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1、2.3二次函数与幂函数探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点二次函数了解二次函数的图象与性质;结合二次函数的图象,求二次函数的最值、单调区间;掌握三个“二次”之间的关系2017北京,11,5分求二次函数的值域利用代数式的几何意义解题幂函数了解幂函数的概念,结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x12的图象,了解它们的变化情况2016课标全国,7,5分比较大小指数运算2018上海,7,5分幂函数的图象和性质分析解读本节内容在高考中主要以二次函数和幂函数为载体考查相关知识,如求二次函数的最值,函数零点,以函数性质为命题背景考查二次函数与幂函数图象的应
2、用.破考点 练考向【考点集训】考点一二次函数1.(2019河南省实验中学质量预测模拟三,5)已知函数f(x)=3x2-2(m+3)x+m+3的值域为0,+),则实数m的取值范围为() A.0,-3 B.-3,0C.(-,-30,+) D.0,3答案A2.(2019湖南宁乡一中、攸县一中4月联考,7)定义在R上的函数f(x)=-x3+m与函数g(x)=f(x)+x3+x2-kx在-1,1上具有相同的单调性,则k的取值范围是()A.(-,-2 B.2,+)C.-2,2 D.(-,-22,+)答案B3.(2018福建泉州高中毕业班1月单科质量检查,15)若二次函数f(x)=ax2-x+b(a0)的最
3、小值为0,则a+4b的取值范围为.答案2,+)考点二幂函数1.(2018安徽巢湖柘皋中学第三次月考,3)已知p:|m+1|1,q:幂函数y=(m2-m-1)xm在(0,+)上单调递减,则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案B答案D3.(2019湖北宜昌调研,9)若幂函数f(x)=xm的图象过点(2,4),且a=m14,b=log3m,c=cos m,则a,b,c的大小关系是()A.bca B.cbaC.bac D.ab0,t-10,解得1t2,故D=1,2).(2)g(x)=x2+2mx-m2=(x+m)2-2m2,故g(x)的图象的对称
4、轴为直线x=-m.当-m2,即m-2时,g(x)在1,2)上单调递减,不存在最小值;当1-m2,即-2m-1时,g(x)在1,-m)上单调递减,在(-m,2)上单调递增,此时g(x)min=g(-m)=-2m22,此时m值不存在;当-m1,即m-1时,g(x)在1,2)上单调递增,此时g(x)min=g(1)=1+2m-m2=2,解得m=1.综上,m=1.方法2一元二次方程根的分布问题的解法1.(2018河南洛阳期末,11)若函数f(x)=x2+ax+2b在区间(0,1)和(1,2)内各有一个零点,则a+b-3a-1的取值范围是()A.14,1 B.34,32C.14,54 D.54,2答案D
5、答案A3.(2018福建福安一中测试,14)若函数f(x)=x2-mx+2在区间1,2上有零点,则实数m的取值范围是.答案22,3【五年高考】A组统一命题课标卷题组(2016课标全国,7,5分)已知a=243,b=323,c=2513,则() A.bac B.abcC.bca D.cab答案AB组自主命题省(区、市)卷题组考点一二次函数1.(2016浙江,6,5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b0”是“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案A2.(2017北京,11,5分)已知x0,y0,且
6、x+y=1,则x2+y2的取值范围是.答案12,13.(2015湖北,17,5分)a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间0,1上的最大值记为g(a).当a=时,g(a)的值最小.答案22-2考点二幂函数(2018上海,7,5分)已知-2,-1,-12,12,1,2,3.若幂函数f(x)=x为奇函数,且在(0,+)上递减,则=.答案-1C组教师专用题组考点一二次函数1.(2014北京,8,5分)加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.
