《2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§11.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差（试题部分） .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§11.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差（试题部分） .docx（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、11.2离散型随机变量及其分布列、均值与方差基础篇固本夯基【基础集训】考点一离散型随机变量及其分布列1.若离散型随机变量X的分布列如下表,则常数c的值为()X01P9c2-c3-8cA.23或13B.23C.13D.1答案C2.为创建国家级文明城市,某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”,该城市某出租车公司共200名司机,他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数;(2)从这200名司机中任选两人,设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X,求X的分布列及数学期望.解析(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人,送考2次
2、的有100人,送考3次的有80人,该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为201+1002+803200=2.3.(2)从该公司任选两名司机,记“这两人中一人送考1次,另一人送考2次”为事件A,“这两人中一人送考2次,另一人送考3次”为事件B,“这两人中一人送考1次,另一人送考3次”为事件C,“这两人送考次数相同”为事件D,由题意知X的所有可能取值为0,1,2,P(X=1)=P(A)+P(B)=C201C1001C2002+C1001C801C2002=100199,P(X=2)=P(C)=C201C801C2002=16199,P(X=0)=P(D)=C202+C1002+C802C2
3、002=83199,X的分布列为X012P8319910019916199E(X)=083199+1100199+216199=132199.考点二离散型随机变量的均值与方差3.设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b,若X的数学期望为E(X)=3,则a-b=()A.110B.0C.-110D.15答案A4.已知离散型随机变量X的分布列为X0123P82749m127则X的数学期望E(X)=()A.23B.1C.32D.2答案B5.已知随机变量满足P(=0)=13,P(=1)=x,P(=2)=23-x,若0x23,则()A.E()随着x的增大而增大,D()随着x的增
4、大而增大B.E()随着x的增大而减小,D()随着x的增大而增大C.E()随着x的增大而减小,D()随着x的增大而减小D.E()随着x的增大而增大,D()随着x的增大而减小答案C6.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花当作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,nN)的函数解析式;(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(
5、i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.解析(1)当日需求量n16时,y=80.当日需求量n16时,y=10n-80.所以y关于n的函数解析式为y=10n-80,n16,80,n16(nN).(2)(i)X可能的取值为60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.故X的分布列为X607080P0.10.20.7X的数学期望EX=600.1+700.2+800.7=76.X的方差为DX=(60-76)20.1
6、+(70-76)20.2+(80-76)20.7=44.(ii)答案不唯一.答案一:花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,设Y表示当天的利润(单位:元),则Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为EY=550.1+650.2+750.16+850.54=76.4.Y的方差为DY=(55-76.4)20.1+(65-76.4)20.2+(75-76.4)20.16+(85-76.4)20.54=112.04.结合(2)(i)可知DXDY,即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.虽然EXEY,但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.
7、答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,设Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为EY=550.1+650.2+750.16+850.54=76.4.结合(2)(i)可知EXEY,即购进17枝玫瑰花时平均每天的利润大于购进16枝时平均每天的利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.综合篇知能转换【综合集训】考法求离散型随机变量的期望与方差的方法1.(2018广东省际名校联考(二),11)不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球,现从中逐个不放回地摸出小球,直到取出所有红球为止,则摸取次
8、数X的数学期望是()A.185B.92C.367D.163答案D2.(2018广东深圳南山入学摸底考试,5)一个摊主在一旅游景点设摊,在不透明的口袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球.游客向摊主付2元进行1次游戏.游戏规则如下:游客从口袋中随机摸出2个小球,若摸出的小球同色,则游客获得3元奖励;若异色,则游客获得1元奖励.则摊主从每次游戏中获得的利润X(单位:元)的期望是()A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5答案A3.(2019河北冀州期末,19)有编号为1,2,3,n的n个学生,入座编号为1,2,3,n的n个座位,每个学生规定坐一个座位,设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人
9、数为X,已知X=2时,共有6种坐法.(1)求n的值;(2)求随机变量X的概率分布列及数学期望E(X).解析(1)因为当X=2时,有Cn2=n(n-1)2种坐法,所以n(n-1)2=6,即n2-n-12=0,解得n=4或n=-3(舍去),所以n=4.(2)因为X表示的是学生所坐的座位号与该生的编号不同的人数,所以X的可能取值是0,2,3,4,所以P(X=0)=1A44=124,P(X=2)=C421A44=14,P(X=3)=C432A44=13,P(X=4)=1-124-14-13=38,所以X的概率分布列为X0234P124141338所以数学期望E(X)=0124+214+313+438=
