VSh其中x为样本平均数其中S为底面面积，h为高柱体体积公式球的表面积，体积公式VSh2344,3SRVR其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径第卷（选择题共 50 分）一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.i是虚数单位，若集合S= 1,0,1，则A.iS B.2iS C. 3iS D.2iS2. 若aR，则a=2 是(1)(2)0aa的A.充分而不必要条件 B必要而不充分条件
3、C.充要条件 C.既不充分又不必要条件3. 若tan=3，则2sin 2cos的值等于A.2 B.3 C.4 D.6 4. 如图，矩形ABCD 中，点 E为边 CD的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点 Q取自 ABE内部的概率等于A.14 B.13 C.12 D.235.10(2 )xex dx等于A.1 B.1e C.e D.1e6.5(1 2 ) x的展开式中，2x的系数等于A.80 B.40 C.20 D.10 7. 设 圆 锥 曲 线E的 两 个 焦 点 分 别 为1F，2F， 若 曲 线E上 存 在 点P满 足1|PF:12|F F:2|PF=4:3:2 ，则曲线E的
4、离心率等于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页2 / 16 A.12或32 B.23或 2 C.12或 2 D. 23或328.已知 O 是坐标原点，点A(-1,1），若点( , )Mx y为平面区域212xyxy上的一个动点，则OA OM的取值范围是A.-1.0 B.0.1 C.0.2 D.-1.2 9. 对于函数( )f x=sinaxbxc( 其中a,bR,cZ), 选取a,b,c的一组值计算(1)f和( 1)f，所得出的正确结果一定不可能是A.4 和 6 B.3和 1 C.2和 4 D.1和 2 10. 已
5、知 函 数( )f x=xex, 对 于 曲 线y( )f x上 横 坐 标 成 等 差 数 列 的 三 个 点A,B,C，给出以下判断：ABC一定是钝角三角形ABC可能是直角三角形ABC可能是等腰三角形ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A. B. C. D.注意事项：用 0.5 毫 M黑色签字笔在答题卡上书写答案，在试卷卷上作答，答案无效。二、填空题：本大题共5 小题，每小题4 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置。11. 运行如图所示的程序，输出的结果是_。12. 三棱锥 P-ABC中， PA 底面 ABC ，PA=3 ，底面 ABC是边长为2 的正三角形，则三棱锥P-AB
6、C的体积等于 _。13. 何种装有形状、大小完全相同的5 个球，其中红色球3 个，黄色球2个。若从中随机取出2 个球，则所取出的2 个球颜色不同的概率等于_。14. 如图， ABC中， AB=AC=2 ，BC=2 3，点 D 在 BC边上，ADC=45 ，则 AD的长度等于 _。15. 设V是全体平面向量构成的集合，若映射:fVR满足：对任意向量a=（1x，1y）V，b=(2x，2y) V以及任意R，均有(+(1) )fab=( )+(1)( )f af b则称映射f具有性质P.先给出如下映射：1:fVR，1()f mxy，m=( , )x yV；2:fVR，22()fmxy，m=( , )x
7、 yV；3:fVR，3()1fmxy，m=( , )x yV其中，具有性质P的映射的序号为_。（写出所有具有性质P的映射的序号）三、解答题：本大题共6 小题，共80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16. （本小题满分13 分）已知等比数列 na 的公比q=3，前 3 项和3S=133. （I ）求数列 na的通项公式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页3 / 16 （II ）若函数( )f x=sin(2)Ax（A0,0 ）在6x处取得最大值，且最大值为3a，求函数( )f x的解读式 .17. （本
8、小题满分13 分）已知直线l：yxm，mR. （I ）若以点M(2,0 ）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；（II ）若直线l关于x轴对称的直线为l，问直线l与抛物线C：24xy是否相切？说明理由 . 18. （本小题满分13 分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元 / 千克）满足关系式y=210(63axx），其中3x 6，a为常数，已知销售价格为5 元/ 千克时，每日可售出该商品11 千克。（I ）求a的值（II ）若该商品的成本为3 元/ 千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。19.
