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1、及时回顾基础有助于提升学科综合素养。本栏目精心梳理及时回顾基础有助于提升学科综合素养。本栏目精心梳理单元主干基础知识，系统全面、层次清晰，便于快速回顾、高单元主干基础知识，系统全面、层次清晰，便于快速回顾、高效理解，以达事半功倍之目的。效理解，以达事半功倍之目的。一、变化率与导数一、变化率与导数1.1.函数的变化率函数的变化率(1)(1)相关概念相关概念: :定定 义义实实 例例作作 用用平平均均变变化化率率函数函数y=f(x)y=f(x)从从x x1 1到到x x2 2的平的平均变化率为均变化率为简记作简记作: :平均速度平均速度; ;曲线割线的曲线割线的斜率斜率. .刻画函数值在刻画函数值
2、在区间区间x x1 1,x,x2 2上变化的快慢上变化的快慢. .2121f(x )f(x ),xxy.x定定 义义实实 例例作作 用用瞬瞬时时变变化化率率函数函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的瞬处的瞬时变化率是函数时变化率是函数f(x)f(x)从从x x0 0到到x x0 0+x+x的平均变化率在的平均变化率在xx趋近于趋近于0 0时的极限时的极限, ,即即瞬时速度瞬时速度; ;曲线的切线曲线的切线的斜率的斜率. .刻画函数值在刻画函数值在x x0 0点附近变化点附近变化的快慢的快慢. .00 x0 x0f xxf xlimxylim.x (2)(2)有关说明有关说明:
3、:瞬时变化率是平均变化率的极限瞬时变化率是平均变化率的极限. .函数变化率的绝对值的大小说明了函数增减的快慢函数变化率的绝对值的大小说明了函数增减的快慢. .绝对值绝对值越大，函数增减得越快，从图象上看表现为曲线的陡缓程度，越大，函数增减得越快，从图象上看表现为曲线的陡缓程度，绝对值越大，图象越陡绝对值越大，图象越陡. . 2.2.导数导数函数函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是我们称其为函数我们称其为函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的导数，处的导数，记作记作f(xf(x0 0) )或或 即即00 x0 x0f xxf xyli
4、mlimxx ，0 x xy |，000 x0 x0f xxf xyf (x )limlim.xx 3.3.函数函数 y yf(x) f(x) 的导函数的导函数当当x=xx=x0 0时时,f(x,f(x0 0) )是一个确定的数是一个确定的数, ,当当x x变化时变化时,f(x),f(x)是是x x的一的一个函数个函数, ,我们称它为我们称它为f(x)f(x)的导函数的导函数( (简称导数简称导数).).y=f(x)y=f(x)的导函数有时也记作的导函数有时也记作y,y,即即f(x)=y=f(x)=y= x0f xxf xlim.x 【辨析】【辨析】导数与导函数的关系导数与导函数的关系(1)(
5、1)函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点附近的函函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点附近的函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，不是变量数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，不是变量. .(2)(2)函数的导函数：是针对某一区间内任一点函数的导函数：是针对某一区间内任一点x x而言的而言的. .(3)(3)函数函数f(x)f(x)在在x x0 0处的导数就是导函数处的导数就是导函数f(x)f(x)在在x=xx=x0 0处的函数值处的函数值. .二、导数的计算二、导数的计算1.1.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式(1)(c)=0(1)(c)=0，(c(c为常数为
6、常数).).(2)(x(2)(x)=x)=x-1-1(Q(Q* *).).(3)(sinx)=cosx.(3)(sinx)=cosx.(4)(cosx)=-sinx.(4)(cosx)=-sinx.(5)(a(5)(ax x)=a)=ax xlna(a0lna(a0且且a1).a1).(6)(e(6)(ex x)=e)=ex x. .(7)(log(7)(loga ax)= (a0 x)= (a0且且a1).a1).(8)(lnx)=(8)(lnx)=1xlna1.x2.2.导数运算法则导数运算法则(1)(1)法则法则: :f(x)f(x)g(x)g(x)=f(x)=f(x)g(x).g(x)
