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1、1 复变函数习题总汇与参考答案第1 章复数与复变函数一、单项选择题1、若 Z1=（a, b ）,Z2=(c, d),则 Z1Z2=（C）A （ac+bd, a） B (ac-bd, b)C （ac-bd, ac+bd） D (ac+bd, bc-ad) 2、若 R0，则 N（， R）= z ： （D） A |z|R B 0|z|RC R|z|R 3、若 z=x+iy, 则 y=(D) A B C D 4、若 A= ，则 |A|= （C）A 3 B 0 C 1 D 2 二、填空题1、若 z=x+iy, w=z2=u+iv, 则 v=（ 2xy ）2、复平面上满足Rez=4的点集为（ z=x+iy
2、|x=4 ）3、 （ 设 E为点集，若它是开集，且是连通的，则E ）称为区域。4、设 z0=x0+iy0, zn=xn+iyn(n=1,2, )，则zn以 zo为极限的充分必要条件是 xn=x0，且 yn=y0。三、计算题1、求复数 -1-i的实部、虚部、模与主辐角。解：Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1 2、写出复数 -i 的三角式。解：3、写出复数的代数式。2zz2zzizz2izz2)1)(4()1)(4(iiiinlimnlim45|11|arctan), 1(12)1()1(iaryi在第三象限23sin23cosiiiiii11精选学习资料 - - - - - - -
3、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页2 解：4、求根式的值。解：四、证明题1、证明若，则 a2+b2=1。证明：而3、证明：证明：iiiiiiiiiiiiiii212312121)1()1)(1 ()1(11327)35sin35(cos33)sin(cos33)3sin3(cos3327)27arg(327)34(2)32(1303ieWieWieWziii的三次根的值为biayixyixbiayixyix|yixyixbia22|babia11122222222babayxyxyixyix)Re(2212221221zzzzzz)Re(2)(2)()()
4、()()()(2112212211122122211221221121212121221zzbyaxiaybxbyaxiaybxbyaxbiayixyixbiazzzzyixzyixzbiazbiazzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz则则设222精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页3 第 2 章 解析函数一、单项选择题1若 f(z)= x2-y2+2xyi, 则2、若 f(z)=u(x, y)+iv(x,y), 则柯西黎曼条件为（D ）A B C D 3、若 f(z)=z+1, 则 f(z) 在复平面上
5、（ C）A仅在点 z=0 解析 B无处解析 C处处解析 D在 z=0 不解析且在 z0解析4、若 f（z）在复平面解析， g(z) 在复平面上连续，则f(z)+g(z)在复平面上（ C）A解析 B 可导 C连续 D 不连续二、填空题1、若 f(z) 在点 a 不解析，则称 a 为 f(z) 的奇点。2、若 f(z) 在点 z=1 的邻域可导，则f(z) 在点 z=1 解析。3、若 f(z)=z2+2z+1，则4、若，则不存在。三、计算题：1、设 f(z)=zRe(z), 求解： = 2、设 f(z)=excosy+iexsiny, 求解：f(z)=excosy+iexsiny=ez,z=x+i
6、y u=excosy v=exsiny f(z)=u+iv )()(Dzfyvxvyuxu且xvxuxvyu且yvxvyuxu且xvyuyvxu且22)(zzf)2)(1(7)(zzzf) 1(f)0()0(lim0ffz)0()0(lim0ffz)Re(lim0z0)Re(lim0z)(zf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页4 f(z) 在复平面解析，且 =excosy+iexsiny 3、设 f(z)=u+iv在区域 G内为解析函数，且满足u=x3-3xy2，f(i)=0,试求 f(z) 。解：依 C-R条件有
7、 Vy=ux=3x2-3y2则 V（x1y）=3x2y-y3+c(c 为常数 ) 故 f(z)=x3-3xy2+i(3x2y-y3+c)=x3-3xy2+i(cx2y-y3)+ic =z3+ic ，为使 f(i)=0, 当 x=0,y=1 时，f(i)=0, 有 f(0)=-i+ic=0 c=1 f(z)=Z3+i 4、设 f(z)=u+iv在区域 G内为解析函数，且满足u=2(x-1)y, f(2)=-i,试求 f(z) 。解：依 C-R条件有 Vy=ux=2y V= =y2+ (x) Vx= (x)= V=y2-x2+2x+c(c 为常数) f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x+