9、 （本小题满分13 分）某产品按行业生产标准分成8 个等级，等级系数X依次为 1,2 ， 8，其中X5为标准A，X3 为标准 B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6 元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4 元 / 件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（I ）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：1X5 6 7 8 P0.4 ab0.1 且1X的数字期望1X=6，求a，b的值；（II ）为分析乙厂产品的等级系数2X，从该厂生产的产品中随机抽取30 件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3
10、4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X的数学期望 . （）在（ I ）、（ II ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由. 注：（ 1）产品的“性价比”=产品的零售价期望产品的等级系数的数学；（2）“性价比”大的产品更具可购买性. 20. （本小题满分14 分）如图，四棱锥P-ABCD中， PA 底面 ABCD ，四边形ABCD 中，AB AD ，AB+AD=4 ，CD=2，45CDA. （I ）求证：平面PAB 平面 PAD ；（II ）设 AB=AP. （i ）若直线PB
11、与平面 PCD所成的角为30，求线段AB的长；（ii ）在线段AD上是否存在一个点G ，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页4 / 16 21. 本题设有（ 1）、（ 2）、（ 3）三个选考题，每题7 分，请考生任选2 题做答，满分14 分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。（1）（本小题满分7 分）选修4-2 ：矩阵与变换设矩阵00aMb（其中a0，b0）. （I ）若a=2，b=3，求矩
12、阵M的逆矩阵1M；（ II ） 若 曲 线C：221xy在 矩 阵M所 对 应 的 线 性 变 换 作 用 下 得 到 曲 线C：2214xy，求a，b的值 . （2）（本小题满分7 分）选修4-4 ：坐标系与参数方程在直接坐标系xOy中，直线l的方程为40 xy，曲线C的参数方程为3cossinxy（为参数） . （I ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，2），判断点P与直线l的位置关系；（II ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值. （3）（本小题满分7 分）选修4-5 ：不等式选讲设不等式|
13、21|1x的解集为M. （I ）求集合M；（II ）若a，bM，试比较1ab与ab的大小 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页5 / 16 2018 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）解读第卷（选择题共 50 分）一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2.i是虚数单位，若集合S= 1,0,1，则A.iS B.2iS C. 3iS D.2iS【命题意图】本题考查复数运算、元素与结合关系，是送分题. 【解读】2i=1S，故
14、选 B.【答案】 B2. 若aR，则a=2 是(1)(2)0aa的A.充分而不必要条件 B必要而不充分条件C.充要条件 C.既不充分又不必要条件【命题意图】本题考查充要条件的判断，是送分题. 【解读】a=2(1)(2)0aa，但(1)(2)0aaa=2，a=2 是(1)(2)0aa充分而不必要条件，故选A. 【答案】 A 3. 若tan=3，则2sin 2cos的值等于A.2 B.3 C.4 D.6 【命题意图】本题考查二倍角正弦公式、同同角三角函数基本关系式，是容易题. 【解读】2sin 2cos=22sincoscos=2tan=6，故选 D. 【答案】 D 4. 如图，矩形ABCD 中，
15、点 E为边 CD的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点 Q取自 ABE内部的概率等于A.14 B.13 C.12 D.23【命题意图】本题考查几何概型计算，是容易题. 【解读】点Q取自ABE内部的概率等于ABEABCDSS矩形=12ABBCAB BC=12, 故选 C.【答案】 C 5.10(2 )xex dx等于A.1 B.1e C.e D.1e【命题意图】本题考查定积分的计算，是简答题. 【解读】10(2 )xex dx=210() |xex=1202(1 )(0 )ee=e，故选 C.【答案】 C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
16、- - - -第 5 页，共 16 页6 / 16 6.5(1 2 ) x的展开式中，2x的系数等于A.80 B.40 C.20 D.10 【命题意图】本题考查二项展开式的通项公式，是简单题. 【解读】含2x项是5(1 2 )x展开式的第3 项，故其系数为2252C=40，故选 B.【答案】 B 7. 设 圆 锥 曲 线E的 两 个 焦 点 分 别 为1F，2F， 若 曲 线E上 存 在 点P满 足1|PF:12|F F:2|PF=4:3:2 ，则曲线E的离心率等于A.12或32 B.23或 2 C.12或 2 D. 23或32【命题意图】本题考查椭圆与双曲线的定义与离心率的计算，考查分类整合
