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1、专题十五不等式选讲探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点含绝对值不等式的解法理解绝对值的几何意义并了解等号成立的条件;会求解绝对值不等式的最值和解集2018课标全国,23,10分解绝对值不等式不等式恒成立2017课标全国,23,10分解绝对值不等式不等式恒成立2019课标全国,23,10分解绝对值不等式不等式恒成立不等式的证明会证明简单的绝对值不等式2016课标全国,24,10分不等式的证明含绝对值不等式的求解2017课标全国,23,10分不等式的证明均值不等式2019课标全国,23,10分不等式的证明均值不等式2019课标全国,23,10分不等式的证明均值
2、不等式分析解读不等式选讲是高考的选考内容之一,主要考查绝对值的几何意义,绝对值不等式的解法及不等式证明的基本方法,本专题内容在高考中分值为10分,属于中档题.破考点 练考向【考点集训】考点一含绝对值不等式的解法1.(2018山西高考考前适应性测试,23)已知函数f(x)=|x-1|-a(aR).(1)若f(x)的最小值不小于3,求a的最大值;(2)若g(x)=f(x)+2|x+a|+a的最小值为3,求a的值.答案(1)因为f(x)min=f(1)=-a,所以-a3,解得a-3,所以amax=-3.(2)g(x)=f(x)+2|x+a|+a=|x-1|+2|x+a|.当a=-1时,g(x)=3|
3、x-1|0,03,所以a=-1不符合题意.当a-1时,g(x)=(x-1)+2(x+a),x-a,(x-1)-2(x+a),1x-a,-(x-1)-2(x+a),x1,即g(x)=3x-1+2a,x-a,-x-1-2a,1x-a,-3x+1-2a,x-1时,同理可知g(x)min=g(-a)=a+1,由a+1=3,解得a=2.综上,a=2或-4.2.(2019河南驻马店期末,23)已知函数f(x)=|x+a|+|2x-1|(aR).(1)当a=-1时,求不等式f(x)2解集;(2)若f(x)2x的解集包含12,34,求a的取值范围.答案(1)当a=-1时,不等式f(x)2可化为|x-1|+|2
4、x-1|2,当x12时,不等式为1-x+1-2x2,解得x0;当12x1时,不等式为1-x+2x-12,无解;当x1时,不等式为x-1+2x-12,解得x43.综上,原不等式的解集为(-,043,+.(2)因为f(x)2x的解集包含12,34,所以不等式可化为|x+a|+2x-12x,即|x+a|1,解得-a-1x-a+1.由题意知-a+134,-a-112,解得-32a14.所以实数a的取值范围是-32,14.考点二不等式的证明1.(2018湖南师范大学附属中学月考(五),23)(1)已知函数f(x)=|x-2|-|x+1|,解不等式f(x)x2-2x;(2)已知x,y,z均为正数,求证:x
5、yz+yzx+zxy1x+1y+1z.答案(1)f(x)=|x-2|-|x+1|=3(x-1),-2x+1(-1x2),-3(x2).当x-1时,不等式为x2-2x3,-1x3,x=-1;当-1x2时,不等式为x2-2x-2x+1,解得-1x1,-1x1;当x2时,不等式为x2-2x-3,x.综上,不等式的解集为-1,1.(2)证法一:因为x,y,z都为正数,所以xyz+yzx=1zxy+yx2z,同理可得yxz+zyx2x,zxy+xyz2y,当且仅当x=y=z时,以上三式等号都成立.将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得xyz+yzx+zxy1x+1y+1z.证法二:要证xyz+yzx
6、+zxy1x+1y+1z,即证x2+y2+z2yz+xz+xy,即证(x-y)2+(x-z)2+(y-z)20,上式恒成立,所以原不等式得证.2.(2019湖南衡阳第八中学第三次月考,23)已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|.(1)解不等式f(x)3;(2)记函数g(x)=f(x)+|x+1|的值域为M,若tM,证明:t2+13t+3t.答案(1)依题意,得f(x)=-3x,x-1,2-x,-1x12,3x,x12,于是f(x)3x-1,-3x3或-1x0,(t-3)(t2+1)t0.t2+13t+3t.炼技法 提能力【方法集训】方法1含绝对值不等式的解法1.(2018河南南阳第一中学
7、第一次月考,2)不等式|x-5|+|x+3|1的解集是()A.-5,7 B.-4,6C.(-,-57,+) D.(-,+)答案D2.(2018豫南九校5月联考,23)已知函数f(x)=|x+1|+|x-3|.(1)若关于x的不等式f(x)a有解,求实数a的取值范围;(2)若关于x的不等式f(x)f(x)min. f(x)=2x-2,x3,4,-1x3,2-2x,x-1,作出函数f(x)的图象如图所示,观察函数的图象,可得实数a的取值范围是(4,+).(2)由题意可得x=72是方程|x+1|+|x-3|=a的解,据此有a=72+1+72-3=5,解绝对值不等式|x+1|+|x-3|5可得-32x