8、c) 为使 f(z)=-i,当 x=2 y=0 时,f(2)=ci=-i c=-1 f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x-1) yeyvxuxcosyeyvyuxsinieyezfxcos)()( zfcxQxyuyxQxyvxQyyxdyyxvx)(6)(6)(3)33(3222ydy2zxuyx2)(cxxdxx2)22(2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页5 =-(z-1)2i 四、证明题1、试在复平面讨论f(z)=iz的解析性。解：令 f(z)=u+iv z=x+iy 则 iz=i(x+iy)=-
9、y+ix u=-y v=x 于是 ux=0 uy=-1 Vx=1 Vy=0 ux、uy、vx 在复平面内处处连接又 Ux=Vy Uy=-Vx 。f(z)=iz在复平面解析。2、 试证：若函数 f(z) 在区域 G内为解析函数， 且满足条件f（z）=0，zG ，则 f(z) 在 G内为常数。证：设 f(z)=u+iv,z=x+iy,zG f(z) 在 G内解析，Ux=Vy, Uy=-Vx 又f（z）=0, f（z）=Ux+iVx Ux=0 Vx=0 Uy=-Vx=0 Ux=Vy=0 U为实常数 C1，V也为实常数 C2，f(z)=C1+iC2=Z0f(z) 在 G内为常数。精选学习资料 - -
10、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页6 复变函数课程作业参考解答2 第 3 章初等函数一、单项选择题1. z = ( A ) 是根式函数nzw的支点. (A) 0 (B) 1(C) (D) i 2. z = ( D ) 是函数zwln的支点 . (A) i (B) 2i(C) -1 (D) 0 3. ei =( B ). (A) e-1+e (B) cos1+isin1(C) sin1 (D) cos1 4. sin1= ( A ) (A) ieeii2 (B) ieeii2(C) 21ee (D) 21ee二、填空题1. cosi =
11、21ee2. ie1= e(cos1+isin1) 3. lni =i24. ln(1+i) = )24(221kiLnk 为整数. 三、计算题1. 设 z=x+iy ，计算2ze. 解: xyiyxiyxz2)(2222xyiyeexz2222)2sin()2)cos(exp(22xyixyyx2ze=22yxe)exp(2z= 22yxe精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页7 2. 设 z = x+iy, 计算)Re(1ze. 解: z = x+iy 222211yxyiyxxiyxz)sin(cos122222
12、2yxyiyxyyxxzee2221cos)Re(22yxyeeyxx3. 求方程izln2的解. 解: lnz =2/i 由对数函数的定义有 : Z=iiei2sin2cos2/ 所给方程的解为z = i 4. 求方程iez31的解. 解: )3sin3(cos231iiez =)3sin3(cos2ieLn根据指数函数的定义有 : z=n2+i3/或 z=n(1+i3) 四、证明题1. 试证: zzzcossin22sin. 证明：根据正弦函数及余弦正数定义有：ieeziziz22sin22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页
13、，共 16 页8 222cossin2izizizeeiizezzieeiziz222 sin2z=2sinzcosz 2. 证明: xnxxnnxxx2sin2sin21sinsin2sinsin. 证明: 令 A=nxxxcos2coscos1 B=sinx+sin2x+sinnx inxxiixeeeBiA2122)1(121111xiizixxniexneeexnixixniexxnexixeni22212sin21sin2sin221sin2 = )2sin2(cos2sin21sinxnixnxxnxnxxnxxx2sin2sin21sinsin2sinsin第 4 章解析函数的积
14、分理论一、单项选择题1. cdz2( D ) , c为起点在 0 , 终点在 1+i 的直线段 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页9 (A) 0 (B) 1(C) 2i (D) 2(1+i) 2. 1)(sinzAzdz. (A) 0 (B) 10i(C) i (D) 123i3. 5)(5zBdzz (A) i (B) 10i(C) 10i (D) 0 4. 32)23(sin2zzz=( A ). (A) 23cos4 i (B) i4 (C) i2 (D) i2二、填空题1. 若)(zf与)(xg沿曲线