17、思想，是中档题 . 【解读】1|PF:12|F F:2|PF=4:3:2,设1|PF=4k，12|F F=3k，2|PF=2k，（0k）若 圆 锥 曲 线 为 椭 圆 ， 则2a=1|PF+2|PF=6k，2c=12|F F=3k， 则 离 心 率e=22ca=36kk=12；当圆锥曲线为双曲线时，则2a=12|F F2|PF=2k，2c=12|F F=3k，则离心率e=22ca=32kk=32，故选 A. 【答案】 A 8. 已知O 是坐标原点，点A(-1,1），若点( , )Mx y为平面区域212xyxy上的一个动点，则OA OM的取值范围是A.-1.0 B.0.1 C.0.2 D.-1
18、.2 【命题意图】本题考查简单线性规划、平面向量的数量积等知识，考查数形结合思想及化归与转化数学的应用，是中档题. 【 解 读 】 作 出 可 行 域 ， 如 图 所 示 ， 设z=OA OM， 则z=xy，作出0l：0 xy，平移0l，知l过点（ 1,1 ）时，minz=0，过（ 0,2 ）时，maxz=2，OA OM的取值范围为0,2 ，故选 C.【答案】 C 9. 对于函数( )f x=sinaxbxc( 其中a,bR,cZ),选取a,b,c的一组值计算(1)f和( 1)f，所得出的正确结果一定不可能是A.4 和 6 B.3和 1 C.2和 4 D.1和 2 【命题意图】本题考查函数的奇
19、偶性和逻辑推理能力, 是难题 . 【解读】(1)f=abc,( 1)f=abc, (1)f+( 1)f=2c是偶数 , (1)f，( 1)f不可能是一奇一偶，故选D. 【答案】 D 10. 已知函数( )f x=xex, 对于曲线y( )f x上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，给出以下判断：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页7 / 16 ABC一定是钝角三角形ABC可能是直角三角形ABC可能是等腰三角形ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A. B. C. D.【命题意图】本题考查等差中项、向量的数量积等知
20、识，考查学生数据处理能力. 【解读】( )fx=+1xe0，( )f x在（， +）上单调递增，设A,B,C三点的横坐标分别为xd，x，xd（d0），则A（xd，xdexd） ,B（x,xex），C（xd,x dexd）, BA=(d,xdxeed),BC=(d,xdxeed), BABC=2()()x dxx dxdeedeed=222222xxdxdx dxxx dxdeedeeedededed=2222()()xddxdx ddeeed ee0de,de0, ddee 2, 当且仅当ddee，即d=0 时取等号，又d0，ddee2，22()xddeee0，xye在（， +）上是增函数，x
21、dxd，d0，+xdx dee，(x dx dd ee）0，又22d0，BABC0，即ABC为钝角，ABC是钝角三角形，显然正确，排除，|BA=22(x dxdeed）， |BC|=22(xdxdeed），xdxeedxdxeed，|BABC，ABC不可能是等腰三角形，故正确，排除，综上正确，故选B. 【答案】 B 注意事项：用 0.5 毫 M黑色签字笔在答题卡上书写答案，在试卷卷上作答，答案无效。二、填空题：本大题共5 小题，每小题4 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置。11. 运行如图所示的程序，输出的结果是_。【命题意图】本题考查程序框图中的赋值语句、输出语句，是容易题. 【解
22、读】1a，2b，aab=3，输出的结果为3. 【答案】 3 12. 三棱锥 P-ABC中， PA 底面 ABC ，PA=3 ，底面 ABC是边长为2 的正三角形，则三棱锥P-ABC的体积等于 _。【命题意图】本题考查棱锥的体积公式、等边三角形的面积公式、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页8 / 16 线面垂直等知识及计算能力，是简单题. 【解读】 PA 底面 ABC ， PA是三棱锥PABC的高，且PA=3 ，ABC是边长为2 的正三角形，ABCS=2324=3，-ABCPV=1333=3. 【答案】313. 何种
23、装有形状、大小完全相同的5 个球，其中红色球3 个，黄色球2 个。若从中随机取出 2 个球，则所取出的2 个球颜色不同的概率等于_。【命题意图】本题考查组合知识和等可能事件概率的计算，是中档题. 【解读】 5 个球任取两个共有25C不同的取法 , 其中所取出的2 个球颜色不同的取法有1132C C,所取出的2 个球颜色不同的概率为113225C CC=35. 【答案】3514. 如图， ABC中， AB=AC=2 ，BC=2 3，点 D 在 BC边上， ADC=45 ，则 AD的长度等于_。【命题意图】本题考查运用正余弦定理解三角形，是中档题. 【解读】（法1）过 A 作 AEBC, 垂足为