8、3的解集为R,则实数m的取值范围是()A.(-,-4)(2,+) B.(-,-4)(1,+)C.(-4,2) D.-4,1答案A2.(2020届江西南昌质量检测,23)已知函数f(x)=|x+2|+|x-a|.(1)当a=1时,求f(x)4x的解集;(2)若x1R,x2R,使得f(x1)=|x2-2|+|x2+2|成立,求a的取值范围.答案(1)当a=1时,f(x)=|x+2|+|x-1|=-2x-1,x-2,3,-2x1,2x+1,x1.(1分)当x-2时,由-2x-14x得x-16,又x-2,故无解.(2分)当-2x1时,由34x得x34,又-2x1,故34x1.(3分)当x1时,由2x+
9、14x得x12,又x1,故x1.(4分)综上所述,当a=1时,f(x)4x的解集为34,+.(5分)(2)设g(x)=|x-2|+|x+2|,f(x)=|x+2|+|x-a|x+2-x+a|=|a+2|,(7分)g(x)=|x-2|+|x+2|x-2-x-2|=4,(9分)由题可知|a+2|,+)4,+),所以|a+2|4,故a(-,-62,+).(10分)方法3不等式的证明与应用的解题方法1.若|x-s|t,|y-s|t,则下列不等式中一定成立的是()A.|x-y|2t B.|x-y|2t D.|x-y|t答案A2.(2020届河南十所名校测试,23)设函数f(x)=|x+1|+|x-2|.
10、(1)求不等式f(x)4的解集;(2)设a,b,cR+,函数f(x)的最小值为m,且12a+13b+14c=m,求证:2a+3b+4c3.答案本题主要考查绝对值不等式,用绝对值不等式证明不等式.(1)f(x)=1-2x,x2.(2分)当x2时,由f(x)4,得2x-14,所以x52.所以不等式f(x)4的解集为-,-3252,+.(5分)(2)证明:由(1)知,f(x)的最小值m=3,所以12a+13b+14c=3,(6分)所以3(2a+3b+4c)=(2a+3b+4c)12a+13b+14c=1+1+1+2a3b+3b2a+2a4c+4c2a+4c3b+3b4c3+22a3b3b2a+22a
11、4c4c2a+24c3b3b4c=9,(9分)当且仅当2a=3b=4c=1,即a=12,b=13,c=14时,等号成立.所以2a+3b+4c3.(10分)【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点一含绝对值不等式的解法1.(2019课标全国,23,10分)选修45:不等式选讲已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集;(2)若x(-,1)时, f(x)0,求a的取值范围.答案本题以绝对值函数为背景,主要考查绝对值不等式的解法,通过去绝对值号的过程着重考查学生的分类讨论思想,借助不等式恒成立问题考查学生的化归与转化思想,体现了数学运算的核心素养.(1
12、)当a=1时, f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).当x1时, f(x)=-2(x-1)20;当x1时, f(x)0.所以,不等式f(x)0的解集为(-,1).(2)因为f(a)=0,所以a1.当a1,x(-,1)时, f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)0,所以,a的取值范围是1,+).2.(2018课标全国,23,10分)选修45:不等式选讲设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x0,+)时, f(x)ax+b,求a+b的最小值.答案(1)f(x)=-3x,x-12,x+2,-12x1的解集;(2)若x(0
13、,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.答案(1)当a=1时, f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,x-1,2x,-1x1的解集为xx12.(2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|0,则|ax-1|1的解集为x0x2a,所以2a1,故0a2.综上,a的取值范围为(0,2.4.(2018课标全国,23,10分)选修45:不等式选讲设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集;(2)若f(x)1,求a的取值范围.答案(1)当a=1时, f(x)=2x+4,x-1,2,-12.可得f(x)0