7、.f(x)g(x)f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x).=f(x)g(x)+f(x)g(x). 2f xfx g xf x g xg x0 .g xg x (2)(2)关于导数运算法则的几点认识关于导数运算法则的几点认识: :牢记公式的形式牢记公式的形式f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x), f(x)g(x), 避免与避免与f(x)+g(x)f(x)+g(x)=f(x)+g(x)=f(x)+g(x)混淆混淆. .若若c c为常数，则为常数，则c cf(x)f(x)=c=cf f(x).(x). f xfxg x0 ,g xg x 3.3.复合函数求导复合函数求导(1
8、)(1)定义：一般地，对于两个函数定义：一般地，对于两个函数y=f(u)y=f(u)和和u=g(x)u=g(x)，如果通过，如果通过变量变量u u，y y可以表示成可以表示成x x的函数，那么称这个函数为函数的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)y=f(u)和和u=g(x)u=g(x)的复合函数的复合函数. .记作记作y=f(g(x).y=f(g(x).(2)(2)复合函数的求导法则复合函数的求导法则由由y=f(u)y=f(u)和和u=g(x)u=g(x)复合的复合函数复合的复合函数y=f(g(x)y=f(g(x)的导数的导数y=f(u)g(x)y=f(u)g(x)三、函数的单调性与导数三、
9、函数的单调性与导数1.1.导数与函数单调性导数与函数单调性函数函数y=f(x)y=f(x)在某个区间在某个区间(a,b)(a,b)内可导，如果内可导，如果f(x)f(x)0 0，则，则y=f(x)y=f(x)在这个区间内单调递增；如果在这个区间内单调递增；如果f(x)f(x)0 0，则，则y=f(x)y=f(x)在在这个区间内单调递减这个区间内单调递减. .2.2.讨论函数单调性应注意的问题讨论函数单调性应注意的问题(1)(1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内通过讨论导数的符号定义域，解决问
10、题的过程只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间来判断函数的单调区间. .(2)(2)一般利用使导数等于零的点来分函数的单调区间一般利用使导数等于零的点来分函数的单调区间. .(3)(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间之间不能用这些单调区间之间不能用“”连接，而只能用连接，而只能用“，”或或“和和”字隔开字隔开. .(4)(4)注意在某一区间内注意在某一区间内f(x)f(x)0(0(或或f(x)f(x)0)0)是函数是函数f(x)f(x)在在该区间上为增该区间上为增( (或减或减) )函数的充分不必要
11、条件，而不是充要条件函数的充分不必要条件，而不是充要条件( (例如，例如，f(x)=xf(x)=x3 3).).(5)(5)如果函数在某个区间内恒有如果函数在某个区间内恒有f(x)=0f(x)=0，则，则f(x)f(x)为常数函数为常数函数. .(6)(6)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律中的一个应用，它充分体现了数形结合思在研究曲线变化规律中的一个应用，它充分体现了数形结合思想想. .(7)(7)若在某区间上有有限个点使若在某区间上有有限个点使f f(x)=0(x)=0，在其余的点恒有，在其余的点恒有f f
12、(x)(x)0 0，则，则f(x)f(x)在该区间上仍为增函数在该区间上仍为增函数. . 【辨析】【辨析】函数的单调性与导数的关系函数的单调性与导数的关系若函数若函数f(x)f(x)可导，其导数与函数的单调性的关系如下，以增函可导，其导数与函数的单调性的关系如下，以增函数为例来说明：数为例来说明：(1)f(x)0(1)f(x)0能推出能推出f(x)f(x)为增函数，但反之不一定为增函数，但反之不一定, ,即即f(x)0f(x)0是是f(x)f(x)为增函数的充分不必要条件为增函数的充分不必要条件. .(2)f(x)0(2)f(x)0时，时，f(x)0f(x)0是是f(x)f(x)为增函数的充要