24、E， AB=AC=2 ，BC=2 3,E 是 BC的中点，且EC=3，在Rt AEC中， AE=22ACEC=1,又 ADE=45 ， DE=1 ， AD=2。( 法 2) AB=AC=2 ，BC=2 3, 由余弦定理知，cosC=2222ACBCABACBC=2222(2 3)2222 3=32, C=30，在 ADC中， ADE=45 ，由正弦定理得，sinsinADACCADC，AD=sinsinADCADC=12222=2. 【答案】215. 设V是全体平面向量构成的集合，若映射:fVR满足：对任意向量a=（1x，1y）V，b=(2x，2y) V以及任意R，均有(+(1) )fab=(
25、 )+(1) ( )f af b则称映射f具有性质P.先给出如下映射：1:fVR，1()f mxy，m=( , )x yV；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页9 / 16 2:fVR，22()fmxy，m=( , )x yV；3:fVR，3()1fmxy，m=( , )x yV其中，具有性质P的映射的序号为_。（写出所有具有性质P的映射的序号）【命题意图】本题考查向量的运算及运用新概念解决问题的能力和字母运算能力，是难题. 【解读】任意向量a=（1x，1y）V，b=(2x，2y) V以及任意R，则+(1)ab=12
26、12(1),(1)xxyy，对，1(+(fab=1212(1)(1)xxyy=1122()(1)()xyxy=11( )+(1)( )f af b，具有性质P；对，2(+(1) )fab=21212(1)(1)xxyy=22221122122 (1)(1)(1)xx xxyy，22( )+(1)( )fafb=221122)(1)()xyxy（，显然，2(+(1) )fab22( )+(1)( )fafb，故不具有性质P，对，3(+(1) )fab=1212(1)(1)1xxyy=1122(1)(1)(1)xyxy=33( )+(1)( )faf b，具有性质P，具有性质P得映射序号为.【答案
27、】三、解答题：本大题共6 小题，共80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16. （本小题满分13 分）已知等比数列 na 的公比q=3，前 3 项和3S=133. （I ）求数列 na的通项公式；（II ）若函数( )f x=sin(2)Ax（A0,0 ）在6x处取得最大值，且最大值为3a，求函数( )f x的解读式 . 【命题意图】本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式以及三角函数的最值问题，考查函数与方程思想和运算求解能力，是简单题. 【解读】（ I ）由q=3，3S=133得，31(13 )13a=133，解得1a=13，数列 na的通项公式na=23n. （II ）由（
28、I ）可知na=23n，3a=3，函数( )fx的最大值为3，A=3，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页10 / 16 ( )f x在6x处取得最大值，sin(2)6=1，又 0，=6，( )f x=3sin(2)6x. 【点评】本题题目简单，但将等比数列与三角函数结合给人以耳目一新的感觉. 17. （本小题满分13 分）已知直线l：yxm，mR. （I ）若以点M(2,0 ）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；（II ）若直线l关于x轴对称的直线为l，问直线l与抛物线C：24xy是否相切？
29、说明理由 . 【命题意图】本题考查圆的方程、直线与圆相切知识、两直线的位置关系、直线与抛物线位置关系等基础知识，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想，是中档题.【解读】（ I ）由题意知P(0, m), 以点M(2,0 ）为圆心的圆与直线l相切与点P, PMk=002m=1, 解得m=2，圆M的半径22(20)(02)r=2 2，所求圆M的方程为22(2)8xy；（II ）直线l关于x轴对称的直线为l，l：yxm，mR，l：yxm，代入24xy得2440 xxm，=2444m=1616m，当m1 时， 0，直线l与抛物线 C 相交；当m=1 时，=0，直线l与抛物线C 相切；当m1
30、 时， 0，直线l与抛物线 C 相离 . 综上所述，当m=1 时，直线l与抛物线 C 相切，当m 1 时，直线l与抛物线C 不相切 .【点评】本题考查内容和方法很基础，考查面较宽，是很好的一个题. 18. （本小题满分13 分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元 / 千克）满足关系式y=210(63axx），其中3x 6，a为常数，已知销售价格为5 元/ 千克时，每日可售出该商品11 千克。（I ）求a的值（II ）若该商品的成本为3 元/ 千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。【命题意图】本题考查运用函数、导数等
31、基础知识解函数最优化应用题，考查应用意识、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题. 【解读】（ I ）当x=5 时，y=11，210(5653a）=11，解得a=2；（II ）由（ I ）知该商品每日的销售量y=2210(63xx）（3x6），该商城每日的销售该商品的利润精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页11 / 16 ( )f x=2210(6(3)3xxx）=2210(3)(6)xx（3x6），( )fx=210(6)2(3)(6)xxx=30(4)(6)xx当x变化时，( )f x，(