14、的解集为x|-2x3.(2)f(x)1等价于|x+a|+|x-2|4.而|x+a|+|x-2|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)1等价于|a+2|4.由|a+2|4可得a-6或a2.所以a的取值范围是(-,-62,+).5.(2017课标全国,23,10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围.答案(1)解法一:当a=1时,不等式f(x)g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-40.当x1时,式化为x2+x-40
15、,从而1x-1+172.所以f(x)g(x)的解集为x-1x-1+172.解法二:g(x)=2x,x1,2,-1x1,-2x,x-1,当a=1时,f(x)=-x2+x+4,在同一平面直角坐标系中,画出g(x)与f(x)的图象如图,易求得A(-1,2),B-1+172,-1+17,所以f(x)g(x)的解集为x|-1x-1+172.(2)解法一:当x-1,1时,g(x)=2.所以f(x)g(x)的解集包含-1,1等价于当x-1,1时f(x)2.又f(x)在-1,1的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)2且f(1)2,得-1a1.所以a的取值范围为-1,1.解法二:当x-1,1时,g
16、(x)=2,所以f(x)g(x)的解集包含-1,1等价于当x-1,1时f(x)2,即-x2+ax+42.当x=0时,-x2+ax+42成立.当x(0,1时,-x2+ax+42化为ax-2x.而y=x-2x在(0,1上单调递增,所以最大值为-1,所以a-1.当x-1,0)时,-x2+ax+42化为ax-2x.而y=x-2x在-1,0)上单调递增,所以最小值为1,所以a1.综上,a的取值范围为-1,1.6.(2017课标全国,23,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.答案(1)f(x)=-3
17、,x2.当x2时,由f(x)1得x2.所以f(x)1的解集为x|x1.(2)由f(x)x2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-|x|-322+5454,且当x=32时,|x+1|-|x-2|-x2+x=54.故m的取值范围为-,54.考点二不等式的证明1.(2019课标全国,23,10分)选修45:不等式选讲已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)1a+1b+1ca2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.证明(1)因为a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac,
18、又abc=1,故有a2+b2+c2ab+bc+ca=ab+bc+caabc=1a+1b+1c.所以1a+1b+1ca2+b2+c2.(2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)333(a+b)3(b+c)3(a+c)3=3(a+b)(b+c)(a+c)3(2ab)(2bc)(2ac)=24.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.2.(2019课标全国,23,10分)选修45:不等式选讲设x,y,zR,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)213成立,证明:a-3
19、或a-1.答案本题主要考查不等式的证明以及基本不等式的应用,考查学生推理论证的能力,考查了逻辑推理的核心素养.(1)由于(x-1)+(y+1)+(z+1)2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)3(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2,故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)243,当且仅当x=53,y=-13,z=-13时等号成立.所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)证明:由于(x-2)+(y-1)+(z-a)2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2(x-2)(y-1)+(
20、y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)3(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2,故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2(2+a)23,当且仅当x=4-a3,y=1-a3,z=2a-23时等号成立.因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为(2+a)23.由题设知(2+a)2313,解得a-3或a-1.3.(2017课标全国,23,10分)已知a0,b0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.证明(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(
