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1、专题四导数及其应用【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、导数的概念及运算1.理解导数的几何意义,了解导数概念的实际背景,会用导数方法求切线的斜率及方程.2.熟练掌握导数的运算,能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.1.考查内容:(重点)从历年高考的情况看,本专题内容考查的重点是导数的运算、利用导数研究函数的单调性.(关联点)常与不等式、函数零点等知识结合,常用到数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想方法.2.从近5年高考情况来看,导数的应用是必考的内容,在选择题、填空题中,导数的几何意义是高频考点;在解答题中,利用导数研究函数的单调性是必考点.1.提升拆
2、分、转化的能力.导数解答题难度较大,要学会将之拆分,回到教材中,不停留在具体的求解办法(比如分离参数法、极值点偏移法等)上,而是将较难的、生疏的问题经过分析,转化为基本的利用导数研究函数单调性的问题,积累具体分析转化的经验.2.把握规律,用好方法.导数解答题命题规律比较明显,但依然难以求解,求解时常用到数形结合、分类讨论、化归与转化的数学思想方法,要掌握为什么、怎样用.二、导数的应用1.利用导数研究函数的单调性.2.会用导数求函数的极大值、极小值,会求闭区间上函数的最大值、最小值.3.利用导数解决与函数、不等式等相关的综合性问题.【真题探秘】4.1导数的概念及运算基础篇固本夯基【基础集训】考点
3、一导数的概念及几何意义1.曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为()A.y=x-1B.y=-x+1C.y=2x-2D.y=-2x+2答案A2.已知在平面直角坐标系中,曲线f(x)=aln x+x在点(a, f(a)处的切线过原点,则a=()A.1B.eC.1eD.0答案B3.已知函数f(x)=(x2+x-1)ex,则曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为()A.y=3ex-2eB.y=3ex-4eC.y=4ex-5eD.y=4ex-3e答案D4.已知函数f(x)=x,g(x)=aln x,aR.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,则a=,切
4、线方程为.答案e2;x-2ey+e2=0考点二导数的运算5.函数f(x)=sinxsinx+cosx-12在x=4处的导数是()A.-12B.12C.-22D.22答案B6.已知函数f(x)=alnxx+1+bx.若曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为x+2y-3=0,则a+b=.答案27.求下列各函数的导数.(1)y=ln(3x-2);(2)y=sin x21-2cos2x4;(3)y=11-x+11+x;(4)y=x2e2-x.解析(1)设y=ln u,u=3x-2.则yx=yuux=13x-2(3x-2)=33x-2.(2)y=sinx2-cosx2=-sinx2cosx2
5、=-12sin x,y=-12sinx=-12(sin x)=-12cos x.(3)y=11-x+11+x=21-x.y=21-x=2(1-x)-2(1-x)(1-x)2=2(1-x)2.(4)y=(x2e2-x)=(x2)e2-x+x2(e2-x)=2xe2-x+x2e2-x(2-x)=2xe2-x-x2e2-x.易错警示y=ln(3x-2)是一个复合函数,注意不要漏掉对y=3x-2求导;y=x2e2-x中,y=e2-x也是一个复合函数,其导数为y=-e2-x,易出错.综合篇知能转换【综合集训】考法一与导数运算有关的问题1.(2019课标文,10,5分)曲线y=2sin x+cos x在点
6、(,-1)处的切线方程为()A.x-y-1=0B.2x-y-2-1=0C.2x+y-2+1=0D.x+y-+1=0答案C2.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=exD.y=x3答案A3.(2018安徽黄山一模,14)已知f(x)=13x3+3xf (0),则f (1)=.答案14.(2019陕西第二次质检,15)设函数f(x)=2x3+ax2+bx+1的导函数为f (x),若函数y=f (x)图象顶点的横坐标为-12,且f (1)
7、=0,则a+b的值为.答案-9考法二与曲线的切线相关的问题5.(2019辽宁丹东质量测试(一),6)已知直线2x-y+1=0与曲线y=aex+x相切,则a=()A.eB.2eC.1D.2答案C6.(2019广东江门一模,12)若f(x)=ln x与g(x)=x2+ax的图象有一条与直线y=x平行的公共切线,则a=()A.1B.2C.3D.3或-1答案D7.(2018辽宁大连一模)过曲线y=ex上一点P(x0,y0)作曲线的切线,若该切线在y轴上的截距小于0,则x0的取值范围是()A.(0,+)B.1e,+C.(1,+)D.(2,+)答案C创新篇守正出奇创新集训1.(2019河北邯郸一模,12)