32、)fx的变化情况如下表：x（3,4 ）4 （4,6 ）( )fx0 ( )fx单调递增极大值 42 单调递减由上表可得，x=4 是函数( )f x在区间（ 3,6 ）内的极大值点，也是最大值点，当x=4时，max( )f x=42. 答：当销售价格定为4 元/ 千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【点评】本题的第1 小题很简单，是送分题，第2 小题也是简单的三次函数在某个区间上的最值问题，也比较容易. 19. （本小题满分13 分）某产品按行业生产标准分成8 个等级，等级系数X依次为 1,2 ， 8，其中X5为标准A，X3 为标准 B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6
33、元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4 元 / 件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（I ）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：1X5 6 7 8 P0.4 ab0.1 且1X的数字期望1X=6，求a，b的值；（II ）为分析乙厂产品的等级系数2X，从该厂生产的产品中随机抽取30 件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X的数学期望 . （）在（ I ）、（ II ）的条件下，若
34、以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由. 注：（ 1）产品的“性价比”=产品的零售价期望产品的等级系数的数学；（2）“性价比”大的产品更具可购买性. 【命题意图】本题考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类整合思想，是中档题. 【解读】（ I ）由题意知，0.40.1 150.4678 0.16abab，解得0.30.2ab；（II ）由已知得，样本的频率分布表如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页12 / 16 2X3
35、 4 5 6 7 8 f0 3 02 02 01 01 01 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：2X3 4 5 6 7 8 P 0 3 02 02 01 01 01 所以22222223 (3)4 (4)5 (5)6 (6)7 (7)8 (8)EXP XP XP XP XP XP X30.340.250.260.170.180.14.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （III ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6 元/件，所以其性价比为61.6因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，
36、价格为4 元 /件，所以其性价比为4.81.2.4据此，乙厂的产品更具可购买性。20. （本小题满分14 分）如图，四棱锥P-ABCD中， PA 底面ABCD ，四边形ABCD中， AB AD ，AB+AD=4 ，CD=2，45CDA. （I ）求证：平面PAB 平面 PAD ；（II ）设 AB=AP. （i ）若直线PB与平面 PCD所成的角为30，求线段AB的长；（ii ）在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由。【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算
37、求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想. 【解读】解法一：（ I ）PA平面ABCD ，AC平面ABCD ，PAAB，又,ABAD PAADAAB平面 PAD。又AB平面 PAB，平面PAB平面 PAD。（II ）以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz（如图）在 平 面 ABCD内 ， 作CE/AB交AD于 点 E， 则.CEAD在Rt CDE中， DE=cos451CD，sin 451,CECD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页13 / 16 设 AB=AP=t ，则 B（t，0，0
38、）， P（0，0，t）由 AB+AD=4 ，得 AD=4-t ，所以(0,3,0),(1,3,0),(0,4,0)EtCtDt，( 1,1,0),(0,4,).CDPDtt（ i ） 设 平 面PCD的 法 向 量 为( , , )nx y z， 由nC D，nPD， 得0,(4)0.xyt ytx取xt，得平面PCD 的一个法向量 , ,4nt tt，又( ,0,)PBtt，故由直线PB与平面 PCD 所成的角为30，得22222| 24 |1cos60|,2| |(4)2n PBttnPBtttx即解得445tt或（舍去，因为AD40t），所以4.5AB（ii ）假设在线段AD 上存在一个