10、3.4.(2019广东佛山顺德第二次教学质量检测,18)某糕点房推出一类新品蛋糕,该蛋糕的成本价为4元,售价为8元.受保质期的影响,当天没有销售完的糕点只能销毁.经过长期的调研,统计了一下该新品的日需求量.现将近期一个月(30天)的需求量展示如下:日需求量X(个)20304050天数510105 (1)从这30天中任取两天,求两天的日需求量均为40个的概率;(2)以上表中的频率作为概率,列出日需求量X的分布列,并求该月的日需求量X的期望;(3)根据(2)中的分布列求得当该糕点房一天制作35个该类蛋糕时,对应的利润的期望值为3203;现有员工建议扩大生产,一天生产45个,求对应利润的期望值,判断
11、此建议该不该被采纳.解析(1)从这30天中任取两天,两天的日需求量均为40个的概率为C102C302=329.(2)日需求量X的分布列为X20304050P16131316日需求量X的期望E(X)=2016+3013+4013+5016=35.(3)设该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为Y元,对应的分布列如下:利润Y(元)-2060140180概率16131316利润Y的期望E(Y)=-2016+6013+14013+18016=2803.因为28033203,所以此建议不该被采纳.思路分析(1)直接根据对应关系求概率即可;(2)列出日需求量的分布列,根据分布列,用数学期望的公式求解即可;(3)
12、列出利润的分布列,根据分布列,用数学期望的公式求解,然后比较两个期望值,从而判断此建议该不该被采纳.5.(2019安徽宣城二模,19)某中学利用周末组织教职工进行了一次秋季登山健身的活动,有N人参加,现将所有参加者按年龄情况分为20,25),25,30),30,35),35,40),40,45),45,50),50,55)共七组,其频率分布直方图如图所示,已知25,30)这组的参加者是6人.(1)根据频率分布直方图求该校参加秋季登山活动的教职工年龄的中位数;(2)已知35,40)和40,45)这两组各有2名数学教师,现从这两个组中各选取2人担任接待工作,设两组的选择互不影响,求两组选出的人中恰
13、有1名数学教师的概率;(3)组织者从45,55)这组的参加者(其中共有4名女教师,其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作,其中女教师的人数为X,求X的分布列和均值.解析(1)设30,35)这一组对应的矩形的高为x,(0.01+0.03+x+0.04+0.03+0.02+0.01)5=1,x=0.06.(0.01+0.03+0.06)5=0.5,中位数为35.(2)记事件A为“从35,40)和40,45)两组中各选出2人,选出的人中恰有1名数学教师”,参加活动的总人数N=6(0.035)=40,年龄在35,40)的人数为40(0.045)=8,年龄在40,45)的人数为40(0.035)
14、=6,P(A)=C21C61C82C42C62+C62C82C21C41C62=1635.(3)年龄在45,55)的人数为40(0.02+0.01)5=6,X的可能取值为1,2,3,P(X=1)=C41C22C63=15,P(X=2)=C42C21C63=35,P(X=3)=C43C63=15,X的分布列为X123P153515E(X)=115+235+315=2.【五年高考】考点一离散型随机变量及其分布列1.(2019课标,21,12分)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只
15、施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈,则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为和,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8
16、=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设=0.5,=0.8.(i)证明:pi+1-pi(i=0,1,2,7)为等比数列;(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.解析本题主要考查概率与数列的综合,考查离散型随机变量的分布列,等比数列的判定及累加法的应用,考查学生灵活运用概率与数列知识去分析、解决实际问题的能力,综合考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力以及应用意识、创新意识.(1)X的所有可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-),P(X=0)=+(1-)(1-),P(X=1)=(1-).所
17、以X的分布列为X-101P(1-)+(1-)(1-)(1-)(2)(i)证明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因为p1-p0=p10,所以pi+1-pi(i=0,1,2,7)是公比为4,首项为p1的等比数列.(ii)由(i)可得p8=p8-p7+p7-p6+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+(p1-p0)=48-13p1.由于p8=1,故p1=348-1,所以p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p
18、1-p0)=44-13p1=1257.p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p4=12570.003 9,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.试题分析本题以试验新药疗效为背景,命制了一个概率与数列的综合性问题,试题很新颖,创新度高,考查学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.本题层次分明,内容丰富,区分度较高,使不同学生的理性思维的广度和深度得到了充分展示.2.(2016课标,19,12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为
19、备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列;(2)若要求P(Xn)0.5,确定n的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?解析(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,
20、10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.可知X的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22,P(X=16)=0.20.2=0.04;P(X=17)=20.20.4=0.16;P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24;P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24;P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2;P(X=21)=20.20.2=0.08;P(X=22)=0.20.2=0.04.(4分)所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04 (6分)(2)由(1)知P(X18)=