15、c 可积，则cccdzzgdzzfdzzgzf)()()()(. 2. 设 L 为曲线 c 的长度 , 若 f(z) 沿 c 可积, 且在 c 上满足Mzf)(,则MLdzzfc)(.3. 177izdz4. eezdzii01cos2三、计算题1. 计算积分czdzIm, 其中 c 为自 0 到 2+i 的直线段 . 解: c的方程为 : )10()()(ttiztzz其次由titzzyix)2()(得tzImdtidttzdz)2()(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页1 0ctdtizdz10)2(Im =1
16、0)2(tdti =i2112. 计算积分1212102sinzzdzzzze. 解: 1212102sinzzdzzzze=1)3)(2(2sinzzdzzzze作区域 D:1z积分途径在 D内被积函数的奇点Z=2与 Z=3均不在 D内, 所以被积函数在D内解析 . 由定理 4.2 得: 1212102sinzzdzzzze=0 3. 计算积分czcdzzz41:,)1)(1(132. 解: cdzzz)1)(1(132 奇点 z=1 和 z=-1 不在区域 D,1z内013z的三个根2 , 1 , 0,32kezikk也不在 D内 由定理 4.2 得cdzzz) 1)(1(132=0 4.
17、 计算积分czdzze5, 5: zc. 解: 由定理 4.6 得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页1 10)4(5)(!42zzczeidzze12i四、证明题1. 计算积分121zdzz，并由此证明0cos45cos210dn. 证明：21)(zzf在圆域 |z|1 内解析121zdzz=1021zdzz另一方面 , 在圆|z|=)2)(sin(cos1zi121zdzz=)sin(cos2sincos1id(实部和虚部为 0) =diiiicdisin)cos2(sin)cos2(sin)cos2(coss
18、in2sincoscossin =disincoscos44)1cos2(sin2 =dzicos45)cos21(sin2 =didcos45cos21cos45sin2121zdzz=0 0cos45sin2d0cos45cos21d精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页1 2而cos45cos21为偶函数0=dcos45cos21 =d0cos45cos2120cos45cos210d复变函数课程作业参考解答3 第 5 章解析函数的幂级数表示一、单项选择题1. 幂级数0nnz的收敛半径等于 ( B ) ( A
19、) 0 (B) 1 ( C ) 2 (D) 3 2. 点 z=-1 是 f(z)=51052zzr ( B )级零点 . ( A ) 1 (B)2 (C)3 (D)5 3. 级数0nnz的收敛圆为 ( D ). (A) | z-1| 3(B) |z|1 (D) |z| 1 4. 设 f(z) 在点 a 解析, 点 b 是 f(z) 的奇点中离点 a 最近的奇点 , 于是, 使 f(z)=0)(nnnazc成立的收敛圆的半径等于( C ). (A) a+b+1(B) b-a+1(C) |a-b| (D) |a+b| 二、填空题1. 级数 1+z+! 22nzzn的收敛圆 R=+ 即整个复平面2.
20、 若 f(z)= sinzk(k 为常数 ), 则 z=m (m=0, 2,1)为 f(z)的 1 级零点 . 3.幂有数0!nnzn的收敛半径等于 0 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页1 3 4.z=0是 f(z)=ez-1 的 1 级零点. 三、计算题 1.将函数 f(z)=121 zz在点 z=0展开幂级数 . 解: f(z)=21161312131113121111110zzzzzzzznn =-000261312116131nnnnnnzzzz1z 2.将函数 f(z)=(1-z)-2在点 z=0
21、 展开成幂级数 . 解：1211f(z)zz而(1-z)-1=011nnzz01012) )(1)1 (nnnnnzzzz =0)1(nnzn1z 3将函数 f(z)=(z+2)-1在点 z=1 展开成幂级数 . 解：f(z)=(z+2)-1=3)1(11)1(3113121zzzz =003)1()1(313) 1(31nnnnnnzz31z4将函数 f(z)=ez在点 z=1 展开成幂级数 . 解： f(z)=ez f(n)=ezefn1)(nnnzznfe)1(!f(z)0)1()(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共
22、 16 页1 40)1(!nnzne四、证明题 1证明 :1-ei2z=-2isinzeiz证：eiz=cosz+isinz e-iz=cos-isinz eiz-e-iz=2isinz -2isinz=-( eiz-e-iz) = eiz-e-iz -2isinz eiz=( e-iz- eiz) eiz =e0- e2iz=1- e2iz 2试用解析函数的唯一性定理证明等式: cos2z= cos2z-sin2z 证f1(z)=cos2z, 则 f1(z) 复平面 G解析设 f2(z) coszsin2，则 f2(z) 也在整个复平面G解析取 E=K为实数轴 , 则 E在 G内有聚点 .
