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1、1 / 8 本章总结【知识建构】【数学趣闻】载入数学史的趣事在我国悠久的数学历史上，只有一个数学家家族，这就是梅氏数学家家族.出现于我国明末清初的 “ 梅氏数学家家族” 祖孙四代人，就有十多位数学家，以卓越的成就，推动了我国数学的发展.这不仅在我国数学史上是件稀罕事，独此一家，就是在世界数学史上也不多见. 梅珏成（公元16811763 年），是中国数学史上著名的“梅氏数学家族”的主要代表之一 .年幼即跟随其祖父、大数学家梅文鼎学习数学，取得了较大的成就，成为继其祖父之后的又一佼佼者.一天，他外出游玩，中途休息时，看见路边有几个农民正在测量一块直角三角形形状的田地.梅珏成很感兴趣地走过去，询问起
2、来.原来这几个农民想在这块直角三角形田上砌一个正方形的粪池，并要求这个正方形的面积尽可能最大.所以要算一下正方形的边长是多少. 矩 形平行四边形平面图形的重心等腰梯形菱 形判 定性 质性 质判 定正方形判 定性 质梯 形判 定性 质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2 / 8 梅珏成问明了两个测量出来的数字（一条直角边长24M，另一条直角边长10 尺）以后，说：“这很简单，只要设所求的正方形边长为x，利用两个相似三角形的对应边成比例关系，立即可得：24:x10:(10 x)，x 10 24/1024120/17(尺)
3、，即为所求 .”几个农民听完后，连声称赞道：“先生真了不起！我们对算术可是一窍不通，平时全靠这孩子帮忙，他可没您算得快.”梅珏成这才注意到旁边的那个男孩子，于是笑了笑说：“小先生，你算出来的，是不是也一样呀？”小男孩子点点头，说：“是一样.但我不懂什么相似三角形.我是这样算的.”小男孩子一边说，一边用树枝在地上画起来：把三角形分成三块，每块两个，拼成一个大正方形 .这样一下子就可以看出，大长方形面积是原三角形的两倍，要求的边长（也就是大长方形的宽）则等于大长方形的面积除以它的底长，即？10 24/10+24120/17(尺 ) 梅珏成看完后非常惊讶：真是直观和巧妙极了，而且简单易懂！当他得知，
4、早在一千多年以前的三国时期，大数学家刘徽就已运用了这种“面积割补法”时，兴奋极了.回宫后，也立即将这个问题及解法写进正在编写的书中.祖孙四代的梅氏数学家家族，是我们中华民族的骄傲，它为祖国文化所做出的巨大贡献，值得我们赞扬！而小男孩巧解题一事也因巧遇梅珏成而载入我国数学史册，成为美谈. 【本章测评】 （单元活页卷）一、选择题 （每题 3分，共 30 分）1. 矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（） A. 对边相互平行 B. 对角线相等 C. 对角线相互平分 D. 对角相等答案： B 2.顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得到的四边形一定是( ) A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D
5、. 正方形答案： C 3.菱形两条对角线的长分别为6 和 8，则这个菱形的周长为（）A.18 B.20 C.22 D.24 答案： B 4.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A.当 AB=BC 时，它是菱形 B. 当 AC BD 时，它是菱形D C B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页3 / 8 C.当 ABC=90 时，它是矩形 D.当 AC=BD 时，它是正方形答案： D 5.在平面直角坐标系中，已知点A（0，2）， B（32， 0）， C（0，2）， D（32，0），则以这四
6、个点为顶点的四边形ABCD 是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形答案： B 6.如果等腰梯形两底差的一半等于它的高，那么这个梯形的一个底角等于（） A.75 B.60 C.45 D.30解读：如图，作DE AB，DF BC 于 F.则可得四边形ABED是平行四边形，得BE=AD ，DE=AB=CD ，于是BF=FC ，根据题意得 DF=FC ，可求得 C=45 . 答案： C 7.下列命题正确的是（）A.对角线相等且互相平分的四边形是菱形 B.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D.对角线相等的四边形是等腰梯形答案： C 8.如图，在等腰梯形ABCD