21、0.44,P(X19)=0.68,故n的最小值为19.(8分)(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当n=19时,EY=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3500)0.04=4 040.(10分)当n=20时,EY=202000.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4 080.可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.(12分)思路分析(1)确定X的可能取值,分别求其对应的概率,进而可列出分布列.(2)根据(1)中求得的概率可得P(X
22、18)以及P(X19)的值,由此即可确定n的最小值.(3)求出n=19,n=20时的期望值,比较大小即可作出决策.3.(2019北京,17,13分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:支付金额(元)支付方式(0,1 000(1 000,2 000大于2 000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人 (1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种
23、支付方式都使用的概率;(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数,求X的分布列和数学期望;(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2 000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化?说明理由.解析本题主要考查用样本分布估计总体分布,离散型随机变量的分布列与期望,以实际生活为背景考查学生解决实际问题的能力,渗透了数据分析的核心素养,体现了应用与创新意识.(1)由题意知,样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人
24、,仅使用B的学生有10+14+1=25人,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率估计为40100=0.4.(2)X的所有可能值为0,1,2.记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1 000元”,事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1 000元”.由题设知,事件C,D相互独立,且P(C)=9+330=0.4,P(D)=14+125=0.6.所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(
25、D)=0.24,P(X=1)=P(CDCD)=P(C)P(D)+P(C)P(D)=0.4(1-0.6)+(1-0.4)0.6=0.52,P(X=0)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24.所以X的分布列为X012P0.240.520.24故X的数学期望E(X)=00.24+10.52+20.24=1.(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于2 000元”.假设样本仅使用A的学生中,本月支付金额大于2 000元的人数没有变化,则由上个月的样本数据得P(E)=1C303=14 060.答案示例1:可以认为有变化.理由如下:P(E)比较小,概率比较小的事件一般
26、不容易发生.一旦发生,就有理由认为本月的支付金额大于2 000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化.思路分析(1)由频率=频数样本容量即可求解相应频率,进而用频率估计概率.(2)仅使用A,且支付金额大于1 000元的概率P=9+330=0.4,仅使用B,且支付金额大于1 000元的概率P=14+125=0.6,进而求分布列和期望.(3)开放性题目,从事件发生的概率说明理由即可.评析本题以移动支付的出现及普及为背景来设计问题,样本数据来源于学生熟悉的情景,不仅
27、使学生体会到数学应用的广泛性,同时也体现了人们生活方式的巨大变化.第(3)问结合古典概型考查概率的意义,体会统计中的决策思想.4.(2017天津,16,13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为12,13,14.(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.解析本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,事件的相互独立性,互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2
28、,3.P(X=0)=1-121-131-14=14,P(X=1)=121-131-14+1-12131-14+1-121-1314=1124,P(X=2)=1-121314+121-1314+12131-14=14,P(X=3)=121314=124.所以,随机变量X的分布列为X0123P14112414124随机变量X的数学期望E(X)=014+11124+214+3124=1312.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=14112
29、4+112414=1148.所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.技巧点拨解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各个值时对应的概率,只有正确理解随机变量取值的意义才能解决这个问题,理解随机变量取值的意义是解决这类问题的必要前提.5.(2017山东,18,12分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,
30、B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.解析本题考查离散型随机变量的分布列,期望.(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,则P(M)=C84C105=518.(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=C65C105=142,P(X=1)=C64C41C105=521,P(X=2)=C63C42C105=1021,P(X=3)=C62C43C105=521,P(X=4)=C61C44C105=
31、142.因此X的分布列为X01234P1425211021521142X的数学期望是EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0+1521+21021+3521+4142=2.解后反思(1)求离散型随机变量X的分布列的步骤:理解X的含义,写出X所有可能的取值.求X取每个值时的概率;写出X的分布列.(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取各个值时对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理、古典概型概率公式等知识.考点二离散型随机变量的均值与方差6.(2019浙江,7,4分)设0a1.随机变量X的分布列是X0a1P131313则当a在(0,1)内