21、2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+3(a+b)24(a+b)=2+3(a+b)34,所以(a+b)38,因此a+b2.4.(2016课标全国,24,10分)已知函数f(x)=x-12+x+12,M为不等式f(x)2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,bM时,|a+b|1+ab|.答案(1)f(x)=-2x,x-12,1,-12x12,2x,x12.(2分)当x-12时,由f(x)2得-2x-1;(3分)当-12x12时, f(x)2;(4分)当x12时,由f(x)2得2x2,解得x1,(5分)所以f(x)2的解集M=x|-1x1.(6分)(2)证明
22、:由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1b1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0,因此|a+b|0,|x-1|a3,|y-2|a3,求证:|2x+y-4|a.证明因为|x-1|a3,|y-2|a3,所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|2|x-1|+|y-2|1时,等价于a-1+a3,解得a2.所以a的取值范围是2,+).(10分)3.(2016课标全国,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|1的解集.答案(1)f(x)=x-4,x-1,3x-2,-13
23、2,(4分)y=f(x)的图象如图所示.(6分)(2)解法一:由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=13或x=5,(8分)故f(x)1的解集为x|1x3; f(x)-1的解集为x|x5.(9分)所以|f(x)|1的解集为x|x13或1x5.(10分)解法二:根据y=f(x)的分段函数表达式,有:当x-1时,|f(x)|1的解集为x|x-1;当-11的解集为x|-1x13x|1-32时,|f(x)|1的解集为x|32x5.综上,|f(x)|1的解集为x|x13或1x5.4.(2015课标,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-
24、a|,a0.(1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.答案(1)解法一:当a=1时, f(x)1化为|x+1|-2|x-1|-10.当x-1时,不等式化为x-40,无解;当-1x0,解得23x0,解得1x1的解集为x23x2.(5分)解法二:当a=1时, f(x)=x-3,x1.画出f(x)的图象(如图所示),根据图象可得不等式f(x)1的解集为x|23x2.(5分)(2)由题设可得, f(x)=x-1-2a,xa.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a-13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1)
25、,ABC的面积为23(a+1)2.由题设得23(a+1)26,故a2.所以a的取值范围为(2,+).(10分)5.(2013课标,24,10分)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)-1,且当x-a2,12时, f(x)g(x),求a的取值范围.答案(1)当a=-2时,不等式f(x)g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-30.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=-5x,x1.其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x(0,2)时,y0.所以原不等式的解集是x|0x2.解法二:当a=-2时,不等式f(x)g(x)化为
26、|2x-1|+|2x-2|x+3,即|2x-1|+|2x-2|-x-30.等价于x12,-5x0或12x1,-x-21,3x-60,解得0x12或12x1或1x2,所以原不等式的解集是x|0x2.(2)当x-a2,12时, f(x)=1+a.不等式f(x)g(x)化为1+ax+3.所以xa-2对x-a2,12都成立.故-a2a-2,即a43.从而a的取值范围是-1,43.6.(2012课标全国,24,10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)3的解集;(2)若f(x)|x-4|的解集包含1,2,求a的取值范围.答案(1)当a=-3