7、中， AD BC， AD=3， BC=5，AC，BD相交于O 点，且 BOC=60 ，顺次连结等腰梯形各边中点所得四边形的周长是（）A.24 B.20 C.16 D.12 解读：如图，作DEAC 交 BC 延长线于E，则四边形ACED 是平行四边形，得DE=BD=AC ， CE=AD= 3，于是BE= 8，而 BDE= BOC= 60 ，故 BDE 是正三角形，得AC=BD=BE =8，于是根据三角形的中位线定理可求得连结等腰梯形各边中点所得四边形的周长. 答案： C 9.当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”.如图，已知矩形ABCD ，我们按如下步骤操
8、作可以得到一个特定的角：(1)以点A 所在直线为折痕，折叠纸片，使点B 落在 AD 上，折痕与BC 交于 E；(2)将纸片展平后，再一次BACFEDCABOEDCABOD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页4 / 8 折叠纸片，以E 所在直线为折痕，使点A 落在BC 上，折痕EF 交 AD 于 F.则 AFE=（）A.60 B.67.5 C.72 D.75解读：根据步骤作出图形，由题意可知AE，EF 分别是 BAD 和 AEC 的角平分线 ，于 是 AFE= FEC= 12AEC=67.5 .答案： B 10.如图，在
9、直角梯形ABCD 中AD BC，点E 是边CD 的中点，若AB=AD+BC，BE=52，则梯形ABCD 的面积为（）A.254 B.252 C.258 D.25 解读：如图，连结并延长AE 交 BC 延长线于F，则可证 ADEFCE，得 AD=FC ，AE=EF ，于是AB=BF ，而 ABC=90 ，BE=52，故AF=5，AB=522=BF，于是可求得梯形ABCD 的面积 . 答案： A二、填空题 （每题 3 分，共 30 分）11. 矩形的两邻边分别为8和 6 ，则其对角线为，矩形面积为 cm2. 答案： 10 48 12.RtABC 中，两条直角边AC， BC 的长分别为2 2 cm
10、与 2cm，点 D 是斜边AB 上的中点，则 CD= cm. 答案：313.已知菱形ABCD 的面积是12cm2，对角线AC=4cm，则菱形的边长是 cm. 答案：1314.如图，矩形纸片ABCD 中， AD=9，AB=3，将其折叠，使点D 与点 B 重合，折痕为EF，那么折痕EF 的长为 _. 答案：1015. 如图，菱形花坛ABCD 的边长为6m， B60 ，其中由两个正CABFEDBABACEDBACFEDCA F D B C E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页5 / 8 六边形组成的图形部分种花，则种花部
11、分的图形的周长为_. 答案： 20m 16. 如 图 ， 正 方 形ABCD的 边 长 为3cm ，15ABE， 且A BA E，则DE= cm. 答案： 3 17. 如图， P 是正方形 ABCD 内一点，将 ABP 绕点 B 顺时针方向旋转能与CBP重合，若PB=3，则 PP/= . 解读：由题意可得PB=P/B=3， PBP/=90 ，由勾股定理求得PP/= 32 . 答案： 3218.若等腰梯形ABCD 的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为60 ，则该等腰梯形的面积为 . 解读：如图，作DEAC 交 BC 延长线于E，则四边形ACED 是平行四边形，得DE=BD=AC ，CE=
12、AD ，于是BE= 4，而 BDE= BOC= 60 ，故 BDE 是正三角形，故梯形的面积即为正BDE 的面积 . 答案： 4 319.如图，梯形 ABCD 中， AB DC ， ADC BCD=90 ，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC 为边向梯形外作正方形，其面积分别为1S、2S、3S，则1S、2S、3S之间的关系是 . 解读：过A 作 AEBC，易证得DE=CE=AB ， DAE=90 ，于是可得AD2+AE2=DE2，即AD2+BC2 =AB2，亦即 S1+S3=S2. 答案： S1+S3=S220.如图，菱形ABCD 中， BAD=60o，M 是 AB 的中点， P是对角线AC
