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1、2.3二次函数与幂函数探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.二次函数了解二次函数,理解二次函数图象,能结合图象分析二次函数对称轴与顶点坐标的关系2019浙江,16,4分二次函数的最值绝对值不等式2017浙江,5,4分二次函数的最值2015四川,9,5分二次函数的单调性基本不等式2.幂函数了解幂函数的概念;结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x12的图象,了解它们的变化情况2018上海,7,5分幂函数的性质函数的单调性及奇偶性分析解读1.会求二次函数在给定区间上的最值.2.掌握“三个二次”,即二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系,
2、解决含参数不等式恒成立问题及一元二次方程根的分布问题.3.理解幂函数的图象与性质,会识图与作图.4.以二次函数、幂函数为载体,考查函数性质及应用是高考热点.5.本节在高考中很少单独命题,常与其他函数、不等式、方程等知识综合考查,是高考中的一个热点,主要考查二次函数的图象和性质,而对幂函数要求较低,常与指数函数、对数函数综合,比较幂值的大小,题型以选择题和填空题为主.难度中等偏下.破考点 练考向【考点集训】考点一二次函数1.(2020届辽宁葫芦岛六校协作体11月月考,5)若函数f(x)=-x2+3ax+a在1,2上单调递增,则a的取值范围是()A.34,+B.-,32C.43,+D.-,23答案
3、C2.(2019河南省实验中学质量预测模拟三,5)已知函数f(x)=3x2-2(m+3)x+m+3的值域为0,+),则实数m的取值范围为()A.0,-3B.-3,0C.(-,-30,+)D.0,3答案A3.(2019黑龙江哈九中高一月考,8)若函数y=x2-3x-4的定义域为0,m,值域为-254,-4,则m的取值范围是()A.(0,4B.4,254C.32,3D.32,+答案C4.(2019福建莆田二模,14)若函数f(x)=ax2-(2a+1)x+a+1对于x-1,1时恒有f(x)0,则实数a的取值范围是.答案-12,+考点二幂函数1.(2019河南濮阳二模,4)已知函数f(x)=(m2-
4、m-1)xm2+2m-3是幂函数,且其图象与两坐标轴都没有交点,则实数m=()A.-1B.2C.3D.2或-1答案A2.(2019天津十二中学第二次联考,7)已知点(m,9)在幂函数f(x)=(m-2)xn的图象上,设a=f(m-13),b=fln13,c=f22,则a,b,c的大小关系为()A.acbB.bcaC.cabD.bac答案A3.(2018湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟联考,4)若幂函数y=x-1,y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则m与n的取值情况为()A.-1m0n1B.-1n0mC.-1m0nD.-1n0m0的解集为.答案(1,+)炼技法 提能力【方法集训
5、】方法1求二次函数在闭区间上的最值(值域)的方法(2019河北唐山模拟,7)已知函数f(x)=-x2+ax-6,g(x)=x+4,若对任意x1(0,+),存在x2(-,-1,使f(x1)g(x2),则实数a的最大值为()A.6B.4C.3D.2答案A方法2一元二次方程根的分布1.(2019安徽黄山一模,12)若函数f(x)=4x-m2x+m+3有两个不同的零点x1,x2,且x1(0,1),x2(2,+),则实数m的取值范围为()A.(-,-2)B.(-,-2)(6,+)C.(7,+)D.(-,-3)答案C2.已知方程x2+2(a+2)x+a2-1=0.(1)当该方程有两个负根时,求实数a的取值
6、范围;(2)当该方程有一个正根和一个负根时,求实数a的取值范围.解析由题意知,=4(a+2)2-4(a2-1)=16a+20.(1)方程x2+2(a+2)x+a2-1=0有两个负根,=16a+200,-2(a+2)0,解得a-54,a-2,a1或a1或-54a-1.实数a的取值范围是-54,-1(1,+).(2)方程x2+2(a+2)x+a2-1=0有一个正根和一个负根,f(0)=a2-10,解得-1a1,实数a的取值范围是(-1,1).【五年高考】自主命题省(区、市)卷题组考点一二次函数1.(2017浙江,5,4分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间0,1上的最大值是M,最小值是m,则M-
7、m()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关答案B2.(2015四川,9,5分)如果函数f(x)=12(m-2)x2+(n-8)x+1(m0,n0)在区间12,2上单调递减,那么mn的最大值为()A.16B.18C.25D.812答案B3.(2019浙江,16,4分)已知aR,函数f(x)=ax3-x.若存在tR,使得|f(t+2)-f(t)|23,则实数a的最大值是.答案43考点二幂函数(2018上海,7,5分)已知-2,-1,-12,12,1,2,3.若幂函数f(x)=x为奇函数,且在(0,+)上递减,则=.答案-1教师专用题组1.