13、条件为增函数的充要条件. .(3)f(x)(3)f(x)为增函数的充要条件为为增函数的充要条件为f f(x)(x)0 0且且f f(x)(x)不恒为不恒为0.0. 四、函数的极值、最值与导数四、函数的极值、最值与导数1.1.可导函数的极值可导函数的极值(1)(1)定义：设函数定义：设函数f(x)f(x)在点在点x x0 0附近有定义，且对附近有定义，且对x x0 0附近的所有附近的所有点点x x都有都有f(xf(x0 0)f(x)()f(x)(或或f(xf(x0 0)f(x)f(x)，则称，则称f(xf(x0 0) )为函数的一个为函数的一个极大极大( (小小) )值值, ,称称x x0 0为
14、极大为极大( (小小) )值点值点. .(2)(2)极值中的几个注意问题极值中的几个注意问题可导函数的极值点一定是其导数为可导函数的极值点一定是其导数为0 0的点，反之，导数为的点，反之，导数为0 0的点的点不一定是该函数的极值点，所以导数为不一定是该函数的极值点，所以导数为0 0是该点为极值点的必是该点为极值点的必要条件，其充分条件还需要再添加要条件，其充分条件还需要再添加“该点两侧的导数异号该点两侧的导数异号”. .举例如下：举例如下：导数为导数为0 0的点是极值点：的点是极值点：f(x)=xf(x)=x2 2,f(0)=0,x=0,f(0)=0,x=0是极小值点是极小值点; ;导数为导数
15、为0 0的点不是极值点：的点不是极值点：f(x)=xf(x)=x3 3,f,f(0)=0,x=0(0)=0,x=0不是极值不是极值点点. . 2.2.函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值(1)(1)设设y yf(x)f(x)是定义在区间是定义在区间a ,ba ,b上的函数，上的函数，y yf(x)f(x)在在(a ,b)(a ,b)内可导，则函数内可导，则函数y yf(x)f(x)在在a ,ba ,b上一定有最大值上一定有最大值与最小值，但在开区间内不一定有最大值与最小值与最小值，但在开区间内不一定有最大值与最小值, ,如函数如函数f(x)= f(x)= 在在(0,+)(0,+)内连续，但
16、没有最大值与最小值内连续，但没有最大值与最小值. .(2)y=f(x)(2)y=f(x)在区间在区间a a，b b上的最值，会在极值点处或端点处上的最值，会在极值点处或端点处取得取得. .1x【辨析】【辨析】函数的极值与最值函数的极值与最值(1)(1)极值是一个局部概念：由定义可知，极值只是某个点的函极值是一个局部概念：由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大还是最小，并不意味着它数值与它附近点的函数值比较是最大还是最小，并不意味着它在函数的整个定义域内是最大或是最小在函数的整个定义域内是最大或是最小. .最值是一个整体概念，最值是一个整体概念，函数的最值是比较整个定义域
17、内的函数值得出的最大值或最小函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的最大值或最小值值. .(2)(2)函数的极值不是惟一的函数的极值不是惟一的, ,即一个函数在其定义区间上的极大即一个函数在其定义区间上的极大值或极小值可以不止一个，函数在其定义区间上的最大值、最值或极小值可以不止一个，函数在其定义区间上的最大值、最小值均最多各有一个小值均最多各有一个. .(3)(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系极大值与极小值之间无确定的大小关系, ,即一个函数的极大即一个函数的极大值未必大于极小值，函数的最大值一定不小于它的最小值值未必大于极小值，函数的最大值一定不小于它的最小值. .(4)(4)函数
18、的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，函数的最值点可能在区间内部，也可能在区间的端为极值点，函数的最值点可能在区间内部，也可能在区间的端点处点处. . 五、生活中的优化问题举例五、生活中的优化问题举例1.1.导数在实际生活中的应用导数在实际生活中的应用主要有以下几个方面：主要有以下几个方面：(1)(1)与几何有关的最值问题与几何有关的最值问题( (面积和体积等的最值面积和体积等的最值).).(2)(2)与物理学有关的最值问题与物理学有关的最值问题( (功和功率等的最值功和功率等的最值).).(3)(3)与利润及其成本有关的最值
