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1、8.2空间点、线、面的位置关系探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点点、线、面的位置关系理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解四个公理及推论;会用平面的基本性质证明点共线、线共点以及点线共面等问题;理解空间两直线的位置关系及判定,了解等角定理和推论2019课标全国,8,5分两条直线的位置关系面面垂直的性质2019课标全国,19,12分四点共面、四边形的面积面面垂直的判定2016课标全国,11,5分异面直线所成的角面面平行的性质2018课标全国,9,5分异面直线所成的角线面垂直的性质分析解读高考对本节内容的考查主要体现在两个方面:一是以四个公理和推论为基础,
2、考查点、线、面之间的位置关系;二是考查两直线的位置关系.题型以选择题和填空题为主,也可能是解答题,本节内容主要考查学生的空间想象能力,在备考时应加强训练.破考点 练考向【考点集训】考点点、线、面的位置关系1.(2020届安徽合肥八校第一次联考,5)已知a,b是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若a,ab,则bB.若a,ab,则bC.若a,b,a,b,则D.若ab=A,a,b,a,b,则答案D2.(2018湖南益阳、湘潭两市联考,10)如图,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有()A. B. C. D.答案C3.(20
3、20届河南、河北重点中学摸底考试,9)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=1,AA1=2,点O为长方形ABCD对角线的交点,E为棱CC1的中点,则异面直线AD1与OE所成的角为()A.30 B.45 C.60 D.90答案C4.下列说法中,正确的个数是()如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交;一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面都平行;经过两条异面直线中的一条直线,有一个平面与另一条直线平行;两条相交直线,其中一条直线与一个平面平行,则另一条直线一定与这个平面平行.A.0 B.1 C.2 D.3答案C答案B6.(2019广
4、东东莞模拟,2)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是()A.CC1与B1E是异面直线B.AC平面ABB1A1C.AE,B1C1为异面直线,且AEB1C1D.A1C1平面AB1E答案C7.求证:如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交,那么这四条直线共面.答案已知:abc,la=A,lb=B,lc=C.求证:直线a,b,c,l共面.证明:如图所示,因为ab,所以由公理2的推论3可知直线a与b确定一个平面,设为.因为la=A,lb=B,所以Aa,Bb,则A,B.又因为Al,Bl,所以由公理1可知l.因
5、为bc,所以由公理2的推论3可知直线b与c确定一个平面,同理可知l.因为平面和平面都包含着直线b与l,且lb=B,而由公理2的推论2知,平面与平面重合,所以直线a,b,c,l共面.炼技法 提能力【方法集训】方法1证明点共线、线共点及点线共面的方法1.求证:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.答案已知:ABAC=A,ABBC=B,ACBC=C,且A,B,C不重合.求证:直线AB,BC,AC共面.证法一:ABAC=A,直线AB,AC可确定一个平面,BAB,CAC,B,C,故BC,因为直线AB,BC,AC都在平面内,直线AB,BC,AC共面.证法二:A不在直线BC上,点A和直线BC可确定一
6、个平面,BBC,B,又A,直线AB,同理可得直线AC,故直线AB,BC,AC共面.证法三:A,B,C三点不在同一条直线,A,B,C三点可以确定一个平面,A,B,直线AB,同理AC,BC,故直线AB,BC,AC共面.2.(2018河南濮阳一高10月月考,18)如图所示,空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB,BC,CD上,且满足AEEB=CFFB=21,CGGD=31,过E,F,G的平面交AD于H,连接EH,HG.(1)求AHHD;(2)求证:EH,FG,BD三线共点.答案(1)AEEB=CFFB=2,EFAC,又EF平面ACD,AC平面ACD,EF平面ACD,又EF平面EFGH,平面EFG
7、H平面ACD=GH,EFGH.而EFAC,ACGH,AHHD=CGGD=3.AHHD=31.(2)证明:EFGH,且EFAC=13,GHAC=14,EFGH,四边形EFGH为梯形,直线EH,FG必相交.设EHFG=P,则PEH,而EH平面ABD,P平面ABD,同理,P平面BCD,而平面ABD平面BCD=BD,PBD.EH,FG,BD三线共点.方法2异面直线所成角的求解方法1.(2020届四川雅安中学第一次月考,7)如图,E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点,PC=10,AB=6,EF=7,则异面直线AB与PC所成的角为() A.30 B.120 C.60D.45答案C2.在正四棱锥
8、P-ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成的角为()A.90 B.60 C.45D.30答案C3.(2018湖南永州三模,7)三棱锥A-BCD的所有棱长都相等,M,N分别是棱AD,BC的中点,则异面直线BM与AN所成角的余弦值为()A.13 B.24 C.33D.23答案D4.如图,已知在三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD成60角,点M,N分别是BC,AD的中点,则直线AB与MN所成角的大小为.答案60或30【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点点、线、面的位置关系1.(2019课标全国,8,5分)如图,点N为正方形AB
9、CD的中心,ECD为正三角形,平面ECD平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BMEN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BMEN,且直线BM,EN是异面直线答案B2.(2018课标全国,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A.22 B.32 C.52D.72答案C3.(2016课标全国,11,5分)平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.32
10、 B.22 C.33D.13答案A4.(2019课标全国,19,12分)图1是由矩形ADEB,RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC平面BCGE;(2)求图2中的四边形ACGD的面积.答案本题考查了线面、面面垂直问题,通过翻折、平面与平面垂直的证明考查了空间想象能力和推理论证能力,考查了直观想象的核心素养.(1)由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得ABBE,ABBC
11、,故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.(2)取CG的中点M,连接EM,DM.因为ABDE,AB平面BCGE,所以DE平面BCGE,故DECG.由已知,四边形BCGE是菱形,且EBC=60得EMCG,故CG平面DEM.因此DMCG.在RtDEM中,DE=1,EM=3,故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.B组自主命题省(区、市)卷题组考点点、线、面的位置关系1.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面,交于直线l.若直线m,n满足m,n,则()A.ml B.mnC.nl D.mn答案C2.(2015广东,6,5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内
12、,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交答案D3.(2018天津,17,13分)如图,在四面体ABCD中,ABC是等边三角形,平面ABC平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=23,BAD=90.(1)求证:ADBC;(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.答案(1)证明:由平面ABC平面ABD,平面ABC平面ABD=AB,ADAB,可得AD平面ABC,故ADBC.(2)取棱AC的中点N,连接MN,ND.