23、当 E为实数时 , 知 cos2z=cos2z-sin2z, 即 f1(z)= f2(z) 由解析函数唯一性定理 , 由以上三条知f1(z)= f2(z) GZ成立即 cos2z= cos2z-sin2z GZ第6章解析函数的罗朗级数表示一、单项选择题 1 函数 f(z)=2312zz在点 z=2 的去心邻域 ( D ) 内可展成罗朗级数.(A) 03z (B) 051z(C) 131z (D) 012Z 2设点为 f(z) 的孤立奇点，若zzIimf)(=c，则点为 f(z)的( C ).(A) 本性奇点 (B) 极点(C) 可去奇点 (D) 解析点 3若点为函数 f(z) 的孤立奇点，则点
24、为 f(z) 的极点的充分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页1 5必 要 条 件 是 ( D ).(A) zIimff(z)=c()(B) zIimf(z)=(C) zIimf(z)=c()(D) zIimf(z)= 4若点为函数 f(z) 的孤立奇点，则点为 f(z) 的本性奇点的充要条件是（ B ）. (A) zIimf(z)= c() (B) zIimf(z) 不存在(C) zIimf(z)=c() (D) zIimf(Z)=二、填空题 1 设nnnzc)(为函数 f(z) 在点的罗朗级数 , 称nnnaz
25、c)(1为该级数的主要部分 . 2.设点为函数 f(z) 的奇点 , 若 f(z) 在点的某个 某个去心邻域z内解析 , 则称点为 f(z) 的孤立奇点 . 3.若 f(z)=ze14，则点 z=0 为 f(z) 的 0 级极点 . 不是极点 ,若 f(z)= ze14则 z=0 为 f(z) 的一个极点 . 4.若 f(z)=(sin21)-1,则点 z0 为 f(z) 非孤立奇点. 三、计算题1将函数 f(z)=(z-2)-1在点 z=0 的去心邻域展成罗朗级数. 解: f(z)=21z= - z21= -nnnnnnzzz2)1(21)2(212112100 2将函数 f(z) 12zz
26、在点的去心邻域展成罗朗级数. 解: f(z)=111211111)1)(1(111122zzzzzzzzzzz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页11 6 3试求函数 f(z)=z-3sinz3的有限奇点 , 并判定奇点的类别 . 解: 3sin z解析, 无奇点 ,f(z) 的有限奇点为 z=0. 并且为 3 阶极点. 4试求函数 f(z)=z21z-1的有限奇点，并判定奇点的类别. 解: f(z)的m阶奇 点即)(1zf的阶 零点 ,而)1)(1()1 ()(12zzzzzzf零点为 z=0，z=1，z=-1，
27、且均为 1 阶零点。12)1 ()(zzzf的有限奇点为 z=0，z=1,z=-1 且均为 1 阶极点 . 四、证明题 1设 f(z)=133)1(8zez, 试证 z=0 为 f(z) 的 6 级极点 . 证:要证 z=0为 f(z) 的 6级极点 , 只需证 z=0为) 1(8)(133gezzfz的6 阶零点即可 . 而1)(3)(2)(18)1(8)(13333233333n！z！z！zzzezzfz =8z3! 2)(233Zz =8z6! 32113233n）（z）（z！zn令！）（z！z（z）321233则00）（0z为)(1zf的 6 阶零点z=0 为 f(z) 的 6 级极点.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页