19、问题与利润及其成本有关的最值问题. .(4)(4)效率最值问题效率最值问题. .2.2.解决优化问题的一般思路与步骤解决优化问题的一般思路与步骤思路：思路：步骤：步骤：(1)(1)审题审题: :阅读理解文字表达的题意阅读理解文字表达的题意, ,分清条件和结论分清条件和结论, ,找出问题找出问题的主要关系的主要关系. .(2)(2)建模建模: :将文字语言转化成数学语言将文字语言转化成数学语言, ,利用数学知识利用数学知识, ,建立相应建立相应的数学模型的数学模型. .(3)(3)解模解模: :把数学问题化为常规问题把数学问题化为常规问题, ,选择合适的数学方法求解选择合适的数学方法求解. .(
20、4)(4)对结果进行验证评估对结果进行验证评估, ,定性、定量分析定性、定量分析, ,得出正确的判断得出正确的判断, ,确确定其答案定其答案. . 六、定积分的概念六、定积分的概念1.1.曲边梯形曲边梯形在直角坐标系中，由曲线在直角坐标系中，由曲线y=f(x)y=f(x)，直线，直线x=ax=a，x=bx=b及及x x轴所围成轴所围成的图形称为曲边梯形的图形称为曲边梯形. .求由连续曲线求由连续曲线y=f(x)y=f(x)对应的曲边梯形面积对应的曲边梯形面积S S的方法：的方法：(1)(1)分割分割.(2).(2)近似代替近似代替.(3).(3)求和求和.(4).(4)取极限取极限. .2.2
21、.定积分的概念定积分的概念如果函数如果函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上连续，用分点上连续，用分点a=xa=x0 0 xx1 1 x x2 2xxi ix0,f(x)0,那么函数那么函数y=f(x)y=f(x)在这个在这个区间内单调递增区间内单调递增; ;如果如果f(x)0,f(x)0(f(x)0(或者或者f(x)0)f(x)0f(x)0时时,y=f(x),y=f(x)在相应的区间内是单调递增函数在相应的区间内是单调递增函数; ;当当f(x)0f(x)0时时,y=f(x),y=f(x)在相应的区间内是单调递减函数在相应的区间内是单调递减函数. .【例【例2 2】(2012(2012
22、东营模拟东营模拟) )已知函数已知函数f(x)=(axf(x)=(ax2 2-x)lnx- ax-x)lnx- ax2 2x x，(aR).(aR).(1)(1)当当a=0a=0时，求曲线时，求曲线y=f(x)y=f(x)在在(e,f(e)(e,f(e)处的切线方程；处的切线方程；(2)(2)求函数求函数f(x)f(x)的单调区间的单调区间. .12【解析】【解析】(1)(1)当当a=0a=0时，时，f(x)=x-xlnx,f(x)=-lnx,f(x)=x-xlnx,f(x)=-lnx,所以所以f(e)=0,f(e)=-1,f(e)=0,f(e)=-1,所以曲线所以曲线y=f(x)y=f(x)
23、在在(e,f(e)(e,f(e)处的切线方程为处的切线方程为y=-x+e.y=-x+e.(2)(2)函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为(0,+)(0,+)，f(x)=(2ax-1)lnx+(axf(x)=(2ax-1)lnx+(ax2 2-x) -ax+1=(2ax-1)lnx,-x) -ax+1=(2ax-1)lnx,当当a0a0时，时，2ax-12ax-10,0,在在(0,1)(0,1)上上f(x)f(x)0,0,在在(1,+)(1,+)上上f(x)f(x)0,0,所以所以f(x)f(x)在在(0,1)(0,1)上单调递增，在上单调递增，在(1(1，+)+)上单调递减；上单调递减
24、；1x当当0 0a a 时，在时，在(0(0，1)1)和和( +)( +)上上f(x)f(x)0,0,在在(1, )(1, )上上f(x)f(x)0,0,所以所以f(x)f(x)在在(0(0，1)1)和和( +)( +)上单调上单调递增，在递增，在(1(1， ) )上单调递减；上单调递减；当当a= a= 时，在时，在(0(0，+)+)上上f(x)0f(x)0且仅有且仅有f(1)=0,f(1)=0,所以所以f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上单调递增；上单调递增；当当a a 时，在时，在(0, )(0, )和和(1,+)(1,+)上上f(x)f(x)0,0,在在( 1)( 1)上上f(x)