8、过点M(-1,0)引曲线C:y=2x3+ax+a的两条切线,这两条切线与y轴分别交于A,B两点,若|MA|=|MB|,则a=()A.-254B.-274C.-2512D.-4912答案B2.(2018安徽江南十校4月联考,10)若曲线C1:y=x2与曲线C2:y=exa(a0)存在公共切线,则a的取值范围为()A.(0,1)B.1,e24C.e24,2D.e24,+答案D【五年高考】考点一导数的概念及几何意义1.(2019课标,6,5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b
9、=-1答案D2.(2018课标,5,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x答案D3.(2019课标,13,5分)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为.答案y=3x4.(2016课标,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.答案(1,1)考点二导数的运算7.(2018天津,10,5分)已知函数f(x)=exln x, f (x)为f(x)的导函数,则f (1)的值为.答案e教师专用题组1.(2014课标,8,5分)
10、设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3答案D2.(2012课标,12,5分)设点P在曲线y=12ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为()A.1-ln 2B.2(1-ln 2)C.1+ln 2D.2(1+ln 2)答案B【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共45分)1.(2020届九师联盟9月质量检测,4)函数f(x)=(x-1)ln(x-1)的图象在点(2,0)处的切线方程为()A.y=x-2B.y=2x-4C.y=-x+2D.y=-2x+4答案A2.(2020届山西省实验中学第一次月考,9)若函数f(x)
11、满足f(x)=13x3-f (1)x2-x,则f (1)的值为()A.1B.2C.0D.-1答案C3.(2020届五省优创名校入学摸底,8)若函数f(x)=ax-ln x的图象上存在与直线x+3y-4=0垂直的切线,则实数a的取值范围是()A.3,+)B.103,+C.103,+D.(3,+)答案D4.(2018湖南株洲二模,9)设函数y=xsin x+cos x的图象在点(t, f(t)处的切线斜率为g(t),则函数y=g(t)图象的一部分可以是()答案A5.(2019湖南娄底二模,5)已知f(x)是奇函数,当x0时, f(x)=-xx-2,则函数图象在x=-1处的切线方程是()A.2x-y
12、+1=0B.x-2y+2=0C.2x-y-1=0D.x+2y-2=0答案A6.(2020届山西省实验中学第一次月考,11)已知函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1,其中f (x)为函数f(x)的导数,则f(2 018)+f(-2 018)+f (2 019)-f (-2 019)=()A.2B.2 019C.2 018D.0答案A7.(2019皖东名校联盟,8)若抛物线x2=2y在点a,a22(a0)处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积是8,则此切线方程是()A.x-4y-8=0B.4x-y-8=0C.x-4y+8=0D.4x-y+8=0答案B8.(2019江西吉安一模,7)过点P(
13、1,1)且与曲线y=x3相切的直线的条数为()A.0B.1C.2D.3答案C9.(2018陕西西安八校第一次联考)曲线y=x3上一点B处的切线l交x轴于点A,OAB(O为原点)是以A为顶点的等腰三角形,则切线l的倾斜角为()A.30B.45C.60D.120答案C二、多项选择题(每题5分,共10分)10.(改编题)下列函数求导正确的是()A.(tan x)=-cosxsinxB.(xe-x)=(1-x)e-xC.(a2x-3)=2ln aa2x-3(a0,且a1)D.(exln x)=exlnx+1x答案BCD11.(改编题)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处切线的倾
14、斜角互补,则称函数具有A性质.下列函数中具有A性质的是()A.f(x)=sin xB.f(x)=x2C.f(x)=ln xD.f(x)=cos x答案ABD三、填空题(每题5分,共20分)12.(2020届北京师范大学附中摸底,11)函数f(x)=lnxx+1的图象在点(1, f(1)处的切线方程为.答案x-2y-1=013.(2020届山东百师联盟开学摸底大联考,15)设函数f(x)=x3+ax2+(a+2)x.若f(x)的图象关于原点(0,0)对称,则曲线y=f(x)在点(1,3)处的切线方程为.答案5x-y-2=014.(2019四川绵阳第一次诊断,15)若直线y=x+1与函数f(x)=ax-ln x的图象相切,则a的值为.答案215.(2018广东珠海一中等六校第三次联考,15)已知函数y=f(x)的图象在点(2, f(2)处的切线方程为y=2x-1,则曲线g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2)处的切线方程为.答案6x-y-5=0