13、 上的一个动点，若PM+PB 的最小值是3，则AB 长为 . 解读：连结PD，则易证 CPB CPD，得 PB=PD ，故 PM+PD 的最小值即DM 为 3，易得 DAM 是 30 o的直角三角形，故AB=AD = 2 3 . CABOED精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页6 / 8 答案： 2 3三、解答题 （共 40 分）21. 如图，四边形ABCD 为矩形， ABD60 ，BD10. 求 AB、AD 和面积 . 解：四边形ABCD 为矩形， BAC=90 ，BO=OD=OA=OC=5. ABD60 ， AOB
14、 是正三角形，AB=AO= 5. AD=225 3BDAB. 22.如图，把一张矩形的纸ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点 E 处， BE 与 AD 交于点 F. 求证： ABF EDF；若将折叠的图形恢复原状，点F 与 BC 边上的点M 正好重合，连接DM，试判断四边形BMDF 的形状，并说明理由. (1)证明：由题意得DE=DC=AB ， A= E=90 ，又 AFB= EFD ， ABF EDF . (2)菱形 . 证明： BEDM，ADBC，四边形BMDF 是平行四边形. ABF EDF， BF=DF . 四边形 BMDF 是菱形 . 23.如图所示，在ABC 中，分别以AB
15、、AC、BC 为边在 BC 的同侧作等边 ABD，等边ACE、等边 BCF.(1)求证：四边形DAEF 是平行四边形；(2)探究下列问题：(只填满足的条件，不需证明) 当 ABC 满 足 _ 条 件 时 ， 四 边 形DAEF 是矩形；当 ABC 满足 _ 条件时，四边形DAEF 是菱形；当 ABC 满足 _条件时，四边形DAEF 是正方形；当 ABC 满足 _ 条件时，以D、A、E、F 为顶点的四边形不存CBADFEO D B C A CDBAM第22 题图FE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页7 / 8 在. (
16、1)证明： ABD 和 FBC 都是等边三角形， DBF+ FBA= ABC+ FBA=60 ， DBF= ABC. 又 BD=BA ，BF=BC ， ABC DBF ， AC=DF=AE . 同理 ABC EFC， AB=EF=AD . 四边形 ADFE 是平行四边形. (2) BAC=150 AB=AC BC BAC=6024. 如图甲，四边形ABCD 是等腰梯形， ABDC. 由 4 个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形. (1)求四边形ABCD 四个内角的度数；(2)试探究四边形ABCD 四条边之间存在的等量关系，并说明理由；(3)现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一
17、个菱形吗？若能，请你画出大致的示意图 . 解： (1)由图乙知3 C=360 ，得 C=120 =D. ABDC， A+ D=180 ， A=60 = B. (2)由图乙知AD=DC=CB . 过 C 作 CEAD，则四边形ADCE 是平行四边形 . AE=DC=AD=CE=CB，故 AB=2AD=2DC=2CB. (3)由于图乙的边长之比为2：3，如图 . 25. （1）如图1，图 2，图 3，在ABC中，分别以ABAC，为边，向ABC外作正三角形，正四边形，正五边形，BECD，相交于点O. A B C D （图甲）（图乙）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
18、- - - - - -第 7 页，共 8 页8 / 8 如图 1，求证：ABEADC；探究：如图1，BOC；如图 2，BOC；如图 3，BOC. （2）如图4，已知：ABAD，是以AB为边向ABC外所作正n边形的一组邻边；ACAE，是以AC为边向ABC外所作正n边形的一组邻边.BECD，的延长相交于点O. 猜想：如图4，BOC（用含n的式子表示 ）；根据图 4 证明你的猜想 . （1）证明：ABD与ACE均为等边三角形，AD=AB ，AC=AE 且60BADCAEBADBACCAEBAC，即DACBAE，ABEADC. 120，90，72. （2）360n证明：依题意，知BAD和CAE都是正n边形的内角，ABAD，AEAC，(2)180nBADCAEnBADDAECAEDAE，即BAEDAC. ABEADC. ABEADC，180ADCODA，180ABOODA360ABOODADABBOC，180BOCDAB(2)180360180180nBOCDABnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页