25、f(x)0,0,所以所以f(x)f(x)在在(0, )(0, )和和(1(1，+)+)上单调递增，在上单调递增，在( 1)( 1)上单调递减上单调递减. . 121,2a12a1,2a12a121212a1,2a12a1,2a三、利用导数研究函数的极值三、利用导数研究函数的极值( (最值最值) )利用导数求极值利用导数求极值( (最值最值) )是高中数学最重要的题型之一是高中数学最重要的题型之一, ,也是也是高考命题的一个热点高考命题的一个热点. .利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的极值( (最值最值) )问题的具问题的具体步骤为体步骤为: :(1)(1)求函数的定义域求函数的定义域;
26、;(2)(2)求导数求导数f(x)f(x)；(3)(3)求方程求方程f(x)=0f(x)=0的全部实根的全部实根; ;(4)(4)列表列表, ,检查检查f(x)f(x)在方程在方程f(x)=0f(x)=0的根左、右两侧的值的符号的根左、右两侧的值的符号; ;(5)(5)判断极值判断极值( (最值最值).). 【例【例3 3】(2012(2012江苏高考江苏高考) )若函数若函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处取得极大值处取得极大值或极小值，则称或极小值，则称x x0 0为函数为函数y=f(x)y=f(x)的极值点的极值点. .已知已知a a，b b是实数，是实数，1 1和和-1
27、-1是函数是函数f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+bx的两个极值点的两个极值点(1)(1)求求a a和和b b的值；的值；(2)(2)设函数设函数g(x)g(x)的导函数的导函数g(x)=f(x)+2g(x)=f(x)+2，求，求g(x)g(x)的极值点；的极值点；(3)(3)设设h(x)=f(f(x)-ch(x)=f(f(x)-c，其中，其中c c-2,2-2,2，求函数，求函数y=h(x)y=h(x)的零的零点个数点个数 【解析】【解析】(1)(1)由由f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+bx得得f(x)=3xf(x)=3x2 2+2ax+b,+2
28、ax+b,又因又因1 1和和-1-1是函数是函数f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+bx的两个极值点，的两个极值点，所以所以3x3x2 2+2ax+b=0+2ax+b=0的两个根为的两个根为1 1和和-1,-1,由根与系数的关系得由根与系数的关系得1+(-1)= 1+(-1)= a=0,a=0,1 1(-1)= (-1)= b=-3,b=-3,所以所以a a0 0，b b3,3,此时此时 f(x)=xf(x)=x3 3-3x.-3x.2a3b3(2)(2)由由g(x)=f(x)+2g(x)=f(x)+2得得g(x)=xg(x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+2=x+bx
29、+2=x3 3-3x+2=(x-3x+2=(x-1)1)2 2(x+2).(x+2).当当x x-2-2时时(x-1)(x-1)2 2(x+2)0(x+2)0(等号在等号在x=1x=1时成立时成立) )即即g(x)0g(x)0，此时函数，此时函数g(x)g(x)单调递增单调递增. .当当x x-2-2时时(x-1)(x-1)2 2(x+2)(x+2)0 0即即g(x)g(x)0 0，此时函数此时函数g(x)g(x)单调递减单调递减. .所以所以x=-2x=-2是函数是函数g(x)g(x)的极小值点的极小值点. .(3)(3)求函数求函数y=h(x)y=h(x)的零点个数即求的零点个数即求f(f
30、(x)=cf(f(x)=c的实根个数的实根个数, ,由由f f3 3(x)-3f(x)=c(x)-3f(x)=c得到得到, ,当当c=2c=2时时,f(x)=-1,f(x)=-1或或2,2,f(x)=-1f(x)=-1有有3 3个解个解,f(x)=2,f(x)=2有有2 2个解个解, ,故函数故函数y=h(x)y=h(x)的零点个数为的零点个数为5;5;当当c=-2c=-2时时, ,同理可得同理可得, ,函数函数y=h(x)y=h(x)的零点个数为的零点个数为5;5;当当-2-2c c2 2时时,f(x),f(x)有有3 3个解个解, ,分别是分别是t t1 1(-2,-1),t(-2,-1)
31、,t2 2(-1,1),t(-1,1),t3 3(1,2),(1,2),由于由于f(x)=tf(x)=ti i各有各有3 3个解，所以函数个解，所以函数y=h(x)y=h(x)的零点个数为的零点个数为9. 9. 四、定积分及其应用四、定积分及其应用运用定积分的几何意义计算平面区域的面积运用定积分的几何意义计算平面区域的面积, ,首先要画出已首先要画出已知曲线围成的区域知曲线围成的区域, ,选择积分函数选择积分函数, ,确定积分上下限确定积分上下限. . 定积分的简单应用定积分的简单应用(1)(1)求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积; ;(2)(2)匀变速运动的路程公式匀变速运动的路程公式. .做