27、时, f(x)=-2x+5,x2,1,2x3,2x-5,x3.当x2时,由f(x)3得-2x+53,解得x1;当2x0.(1)当a=1时,求不等式f(x)3x+2的解集;(2)若不等式f(x)0的解集为x|x-1,求a的值.答案(1)当a=1时, f(x)3x+2可化为|x-1|2.由此可得x3或x-1.故当a=1时,不等式f(x)3x+2的解集为x|x3或x-1.(2)由f(x)0得|x-a|+3x0.此不等式可化为xa,x-a+3x0或xa,a-x+3x0,即xa,xa4或x0,解得x-a2,即不等式f(x)0的解集为x|x-a2 .不等式f(x)0的解集为x|x-1,-a2=-1,故a=
28、2.8.(2010课标全国,24,10分)选修45:不等式选讲设函数f(x)=|2x-4|+1.(1)画出函数y=f(x)的图象;(2)若不等式f(x)ax的解集非空,求a的取值范围.答案(1)由于f(x)=-2x+5,x2,2x-3,x2,则函数y=f(x)的图象如图所示.(2)由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,当且仅当a12或acd,则a+bc+d;(2)a+bc+d是|a-b|cd得(a+b)2(c+d)2.因此a+bc+d.(2)(i)若|a-b|c-d|,则(a-b)2(c-d)2,即(a+b)2-4abcd.由(1)得a+bc+d.(ii)若a+bc+d,则(a+b)2(
29、c+d)2,即a+b+2abc+d+2cd.因为a+b=c+d,所以abcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|c+d是|a-b|cd矛盾,故a+bc+d.(2)(充分性)假设|a-b|c-d|,则有(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd,由此得4ab4cd,2ab2cd,(a+b)2(c+d)2,于是a+bc+d,这与a+bc+d矛盾,从而|a-b|c-d|,充分性得证.(必要性)假设a+bc+d,则有(a+b)2(c+d)2,即abcd.又a+b=c+d,故(a-b)2(c-d)2,即|a-b|c-d|,与|a-b|c+d.必要性得证
30、.综上,a+bc+d是|a-b|0).(1)证明:f(x)2;(2)若f(3)0,有f(x)=x+1a+|x-a|x+1a-(x-a) =1a+a2,所以f(x)2.(2)f(3)=3+1a+|3-a|.当a3时, f(3)=a+1a,由f(3)5得3a5+212.当0a3时, f(3)=6-a+1a,由f(3)5得1+52a3.综上,a的取值范围是1+52,5+212.3.(2014辽宁,24,10分)设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1.记f(x)1的解集为M,g(x)4的解集为N.(1)求M;(2)当xMN时,证明:x2f(x)+xf(x)214.答案(1)
31、f(x)=3x-3,x1,+),1-x,x(-,1).当x1时,由f(x)=3x-31得x43,故1x43;当x1时,由f(x)=1-x1得x0,故0x0).(1)当a=2时,解不等式f(x)5;(2)当xa,2a-2时,不等式f(x)|x+4|恒成立,求实数a的取值范围.答案(1)当a=2时, f(x)=|x+2|+|2x-5|=3-3x,x52.(2分)由f(x)5,得x52,3x-35,(4分)解得x2或x83,所以不等式f(x)5的解集为x|x2或x83.(5分)(2)因为f(x)|x+4|,所以|x+a|+|2x-5|x+4|,因为xa,2a-2,所以2a-2a,所以a2,所以x+a
32、0,x+40,得x+a+|2x-5|x+4,不等式恒成立即|2x-5|4-a在xa,2a-2上恒成立,(7分)不等式恒成立必须a4,a-42x-54-a,所以a+12x9-a.(8分)所以2aa+1,4a-49-a,解得1a135,(9分)结合2a4,得2a135,即a的取值范围为2,135.(10分)3.(2019江西临川一中,南昌二中等九校重点中学协作体第一次联考,23)已知函数f(x)=|x-2|+|m+x|的图象的对称轴为直线x=1.(1)求不等式f(x)x+2的解集;(2)若函数f(x)的最小值为M,正数a,b满足a+b=M,求1a+2b的最小值.答案(1)函数f(x)图象的对称轴为直线x=1,即2-m2=1,m=0,f(x)=|x|+|x-2|=-2x+2,x0,2,0x2,2x-2,x2.由f(x)x+2,得x0,-2x+2x+2或0x5的解集;(2)若f(x)1恒成立,求2m+n的最小值.答案(1)因为m=2,n=3,所以f(x)=|x+2|+|2x-3|.当x-2时,由-x-2-2x+35,得x-43,x-2.当-2