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1、多练出技巧巧思出硕果第三节 全微分及其应用教学目的：理解全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件。教学重点：全微分的计算教学难点：全微分形式的不变性；教学时数： 2 教学内容：一、全微分1全微分的定义设( , )zf x y在点( ,)x y的某邻域内有定义，如果( , )zf x y在点( ,)x y的全增量(,)( ,)zf xx yyf x y可以表示成22()() )zA xB yoxy，其中,A B与, xy都无关，则称( , )zf x y在点( ,)x y处可微， 而全增量的线性主部A xB y称为函数( , )zf x y在( , )x y处的全微分，记作d
2、z，即dzAdxBdy说明：如果函数在区域D 内各点处都可微分那么称这函数在D 内可微分2可微与连续关系命题：如果( , )zf x y在点00(,)xy可微，则( ,)zf x y在点00(,)xy处连续事实上这是因为如果( , )zf x y在点00(,)xy可微则0000(,)(,)()zf xx yyf xyA xB yo于是0lim0z从而000000(,)(0,0)0lim(,)lim(,)(,)xyf xx yyf xyzf xy因此函数( , )zf x y在点00(,)xy处连续。3可微与偏导数的关系定理：如果( , )zf x y在点00(,)xy可微，则( ,)zf x
3、y在点00(,)xy处的两个偏导数0000(,),(,)xyfxyfxy都存在，并且全微分表达式中的,A B为0000(,),(,)xyAfxyBfxy证： 设函数( , )zf x y在点00(,)P xy可微分于是 有()zA xByo特别当精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页多练出技巧巧思出硕果0y时有0000 (,)(,)(|).f xx yf xyA xox上式两边各除以x再令0 x而取极限就得00000(,)(,)limxf xx yf xyAx从 而 偏 导 数00(,)xfxy存 在且00(,)xAfx
4、y同 理 可 证 偏 导 数00(,)yfxy存 在且00(,)yBfxy所以000000(,)(,)(,)xyxyxyzzdzxyxy说明：如果( , )zf x y处处可微，则( , )( , )xydzfx y dxfx y dy 偏导数xz、yz存在是可微分的必要条件但不是充分条件例 如函 数000),(222222yxyxyxxyyxf在 点(0, 0)处 虽 然 有(0,0)0 xf及(0,0)0yf但函数在(0, 0)不可微分即(0,0)(0,0)xyzfxfy不是较高阶的无穷小这是因为当(,)xy沿直线yx趋于(0,0)时)0, 0()0, 0(yfxfzyx021)()()(
5、)(2222xxxxyxyx例 1：计算函数22zx yy的全微分解：因为xyxz2yxyz22所以22(2 )dzxydxxy dy例 2： 计算函数xyze在点 (2 1)处的全微分解：因为xyyexzxyxeyz212exzyx2122eyzyx所以222dze dxe dy例 3： 计算函数yzeyxu2sin的全微分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页多练出技巧巧思出硕果解：因为1xuyzzeyyu2cos21yzyezu所以dzyedyzeydxduyzyz)2cos21(二、可微的充分条件定 理如 果(
6、,)zfx y的 两 个 偏 导 函 数( , ),( , )xyfx yfx y在 点00(,)xy连 续 ， 则 必 有( ,)zf x y在点00(,)xy处可微三、全微分在近似计算中的应用当 二 元 函 数( ,)zfx y在 点( ,)P x y的 两 个 偏 导 数( ,),( ,)xyfx yfx y连 续并 且|x|y都较小时有近似等式( , )( , )xyzdzfx yxfx yy即(,)( , )( , )( , )xyf xx yyf x yfx yxfx yy我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算例 4：有一圆柱体受压后发生形变它的半径由20cm 增大到2005
7、cm高度由 100cu减少到 99cm求此圆柱体体积变化的近似值解：设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V则有2Vr h已知20,100rh0.05,1rh根据近似公式有22rhVdVVrVhrh rrh2220 1000.0520( 1)200(cm3)即此圆柱体在受压后体积约减少了200cm3例 5：计算2.02(1 .04)的近似值解：设函数( , )yf x yx显然要计算的值就是函数在1.04,2.02xy时的函数值(1.04,2.02)f取1,2,0.04,0.02.xyxy由于(,)( , )( , )( , )xyf xx yyf x yfx yxfx yy1lnyyyxyxxxx y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页多练出技巧巧思出硕果所以2.0222 12(1.04)12 10.04 1ln1 0.021.08精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页