32、变速直线运动的物体所经过的做变速直线运动的物体所经过的路程路程s,s,等于其速度函数等于其速度函数v=v(t)(v(t)v=v(t)(v(t)0)0)在时间区间在时间区间a,ba,b上的上的定积分定积分, ,即即 basv t dt,(3)(3)变力做功公式变力做功公式一物体在变力一物体在变力F(x)(F(x)(单位单位:N):N)的作用下做直线运动的作用下做直线运动, ,如果物体沿如果物体沿着与着与F F相同的方向相同的方向, ,从从x=ax=a移动到移动到x=b(ab)(x=b(a0f(x)0得到得到x x 或或x x 令令f(x)0f(x)0有有 x x 因此原函数的单调递增区间为因此原
33、函数的单调递增区间为(-, )(-, )和和( +)( +)；单调递减区间为；单调递减区间为( ).( ).331313，131,3131,31,313(2)f(x)=3x(2)f(x)=3x2 2-1-1，P P1 1(x(x1 1, -x, -x1 1) )，f(xf(x1 1)=3x)=3x1 12 2-1-1，因此过点，因此过点P P1 1的切线方程为：的切线方程为： 即即由由 得得x x3 3-x=-x=所以所以x=xx=x1 1或或x=-2xx=-2x1 1，故，故x x2 2=-2x=-2x1 1，进而有，进而有用用x x2 2代替代替x x1 1，重复上面的计算，可得，重复上面
34、的计算，可得x x3 3=-2x=-2x2 2和和S S2 2= =又又x x2 2=-2x=-2x1 100，S S2 2= 0= 0，因此有，因此有31x231111y3x1xxxx，2311y3x1 x2x，23113y3x1 x2xyxx23113x1 x2x ,11112x2x3234223411111x1x1327S|x3x x2xdx | |(xx x2x x)|x424，4227x4，4127 16x412S1.S161.1.函数函数f(x)=(x-3)ef(x)=(x-3)ex x的单调递增区间是的单调递增区间是( )( )(A)(-,2) (B)(0,3)(A)(-,2)
35、(B)(0,3)(C)(1,4) (D)(2,+)(C)(1,4) (D)(2,+)【解析解析】选选D.f(x)=(x-2)eD.f(x)=(x-2)ex x. .令令f(x)f(x)0 0，则，则x x2 2，故函数的单调递增区间是故函数的单调递增区间是(2,+).(2,+).2.2.函数函数f(x)= xf(x)= x3 3-x-x2 2+7+7的极大值是的极大值是( )( )(A)7 (B)-7 (C)3 (D)-3(A)7 (B)-7 (C)3 (D)-3【解析】【解析】选选A.f(x)=xA.f(x)=x2 2-2x=x(x-2)-2x=x(x-2)，所以函数所以函数f(x)f(x)
36、在区间在区间(-,0)(-,0)上为增函数，在区间上为增函数，在区间(0(0，2)2)上为上为减函数，在区间减函数，在区间(2(2，+)+)上为增函数，则上为增函数，则f(x)f(x)极大值极大值=f(0)=7.=f(0)=7.133.3.已知已知a a，b b为正实数，函数为正实数，函数 f(x)=axf(x)=ax3 3+bx+2+bx+2x x在在0,10,1上的最上的最大值为大值为4 4，则，则f(x)f(x)在在-1,0-1,0上的最小值为上的最小值为_._.【解析】【解析】 f(x)=3axf(x)=3ax2 2+b+2+b+2x xln2ln20,0,函数在区间函数在区间-1,1
37、-1,1上是增函数，上是增函数，由题意，由题意，f(x)f(x)在在0 0，1 1上的最大值为上的最大值为4 4，f(1)=a+b+2=4,a+b=2,f(1)=a+b+2=4,a+b=2,f(x)f(x)在在-1,0-1,0上的最小值为上的最小值为f(-1)=-a-b+2f(-1)=-a-b+2-1-1= =答案：答案：3.2324.4.计算计算【解析】【解析】答案：答案：1x12xedx_.1x2x11112xedxxe|e.e1ee5.5.已知函数已知函数f(x)=axf(x)=ax3 3+bx+bx2 2+c(a,b,cR,a0)+c(a,b,cR,a0)，(1)(1)若函数若函数y=