39、点G，使得点G 到点 P，B，C，D 的距离都相等，设 G（0，m，0）（其中04mt）则(1 ,3,0),(0,4,0),(0, )GCtmGDtmGPm t，由| |GCGD得222(4)tmmt，（ 2）由（ 1）、（ 2）消去t，化简得2340mm（3）由于方程（ 3）没有实数根，所以在线段AD 上不存在一个点 G，使得点 G 到点 P，C，D 的距离都相等。从而，在线段AD 上不存在一个点G，使得点 G 到点 P，B，C，D 的距离都相等。解法二：（I）同解法一。（II ）（ i）以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz（如图）在 平 面ABCD内 ， 作CE/AB交AD于E
40、 ， 则C EA D。在 平 面ABCD内 ， 作CE/AB交AD于 点E ， 则.C EA D在Rt CDE中， DE=cos451CD，sin 451,CECD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页14 / 16 设 AB=AP=t ，则 B（t，0，0）， P（0，0，t）由 AB+AD=4 ，得 AD=4-t ，(0,3,0),(1,3,0),(0,4,0)EtCtDt，( 1,1,0),(0,4,).CDPDtt设平面 PCD 的法向量为( , , )nx y z，由nCD，nPD，得0,(4)0.xyt
41、ytx取xt，得平面PCD 的一个法向量 , ,4nt tt，又( ,0,)PBtt，故由直线PB与平面 PCD 所成的角为30，得22222| 24 |1cos60|,2| |(4)2n PBttnPBtttx即解得445tt或（舍去，因为AD40t），4.5AB（ii ）假设在线段AD 上存在一个点G，使得点G 到点 P，B，C，D 的距离都相等，由 GC=CD ，得45GCDGDC，从而90CGD，即,CGADsin 451,GDCD设,AB则AD=4- ,3AGADGD，在Rt ABG中，2222(3)GBABAG2392()1,22这与 GB=GD 矛盾。所以在线段AD 上不存在一个
42、点G，使得点G 到点 B，C，D 的距离都相等，从而，在线段AD 上不存在一个点G，使得点 G 到点 P，B，C，D 的距离都相等。21. 本题设有（ 1）、（ 2）、（ 3）三个选考题，每题7 分，请考生任选2 题做答，满分14 分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。（1）（本小题满分7 分）选修4-2 ：矩阵与变换设矩阵00aMb（其中a0，b0）. （I ）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵1M；（ II ） 若 曲 线C：221xy在 矩 阵M所 对 应 的 线 性 变 换 作 用 下 得 到 曲 线C：精
43、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页15 / 16 2214xy，求a，b的值 . 【命题意图】本小题主要考查矩阵与交换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想【解读】（ I）设矩阵M 的逆矩阵11122xyMxy，则110.01MM又2003M，所以112220100301xyxy，112211221121,20,30,31,0,0,23xyxyxyxy即故所求的逆矩阵1102.103M（II ）设曲线C 上任意一点( , )P x y，它在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到点( ,)Pxy，则00ab,
44、xxaxxyybyy即又点( ,)Pxy在曲线C上，2214xy. 则222214a xb y为曲线 C 的方程，又已知曲线C 的方程为22224,1,1.axyb故又2,0,0,1.aabb所以【点评】（2）（本小题满分7 分）选修4-4 ：坐标系与参数方程在直接坐标系xOy中，直线l的方程为40 xy，曲线C的参数方程为3cossinxy（为参数） . （I ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，2），判断点P与直线l的位置关系；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
45、 -第 15 页，共 16 页16 / 16 （II ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值. 【命题意图】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想. 【解读】（ I ）把极坐标系下的点(4,)2P化为直角坐标，得P（0，4）。因为点 P的直角坐标（ 0，4）满足直线l的方程40 xy，所以点 P在直线l上，（II ）因为点Q 在曲线 C 上，故可设点Q 的坐标为( 3cos ,sin)，从而点 Q 到直线l的距离为2cos()4|3cossin4 |62 cos()22622d，由此得，当cos()16时， d取得最小值，且最小值为2.【点评】（3）（本小题满分7 分）选修4-5 ：不等式选讲设不等式|21| 1x的解集为M. （I ）求集合M；（II ）若a，bM，试比较1ab与ab的大小 . 【命题意图】本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想 . 【解读】（ I）由|21| 11211,01.xxx得解得所以|01 .Mxx（II ）由（ I）和,a bM可知0a1,0b1，所以(1)()(1)(1)0.ababab故1.abab【点评】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页