7、根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为()A.3.50分钟 B.3.75分钟C.4.00分钟 D.4.25分钟答案B2.(2015浙江,20,15分)设函数f(x)=x2+ax+b(a,bR).(1)当b=a24+1时,求函数f(x)在-1,1上的最小值g(a)的表达式;(2)已知函数f(x)在-1,1上存在零点,0b-2a1,求b的取值范围.答案(1)当b=a24+1时, f(x)=x+a22+1,故对称轴为直线x=-a2.当a-2时,g(a)=f(1)=a24+a+2.当-22时,g(a)=f(-1)=a24-a+2.综上,g(a)=a24+a+2,a-2,1,-22.(2)设
8、s,t为方程f(x)=0的解,且-1t1,则s+t=-a,st=b,由于0b-2a1,因此-2tt+2s1-2tt+2(-1t1).当0t1时,-2t2t+2stt-2t2t+2,由于-23-2t2t+20和-13t-2t2t+29-45,所以-23b9-45.当-1t0时,t-2t2t+2st-2t2t+2,由于-2-2t2t+20和-3t-2t2t+20,所以-3b0时, f(0)=2a,令2a1,解得0a,则f (x)=2x-(2a+1),xa,2x-(2a-1),xa.当xa时, f (x)=2x-(2a+1)=2(x-a)-1a时, f (x)=2x-(2a-1)=2(x-a)+10
9、,所以f(x)在区间(a,+)上单调递增.(3)令h(x)=f(x)+4x,由(2)得,h(x)=x2-(2a+1)x+2a+4x,0a,则h(x)=2x-(2a+1)-4x2,0a,当0xa时,h(x)=2x-(2a+1)-4x2=2(x-a)-1-4x2a时,因为a2,所以x2,即04x20,所以h(x)在区间(a,+)上单调递增.因为h(1)=40,h(2a)=2a+2a0,1)若a=2,则h(a)=-a2+a+4a=-4+2+2=0,此时h(x)在(0,+)上有唯一一个零点;2)若a2,则h(a)=-a2+a+4a=-a3-a2-4a=-a2(a-1)-4a2时, f(x)+4x在区间
10、(0,+)内有两个零点.考点二幂函数1.(2014浙江,8,5分)在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x0),g(x)=logax的图象可能是()答案D2.(2014课标,15,5分)设函数f(x)=ex-1,xf(3),则a的取值范围为()A.a2 B.a2C.-1a2 D.a2答案C3.(2018河南天一大联考,4)已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图象上,设a=f1312,b=f(ln ),c=f(2-12),则a,b,c的大小关系为()A.acb B.abc C.bca D.ba2)在区间-2,-1上单调递减,那么mn的最大值为()A.16 B.18 C.25 D.
11、30答案B5.(2019第二次全国大联考,11)已知函数f(x)=2-|x|,若关于x的不等式f(x)x2-x-m的解集中有且仅有1个整数,则实数m的取值范围为()A.-3,-1) B.(-3,-1) C.-2,-1) D.(-2,-1)答案C6.(2020届甘肃甘谷第一中学第一次检测,4)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,22),且f(m-2)1,则m的取值范围是()A.m3B.1m3 C.m3答案D二、填空题(共5分)7.(2019江西南昌第一次模拟,16)若对任意的t1,2,函数f(x)=t2x2-(t+1)x+a总有零点,则实数a的取值范围是.答案-,916三、解答题(共20分)8
12、.(2020届甘肃甘谷第一中学第一次检测,19)已知二次函数f(x)=2x2+bx+c满足f(0)=f(2)=3.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(x)在区间2a,a+1上是单调函数,求实数a的取值范围.答案(1)由f(0)=f(2)=3可得c=3,8+2b+c=3,解得c=3,b=-4,f(x)=2x2-4x+3.(2)易知f(x)的图象的对称轴为直线x=1,且2aa+1,即a1.当2a1时,函数f(x)在区间2a,a+1上单调递增,解得a12.当a+11时,函数f(x)在区间2a,a+1上单调递减,解得a0.综上,实数a的取值范围为(-,012,1.9.(2020届福建龙海二中期初考试
13、,19)已知y=f(x)是定义在(-,+)上的偶函数,当x0时,f(x)=x2-2x-3.(1)用分段函数的形式写出y=f(x)的解析式;(2)写出y=f(x)的单调区间.答案(1)y=f(x)是定义在(-,+)上的偶函数,当x0时,f(x)=x2-2x-3,当x0,f(x)=f(-x)=(-x)2-2(-x)-3=x2+2x-3.即x0时,f(x)=x2+2x-3.故f(x)=x2-2x-3,x0,x2+2x-3,x0.(2)当x0时,f(x)=x2-2x-3,此时其图象的对称轴为直线x=1,单调增区间为1,+),单调减区间为0,1.当x0时,f(x)=x2+2x-3,此时其图象的对称轴为直线x=-1,单调增区间为-1,0),单调减区间为(-,-1.综上,y=f(x)的单调增区间为-1,0)和1,+),单调减区间为(-,-1和0,1.