32、增大时,()A.D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大答案D7.(2017浙江,8,4分)已知随机变量i满足P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2.若0p1p212,则()A.E(1)E(2),D(1)D(2)B.E(1)D(2)C.E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2)答案A8.(2017课标,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX=.答案1.969.(2018课标,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之
33、前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件做检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0p0;当p(0.1,1)时, f (p)400,故应该对余下的产品做检验.教师专用题组考点一离散型随机变量及其分布列1.(2015四川,17,12分)某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场
34、比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.解析(1)由题意得,参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为C33C43C63C63=1100.因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-1100=99100.(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.P(X=1)=C31C33C64=15,P(X=2)=C32C32C64=35,P(X=3)=C33C31C64=15.所以X的分布列为X123P153515因此,X的数学期望为E(X)=1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=115+2
35、35+315=2.2.(2015重庆,17,13分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.解析(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)=C21C31C51C103=14.(2)X的所有可能值为0,1,2,且P(X=0)=C83C103=715,P(X=1)=C21C82C103=715,P(X=2)=C22C81C103=115.综上知,X的分布列为X012P7157151
36、15故E(X)=0715+1715+2115=35(个).3.(2013课标,19,12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件做检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件做检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件做检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为12,且各件产品是否为优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品做质量检
37、验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.解析(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=416116+11612=364.(2)X可能的取值为400,500,800,并且P(X=400)=1-416-116=1116,P(X=500)=116,P(X=80
38、0)=14.所以X的分布列为X400500800P111611614EX=4001116+500116+80014=506.25.思路分析(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,进而求解.(2)X可能的取值为400,500,800,分别求其对应的概率,进而可得分布列、期望. 4.(2013课标,19,12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获
39、利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如下图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品,以X(单位:t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(1)将T表示为X的函数;(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率;(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入100,110)的频率),求
40、T的数学期望.解析(1)当X100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000,当X130,150时,T=500130=65 000.所以T=800X-39 000,100X130,65 000,130X150.(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120X150.由直方图知需求量X120,150的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为T45 00053 00061 00065 000P0.10.20.30.4所以ET=45 0000.1+53 0000.2+61 0000.3+
41、65 0000.4=59 400.思路分析(1)经分段讨论(分X100,130)和X130,150)得函数解析式.(2)先求出利润T不少于57 000元时X的范围,然后根据直方图得到概率的估计值.(3)T可能的取值是45 000,53 000,61 000,65 000,由此结合题意列出分布列,进而得期望.易错警示(1)中容易忽略100X150而导致出错.考点二离散型随机变量的均值与方差5.(2017北京,17,13分)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“
42、+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望E();(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)解析本题考查古典概型,离散型随机变量的分布列与数学期望,方差等知识.(1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为1550=0.3.(2)由题图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C.所以的所有可能取值为0,1,2.P(=0)=C22C42=16,P(=1)=C21C21C42=23,P(=2)=C22C42=16.所以的分布列为012P162316故的期望E()=016+123+216=1.(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.方法总结在求解离散型随机变量的分布列与数学期望时,先确定随机变量的取值及各个取值对应的概率,利用期望的公式求数学期望;在比较数据的方差时,可以根据两组数据的集中或分散程度进行比较.6.(2016山东,19,12分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由