38、f(x)y=f(x)的图象经过点的图象经过点O(0,0)O(0,0)，P(-1,0)P(-1,0)，求函数，求函数y=f(x)y=f(x)的单调区间；的单调区间；(2)(2)若若a=b=1a=b=1时，函数时，函数y=f(x)y=f(x)与直线与直线y=2y=2的图象有两个不同的交的图象有两个不同的交点，求点，求c c的值的值. .【解析】【解析】(1)(1)把点把点P(-1P(-1，0)0)代入代入y=f(x)y=f(x)得得-a+b+c=0,-a+b+c=0,又又c=0,c=0,故故a=b,a=b,由由f(x)=3axf(x)=3ax2 2+2ax=ax(3x+2)=0,+2ax=ax(3
39、x+2)=0,得得x x1 1=0,x=0,x2 2= =故当故当a a0 0时，时，f(x)f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(-, ),(-, ),(0,+)(0,+)，单调递减区间是，单调递减区间是( 0)( 0)，当当a a0 0时，时，f(x)f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(-, ),(0,+)(-, ),(0,+)，单调递增区间是单调递增区间是( 0).( 0).2,3232,3232,3(2)(2)当当a=b=1a=b=1时，时，f(x)f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(-, ),(-, ),(0,+)(0,+)，单调递减区间是，单调递减区间是( 0).(
40、 0).故当故当x= x= 时，时，f(x)f(x)的极大值为的极大值为当当x=0 x=0时，时，f(x)f(x)的极小值为的极小值为f(0)=c,f(0)=c,要使函数要使函数y=f(x)y=f(x)与直线与直线y=2y=2的图象有两个不同的交点，的图象有两个不同的交点，则必须满足则必须满足故故c= c= 或或2. 2. 232,323284f()c,3279 84c2c2,279或50276.6.设函数设函数f(x)=af(x)=a2 2lnx-4x,g(x)=bxlnx-4x,g(x)=bx2 2(a0,b0,a,bR),(a0,b0,a,bR),(1)(1)当当b= b= 时，函数时，
41、函数h(x)=f(x)+g(x)h(x)=f(x)+g(x)在在x=1x=1处有极小值，求函数处有极小值，求函数h(x)h(x)的单调递增区间；的单调递增区间；(2)(2)若函数若函数f(x)f(x)和和g(x)g(x)有相同的极大值，且函数有相同的极大值，且函数p(x)=f(x)+ p(x)=f(x)+ 在区间在区间1,e1,e2 2上的最大值为上的最大值为-8e-8e，求实数，求实数b b的值的值( (其中其中e e是自然是自然对数的底数对数的底数).).32 g xx【解析】【解析】(1)b= h(x)=a(1)b= h(x)=a2 2lnx-4x+ xlnx-4x+ x2 2, ,h(
42、x)= -4+3x, h(1)=ah(x)= -4+3x, h(1)=a2 2-1=0,-1=0,a a2 2=1,h(x)=lnx-4x+ x=1,h(x)=lnx-4x+ x2 2, ,h(x)= -4+3x= h(x)= -4+3x= 0,0,得得x x1 1或或0 0 x x 所以所以h(x)h(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(0, )(0, )和和(1,+).(1,+).3,2322ax321x23x4x1x1,313(2)(2)函数函数g(x)g(x)的极大值为的极大值为0 0，且，且b b0,0,而而f(x)= -4,f(x)= -4,令令f(x)=0f(x)=0 x= f
43、(x)x= f(x)在在(0, )(0, )上单调递上单调递增增, ,在在( +)( +)上单调递减上单调递减. .所以所以f(x)f(x)极大值极大值=f( )=a=f( )=a2 2ln -aln -a2 2=0=0a a2 2=4e,=4e,则则p(x)=4elnx-4x+bx,p(x)=4elnx-4x+bx,根据题意得根据题意得p(1)=-4+b-8ep(1)=-4+b-8eb4-8e,b4-8e,p(x)= p(x)= 令令p(x)=0p(x)=0 x=x=4-b8e,x 4-b8e,x 所以函数所以函数p(x)p(x)在在1 1，e e2 2上单调递减，上单调递减，p(x)p(x)最大值最大值=p(1)=-4+b=-8e,=p(1)=-4+b=-8e,得得b=4-8e. b=4-8e. 2ax2a,42a42a,42a42a44e4b x,x4e,4b1,2结束结束