13、又因为M为棱AB的中点,故MNBC.所以DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.在RtDAM中,AM=1,故DM=AD2+AM2=13.因为AD平面ABC,故ADAC.在RtDAN中,AN=1,故DN=AD2+AN2=13.在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cosDMN=12MNDM=1326.所以,异面直线BC与MD所成角的余弦值为1326.(3)连接CM.因为ABC为等边三角形,M为边AB的中点,故CMAB,CM=3.又因为平面ABC平面ABD,而CM平面ABC,故CM平面ABD.所以,CDM为直线CD与平面ABD所成的角.在RtCAD中,CD=AC2+AD2=4.在RtCMD中
14、,sinCDM=CMCD=34.所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为34.C组教师专用题组考点点、线、面的位置关系1.(2016山东,6,5分)已知直线a,b分别在两个不同的平面,内.则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A2.(2015浙江,4,5分)设,是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l,m.()A.若l,则 B.若,则lmC.若l,则 D.若,则lm答案A3.(2010全国,6,5分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,若BAC=90,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成
15、的角等于()A.30 B.45 C.60D.90答案C4.(2011全国,15,5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为.答案235.(2015四川,18,12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论;(3)证明:直线DF平面BEG.答案(1)点F,G,H的位置如图所示.(2)平面BEG平面ACH.证明如下:因为ABCD-EFGH为正方体,所以BCFG,BC=FG,又FGEH,FG=EH,
16、所以BCEH,BC=EH,于是四边形BCHE为平行四边形.所以BECH.又CH平面ACH,BE平面ACH,所以BE平面ACH.同理BG平面ACH.又BEBG=B,所以平面BEG平面ACH.(3)证明:连接FH,BD.因为ABCD-EFGH为正方体,所以DH平面EFGH,因为EG平面EFGH,所以DHEG.又EGFH,DHFH=H,所以EG平面BFHD.又DF平面BFHD,所以DFEG.同理DFBG.又EGBG=G,所以DF平面BEG.6.(2013课标,19,12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,BAA1=60.(1)证明:ABA1C;(2)若AB=CB=2,A
17、1C=6,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.答案(1)证明:取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.因为CA=CB,所以OCAB.由于AB=AA1,BAA1=60,故AA1B为等边三角形,所以OA1AB.因为OCOA1=O,所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C,所以ABA1C.(2)由题设知ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形,所以OC=OA1=3.又A1C=6,则A1C2=OC2+OA12,故OA1OC.因为OCAB=O,所以OA1平面ABC,OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高.又ABC的面积SABC=3,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=SABCOA1=3.【三年模拟
18、】时间:45分钟分值:50分一、选择题(每小题5分,共45分)1.(2020届河北枣强中学9月月考,5)在空间中,a,b,c是三条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题为真命题的是()A.若a,ab,bc,则cB.若a,b,则abC.若a,ab,bc,则cD.若,a,则a答案D2.(2019四川成都二诊,8)已知a,b是两条异面直线,直线c与a,b都垂直,则下列说法正确的是()A.若c平面,则aB.若c平面,则a,bC.存在平面,使得c,a,bD.存在平面,使得c,a,b答案C3.(2020届甘肃兰州重点中学9月联考,6)正方体的平面展开图如图,AB、CD、EF、GH四条对角线两两一对得到6
19、对对角线,在正方体中,这6对对角线所在直线成60角的有() A.1对 B.2对 C.3对 D.4对答案D4.(2020届河南顶级名校摸底考试,10)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M为棱A1B1的中点,则异面直线AM与BD所成角的余弦值为()A.32 B.34 C.105 D.1010答案D5.(2018山西临汾模拟,5)如图,在三棱台ABC-A1B1C1的6个顶点中任取3个点作平面,设平面ABC=l,若lA1C1,则这3个点可以是()A.B,C,A1 B.B1,C1,AC.A1,B1,CD.A1,B,C1答案D6.(2020届河北邢台第一次摸底考试,11)在正方体ABCD-A1B1C
20、1D1中,E、F、G分别为AA1、BC、C1D1的中点,现有下面三个结论:EFG为正三角形;异面直线A1G与C1F所成角为60;AC平面EFG.其中所有正确结论的编号是()A. B.C. D.答案D7.(2019广东深圳二模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,P为棱CC1上的动点,Q为棱AA1的中点,设直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线,则()A.mD1Q B.m平面B1D1QC.mB1Q D.m平面ABB1A1答案B8.(2019河北衡水三模,12)已知在高为2,底面边长为3的正三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F,G分别是A1C1,A1B1,AB上的点,且有C1E=A1F=BG=1,则过点E,F,G的平面截正三棱柱所得的截面的面积为()A.154 B.152C.3154 D.5154答案D9.(多选题)(命题标准样题,6)设是给定的平面,A,B是不在内的任意两点,则()A.在内存在直线与直线AB异面B.在内存在直线与直线AB相交C.存在过直线AB的平面与垂直D.存在过直线AB的平面与平行答案AC二、填空题(共5分)10.(2019江西百所名校模拟八,16)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,过BD1的截面的面积为S,则S的最小值为.答案26