8、(2015陕西,12,5分)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是()A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上答案A2.(2015浙江,18,15分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bR),记M(a,b)是|f(x)|在区间-1,1上的最大值.(1)证明:当|a|2时,M(a,b)2;(2)当a,b满足M(a,b)2时,求|a|+|b|的最大值.解析(1)证明:由f(x)=x+a22+b-a24,得对称轴为直线x=-a2.由|a|2,得-
9、a21,故f(x)在-1,1上单调,所以M(a,b)=max|f(1)|,|f(-1)|.当a2时,由f(1)-f(-1)=2a4,得maxf(1),-f(-1)2,即M(a,b)2.当a-2时,由f(-1)-f(1)=-2a4,得maxf(-1),-f(1)2,即M(a,b)2.综上,当|a|2时,M(a,b)2.(2)由M(a,b)2得|1+a+b|=|f(1)|2,|1-a+b|=|f(-1)|2,故|a+b|3,|a-b|3,由|a|+|b|=|a+b|,ab0,|a-b|,abbcB.acbC.cabD.cba答案D2.(2019河北武邑中学高考模拟,5)在同一坐标系内,函数y=xa
10、和y=ax+1a(a0)的图象可能是()答案B3.(2019湖南宁乡一中、攸县一中4月联考,7)定义在R上的函数f(x)=-x3+m与函数g(x)=f(x)+x3+x2-kx在-1,1上具有相同的单调性,则k的取值范围是()A.(-,-2B.2,+)C.-2,2D.(-,-22,+)答案B4.(2019河北沧州全国统一模拟考试,8)已知函数f(x)=23|x|-x23满足f(2a-1)f(3),则a的取值范围为()A.a2B.a2C.-1a2D.a2答案C5.(2019安徽宣城二模,7)已知a,b,c,d都是常数,ab,cd.若f(x)=2 019+(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不
11、等式正确的是()A.acdbB.adcbC.cdabD.cabd答案A6.(2018河南开封模拟,12)已知不等式xyax2+2y2对x1,2,y2,3恒成立,则实数a的取值范围是()A.-1,+)B.(-,1C.(0,2D.-1,2答案A7.(2018河北保定第一次模拟,8)已知函数f(x)既是二次函数又是幂函数,函数g(x)是R上的奇函数,函数h(x)=g(x)f(x)+1+1,则h(2 018)+h(2 017)+h(2 016)+h(1)+h(0)+h(-1)+h(-2 016)+h(-2 017)+h(-2 018)=()A.0B.1C.4 036D.4 037答案D8.(2019江
12、西南昌第十中学月考,10)函数f(x)=x|x-a|,若x1、x23,+),x1x2,不等式 f(x1)-f(x2)x1-x20恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-,-3B.-3,0)C.(-,3D.(0,3答案C9.(2020届山西吕梁阶段性测试10月月考,11)已知函数f(x)=x2-2x+3在区间m,m+2上的最大值为6,则m的取值集合为()A.-1,3B.-1,1C.-3,1D.-3,3答案B10.(2020届湖北荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟10月联考,6)若函数f(x)=(m+3)xa(m,aR)是幂函数,且其图象过点(2,2),则函数g(x)=loga(x2+mx-3)的单调
13、递增区间为()A.(-,-1)B.(-,1)C.(1,+)D.(3,+)答案A二、解答题(共25分)11.(2020届福建邵武第一中学开学考试,17)设命题p:函数f(x)=lgax2-x+116a的定义域为R,命题q:不等式3x-9x0对一切实数x恒成立,若a=0,不合题意,舍去;若a0,由a0,2.综上,实数a的取值范围是(2,+).(2)设t=3x,因为x0,所以t1,则3x-9x=-t2+t=-t-122+142,a0(bR)恒成立,于是=(-4a)2-16a0,解得0a1,故当bR且f(x)恒有关于参数1的两个不动点时,0a0,h(2)=11-2m0,=(3-m)2-40,0m-322,解得5m112.故m的取值范围是5,112.思路分析(1)当a=1,b=-2时,解方程f(x)=x即可;(2)f(x)=x即ax2+bx+b-1=0恒有两个不等实根,两次使用判别式即可得到a的取值范围;(3)问题转化为x2+(3-m)x+1=0在(0,2上有两个不等实数解,利用二次函数的图象列不等式组可得m的取值范围.